13 Ottobre 2004
Claudio Procesi (Università di Roma -- La Sapienza)
Volume di politopi ed arrangiamenti di iperpiani

20 Ottobre 2004
Alberto De Sole (Istituto Nazionale di Alta Matematica)
Algebre conformi e polinomi di Jacobi
Abstract:The classification of all subalgebras of the general linear conformal algebra gc_N, acting irreducibly on C[d]^N, is considered one of the most urgent problems in the theory of conformal algebras. In this seminar we will discuss the classification of those subalgebras which are "normalized" by sl₂. This problem turns out to be closely related to the theory of classical Jacobi polynomials.

27 Ottobre 2004
Magnus Jacobsson (Istituto Nazionale di Alta Matematica)
Khovanov homology
Abstract: In 1999 Mikhail Khovanov introduced an isotopy invariant homology theory of links whose Euler characteristic is the Jones polynomial. As a link invariant it is strictly stronger than the Jones polynomial. Furthermore, it is functorial under link cobordisms. It has been generalized to tangles, to other quantum polynomials and to knots in cylinders over surfaces. Recently it was used by Rasmussen to give the first purely combinatorial proof of the Milnor conjecture on the slice genus of torus knots. In this talk I will give a completely elementary definition of Khovanov homology and survey some of the results obtained since its birth five years ago.

3 Novembre 2004
Eric Leichtnam (Institut de Mathematiques de Jussieu, Paris)
About the index of a quantized contact transformation
Abstract: we recall the definition of the index of a quantized contact transformation and the statement of the Atiyah-Weinstein conjecture which provides a geometric formula for this index. Then we describe the state of the art on the subject.

10 Novembre 2004
Igor Krichever (Columbia University)
Analytic theory of difference equations
Abstract:Si propone un nuovo punto di vista nello studio delle equazioni alle differenze. Si introduce, in questo ambito, la nozione di monodromia locale. Si studia il problema della convergenza al caso continuo.

24 Novembre 2004
Lucia Caporaso (Università di Roma III)
Sullo schema di Picard per curve: risultati e problemi aperti
Abstract: Vengono descritti certi notevoli spazi di moduli di fibrati lineari su curve stabili. Alcune loro caratteristiche geometriche e combinatoriali, insieme a ben note problematiche aperte, sembrano esigere costruzioni alternative.

1 Dicembre 2004
Pietro Corvaja (Università di Udine)
Maggiorazione per il M.C.D. di aⁿ-1 e bⁿ-1
Abstract: In un lavoro in collaborazione con Y. Bugeaud e U. Zannier si è dimostrato il teorema seguente. Siano a, b due interi positivi moltiplicativamente indipendenti, e ε un reale maggiore di zero. Per ogni intero n sufficientemente grande vale M.C.D.(aⁿ-1, bⁿ-1) < e^εn. Si mostrerà una generalizzazione, ottenuta in collaborazione con Zannier, di questo risultato ai campi di numeri e alcune applicazioni tra cui la soluzione di un caso particolare della congettura di Vojta in geometria aritmetica.

15 Dicembre 2004
Marina Monsurrò (Università di Roma -- Tor Vergata)
Gruppi algebrici ed algebre ad involuzione: invarianti coomologici e questioni di razionalità
Abstract: Lo scopo di questo seminario è di evidenziare il profondo legame esistente tra lo studio dei gruppi algebrici e la teoria delle algebre centrali semplici munite di un'involuzione. Da un punto di vista storico, tale legame è stato esplorato seguendo due filoni principali. In un articolo del 1960, A. Weil stabilisce una corrispondenza biunivoca tra gruppi classici e gruppi di automorfismi di algebre centrali semplici munite di un'involuzione. Nella prima parte dell'esposizione ricostruiremo per gandi linee tale corrispondenza (tramite i diagrammi di Dynkin) e richiameremo alcune nozioni di base. Un'altra lettura possibile è quella data dallo studio delle rappresentazioni irriducibili di un gruppo algebrico lineare semisemplice G. In effetti, J. Tits dimostra che una rappresentazione irriducibile su una chiusura separabile (sotto ipotesi tecniche che trascendono il quadro di questa esposizione) proviene da una rappresentazione di G nel gruppo degli elementi invertibili di un'algebra centrale semplice univocamente determinata e munita di un'involuzione canonica. Il legame tra le due teorie ha risvegliato in questi ultimi anni l'interesse di matematici di diversi orizzonti. Il contesto generale offerto dalla teoria dei gruppi algebrici permette una comprensione più profonda della relazione tra algebre centrali semplici e forme quadratiche; inversamente, il linguaggio delle algebre ad involuzione, più esplicito e intuitivo, può essere applicato allo studio di alcune "misteriose" proprietà dei gruppi algebrici come ad esempio l'espressione esplicita di invarianti coomologici di grado superiore (invariante di Rost) o le questioni di razionalità. Consacreremo la parte finale dell'esposizione per l'appunto allo studio dell'insieme degli invarianti coomologici di un gruppo algebrico semisemplice semplicemente connesso ed alle nozioni di stabile razionalità ed R-equivalenza.

26 Gennaio 2005
Filippo Bracci (Università di Roma -- Tor Vergata)
Teoria dell'intersezione, residui di Grothendieck e dinamica olomorfa
Abstract: In un celebre lavoro del 1980 C. Camacho e P. Sad hanno risolto affermativamente il problema di Poincare' sulla esistenza di separatrici per germi di campi vettoriali olomorfi su di una superficie. Un ingrediente fondamentale del loro lavoro e' un teorema dell'indice che consente di leggere il numero di auto-intersezione di una foglia compatta di una foliazione olomorfa tramite residui di Grothendieck dati dalla foliazione stessa. Tali residui risultano essere legati in modo naturale alla dinamica della foliazione stessa. La comprensione e lo sviluppo del teorema dell'indice di Camacho-Sad ha portato negli anni passati ad ottenere interessanti risultati nell'ambito della dinamica olomorfa (sia per quanto riguarda le foliazioni che i diffeomorfismi). In questo seminario illustreremo le tecniche di tipo Cech-de Rham che consentono di ottenere (anche nel caso di superfici singolari) opportuni "teoremi dell'indice" che localizzano, in termini di residui di Grothendieck, gli invarianti topologici di foglie compatte di foliazioni olomorfe. Mostreremo inoltre come analoghi risultati siano ottenibili anche per luoghi di punti fissi di diffeomorfismi olomorfi e, brevemente, come applicare tale teoria allo studio di problemi di dinamica quali, ad esempio, l'esistenza di orbite attrattive o petali per germi di diffeomorfismi olomorfi tangenti all'identita'.

2 Febbraio 2005
Richard Melrose (Massachusetts Institute of Technology)
Cobordism and groups of pseudodifferential operators on manifolds with boundary
Abstract: In this talk I will describe some recent work with Frederic Rochon describing cobordism properties of differential-geometric invariants of operators. To do so I will describe the eta invariant and determinant bundles associated to families of (pseudo-)differential operators, the topological significance of these objects, their adiabatic limits and the cobordism connection between them in the case of manifolds with boundary.

9 Febbraio 2005
Francesco Chiera (Università di Roma -- La Sapienza)
Prodotti di Petersson per forme non cuspidali
Abstract: Il prodotto scalare di Petersson è uno strumento molto utile nella teoria delle forme automorfe. Nel contesto delle forme cuspidali olomorfe esso ha le seguenti notevoli proprietà:
i) può essere espresso come residuo di una serie di Dirichlet alla "Rankin-Selberg" associata alle forme cuspidali coinvolte;
ii) appare come coefficiente nelle espressioni delle autoforme di Hecke tramite serie theta associate a reticoli;
iii) appare come fattore in espressioni di valori critici delle funzioni L associate alle autoforme di Hecke.
Nel seminario vedremo come tali proprietà si possano estendere a forme modulari non cuspidali grazie ad alcuni risultati della teoria della corrispondenza theta, o, in altri casi, all'uso combinato del metodo di Rankin e Selberg e di opportuni operatori differenziali.

16 Febbraio 2005
Winfried Kohnen (Università di Heidelberg)
Sums of integral squares
Abstract: We will give new finite formulas for the number of representations of a positive integer as a sum of s integral squares, whenever s is divisible by 8.

23 Febbraio 2005
Ciro Ciliberto (Università di Roma -- Tor Vergata)
Alcune tecniche di degenerazione nello studio dell'interpolazione polinomiale in più variabili
Abstract: Siano p₁, ..., p_n punti generali dello spazio proiettivo complesso di dimensione r e siano m₁, ..., m_n interi positivi. Il problema dell'interpolazione polinomiale consiste nello studio del sistema lineare delle ipersuperficie di grado d aventi in p₁, ..., p_n punti di molteplicità m₁, ..., m_n rispettivamente. La prima questione è quella di determinare la dimensione di tale sistema (problema dimensionale). Questo problema è ancora aperto in generale, avendosi risultati significativi, ma non esaustivi, solo per r = 2 e per r ≥ 3 ma m₁ = ... = m_n = 2. Per r = 2 vi è una importante congettura dovuta a B. Segre e più recentemente ritrovata da Harbourne e Hirschowitz la quale dà, in linea di principio, risposta al problema dimensionale. Dopo aver brevemente ricordato alcuni risultati di vari autori, passerò a parlare di una tecnica di degenerazione adoperata da R. Miranda e da me per attaccare il caso r = 2 e m₁= ...= m_n, ed illustrerò alcuni risultati da noi ottenuti sia tempo addietro che più recentemente, o che speriamo di ottenere, con questa tecnica e/o con suoi raffinamenti e variazioni. Se vi sarà tempo mi tratterrò alla fine su alcune di queste che, basate su possibili degenerazioni toriche dello spazio proiettivo, consentono di tradurre l'originale problema dimensionale in problemi combinatorii che appaiono di un certo interesse.

2 Marzo 2005
René Schoof (Università di Roma -- Tor Vergata)
Varietà abeliane su Q con cattiva riduzione in un solo primo
Abstract: J.-M. Fontaine e V. Abrashkin hanno dimostrato la congettura di Safarevic cioà che non esistono varietà abeliane non nulle su Q che hanno buona riduzione in *ogni* primo. In questa lezione studieremo varietà abeliane su Q con cattiva riduzione in un solo primo.

9 Marzo 2005
Alessandro Verra (Università di Roma III)
Fibrati vettoriali su curve e funzioni theta.
Abstract: Il seminario sarà in parte un survey, sul modello di un recentissimo preprint di Beauville dallo stesso titolo, sulle relazioni tra lo spazio dei moduli S dei fibrati semistabili di rango r e determinante triviale su una curva C e la geometria del sistema lineare delle funzioni
theta di ordine r sulla Jacobiana di C. In particolare verranno esaminate varie questioni e problemi aperti riguardanti la mappa t definita dal generatore ampio del gruppo di Picard di S. Successivamente verrà esaminato il caso in cui C ha genere 2: sia x un punto di S, in questo caso D = t(x) è naturalmente identificato con una curva del sistema lineare determinato dalle funzioni theta di ordine r su JC. Verranno esposti alcuni risultati recenti che descrivono geometricamente la fibra di t su D mediante la teoria di Brill-Noether delle serie lineari su D. Non è noto se, per ogni valore del genere g di C e per ogni rango r > 2, t sia genericamente finita sull'immagine. Nella parte finale del seminario verrà indicata una possibile dimostrazione di tale risultato, attualmente 'in progress', che utilizza l'esempio di genere 2.

16 Marzo 2005
Boris Noyvert (Università di Roma -- La Sapienza e Tor Vergata)
Pseudo root systems and vertex operator realizations of the Virasoro algebra
Abstract: Pseudo root systems are generalizations of the root systems of the simple Lie algebras. They arise in the lattice vertex algebra realizations of the Virasoro algebra, built in analogy to the Frenkel-Kac construction of the vertex operator representations of the type ADE affine vertex algebras. In the talk we recall the notion of lattice vertex algebra, present the main construction, define pseudo root systems and discuss some examples and applications.

23 Marzo 2005
Andrei Zelevinsky (Northeastern University)
Cluster algebras and their quantizations
Abstract: Cluster algebras introduced jointly with S.Fomin, are a class of axiomatically defined commutative rings equipped with a distinguished set of generators (cluster variables) grouped into overlapping subsets (clusters) of the same finite cardinality. The original motivation for this theory was to to create an algebraic framework for total positivity and canonical bases in semisimple algebraic groups. We discuss the basics of the theory of cluster algebras and their quantum analogues constructed jointly with A.Berenstein.

6 Aprile 2005
Michel Brion (Università di Grenoble)
Moduli of spherical varieties
Abstract: Spherical varieties form a nice class of algebraic varieties with group action, which includes toric varieties, flag varieties, and complete symmetric varieties. The question of their classification is generally open, although many partial results are known. In this talk (based on joint work with Valery Alexeev) I will present a geometric approach to the classification problem, by constructing moduli spaces for spherical varieties and their equivariant degenerations. These moduli spaces parametrize "stable spherical varieties" equipped with a finite equivariant morphism to a fixed projective space; they admit a natural group action with finitely many orbits.

13 Aprile 2005
Alessandro Ghigi (Università di Milano -- Bicocca)
Metriche di Kaehler-Einstein sugli orbifold di Fano
Abstract: Dopo alcuni richiami sulle metriche di Kaehler-Einstein su varietà di Fano, si presenteranno i criteri di esistenza in termini di rivestimenti ottenuti in collaborazione con C.Arezzo e G.P.Pirola. Successivamente si presenterà l'estensione di questi risultati al caso di rivestimenti fra orbifold, e si accennerà alle applicazioni alle metriche di Einstein su varieta' reali di dimensione dispari.

13 Aprile 2005
Anatoli Andrianov (Steklov Institute of mathematics)
On zeta functions of bilinear forms
Abstract: A popular discussion of arithmetical zeta functions in general with accent on recently discovered explicit relations  between zeta functions of automorphic representations of Hecke-Shimura rings of positive definite bilinear forms in 2 and 4 variables on spaces of harmonic polynomials and  zeta functions of symplectic Hecke-Shimura rings of genus 1 and 2,respectively, on spaces of theta-series with harmonic coefficients. No special knowlege is presupposed.

20 Aprile 2005
Riccardo Longoni (Università di Roma -- La Sapienza)
Sul teorema di Hochschild-Kostant-Rosenberg per supervarietà
Abstract: Data una varietà differenziabile M, un campo multivettoriale può essere visto come un operatore multilineare sull'algebra delle funzioni lisce su M. Questo è un esempio di una costruzione più generale, la cosiddetta mappa di Hochschild-Kostant-Rosenberg (HKR), in cui all'algebra delle funzioni lisce su M si sostituisce una qualunque algebra commutativa graduata. Mostreremo che se si considera in particolare l'algebra delle funzioni su una supervarietà, allora HKR risulta essere un morfismo di algebre di Batalin-Vilkovisky. Inoltre, sempre nel caso di supervarietà, mostreremo che, al contrario del caso delle varietà algebriche non singolari, HKR non è in generale un isomorfismo.

4 Aprile 2005
David Hernandez (Ecole Normale Superieure -- Parigi)
Proof of the Kirillov-Reshetikhin conjecture for quantum affine algebras
Abstract: In this talk we present a proof of the Kirillov-Reshetikhin conjecture for  all untwisted quantum affine algebras : we prove that the characters of Kirillov-Reshetikhin modules solve the Q-system, and so we get explicit formulas for the characters of their tensor products. Moreover we establish exact sequences involving tensor products of Kirillov-Reshetikhin modules and prove that their q-characters solve the T-system. For simply-laced cases these results were obtained by Nakajima with geometric arguments which are not available in general. The proof we present is different and purely algebraic, and so can be extended uniformly to non simply-laced cases.

11 Maggio 2005
Dung Trang Le (ICTP -- Trieste)
The problem of equisingularity for hypersurfaces
Abstract:In this lecture we shall recall the notion of equisingularity introduced by O. Zariski in the 60's. This theory was successful for family of plane curves and a substitute in higher dimension was the theory of stratifications. However problems remained open which need to be answered. We shall focus on the case of hypersurfaces. 

18 Maggio 2005
David Hernandez (Ecole Normale Superieure -- Parigi)
Drinfeld coproduct, quantum fusion tensor category and generalized T-systems
Abstract: The Drinfeld "coproduct" of a quantum affinization, for example of a quantum affine algebra or a quantum toroidal algebra (which has no Hopf algebra structure), does not produce tensor products of modules in the usual way because it is defined in a completion. In this talk we present a new process to produce quantum fusion modules from it: for all quantum affinizations we construct by deformation a (non semi-simple) tensor category Mod. We will discuss several applications: we construct the fusion of any l-highest weight modules, and prove that it is always cyclic. In particular a simple module is a quotient of a fusion of fundamental representations. We establish exact sequences involving fusion of Kirillov-Reshetikhin modules related to new T-systems.

25 Maggio 2005
Roberto Paoletti (Università di Milano -- Bicocca)
Asintotiche equivarianti per sottovarietà Lagrangiane di Bohr-Sommerfeld
Abstract: Borthwick, Paul e Uribe hanno sviluppato una teoria per quantizzare certi tipi di sottovarietà Lagrangiane, associate a stati semiclassici, in una varietà proiettiva complessa compatta polarizzata. Consideriamo il caso in cui un gruppo di Lie compatto agisce sulla varietà ambiente, e studiamo gli aspetti equivarianti delle asintotiche associate alla sottovarietà.

8 Giugno 2005
Adrian Langer (Università di Varsavia)
Moduli spaces of sheaves and Maruyama's conjecture
Abstract:  I will try to explain basic problems behind parametrization of coherent sheaves on a variety and putting them into a moduli space. Then I will talk about my proof of Maruyama's conjecture on the boundedness of slope semistable sheaves on a projective variety defined over an algebraically closed field. I will also talk about implications of this result and further developments in principal G-bundles.

8 Giugno 2005
Fedor Bogomolov (New York University)
On the geometry of algebraic varieties over small fields (Q, F_p)

15 Giugno 2005
Ravi Vakil (Stanford University)
Murphy's Law in algebraic geometry:  Badly-behaved moduli spaces
Abstract: We consider the question: "How bad can the deformation space of an object be?" (Alternatively: "What singularities can appear on a moduli space?")  The answer seems to be: "Unless there is some a priori reason otherwise, the deformation space can be arbitrarily ugly." Hence many of the most important moduli spaces in algebraic geometry are arbitrarily singular, justifying a philosophy of Mumford.
More precisely, every singularity of finite type over Z (up to smooth parameters) appears on the Hilbert scheme of curves in projective space, and the moduli spaces of: smooth projective general-type surfaces (or higher-dimensional varieties), plane curves with nodes and cusps, stable sheaves, isolated threefold singularities, and more.  The objects themselves are not pathological, and are in fact as nice as can be: the curves are smooth, the surfaces have very ample canonical bundle, the stable sheaves are torsion of rank 1, the singularities are normal and Cohen-Macaulay, etc.

13 Luglio 2005
Krzysztof Galicki (Univ. of New Mexico)
Geometric Structures on 5-manifolds
Abstract: We shall discuss existence of various geometric structures on smooth, compact, oriented, simply connected 5-manifolds. Smooth classification of such manifolds was given by Smale and Barden. Our main goal is to describe all that is currently known about contact and Sasakian geometry of such spaces.

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Ultimo aggiornamento 6 Luglio 2005, Alessandro D'Andrea