12 Ottobre 2005
Marco Zunino (Università di Tokio)
Un'introduzione alle homotopy quantum field theories (HQFT)
Abstract: Presentiamo leHQFT, introdotte da Turaev ed altri autori, discutendo in particolare i casi 1+1 dimensionale ed 1+2 dimensionale (invarianti per 3-varietà). Parte del seminario è dedicata alle strutture categoriali introdotte nello studio delle HQFT in dimensione 1+2. Al termine vengono brevemente discusse alcune delle applicazioni più recenti.

19 Ottobre 2005
Thomas Schick (Università di Göttingen)
Positive scalar curvature and index theory of differential operators
Abstract: One of the fundamental questions in global differential geometry asks, which type of Riemannian metric can be put on a given manifold; this provides many deep links between geometry and topology. The most basic such result is the Gauss-Bonnet theorem which implies that the 2-dimensional sphere is the only compact oriented surface without boundary which admits a metric of positive curvature.
In higher dimensions, the simplest generalization of curvature is the scalar curvature. We discuss how the index of a particular operator, the Dirac operator, can be used to analyse which and how many metrics of positive scalar curvature can be put on a given Riemannian metric.
In particular, joint work with Paolo Piazza will be presented in which we show that a certain index theoretic invariant, the L²-ρ invariant, can be used to show that there are infinitely many concordance classes of metrics of positive scalar curvature on every suitable compact manifold, provided the fundamental group contains torsion. On the other hand, we show that if the fundamental group is torsion-free and satisfies the Baum-Connes oonjecture, then the same invariant vanishes identically.

26 Ottobre 2005
Ryan Budney (Max Planck Institute, Bonn)
Topology of spaces of knots in dimension 3
Abstract: Let K denote the topological space of C^∞smooth embeddings of R inR³ that restrict to a (fixed) linear inclusion outside of some (fixed) ball. We call K the space of long knots inR³. I will give a recursive description of the homotopy type of K, component-by-component. The path-components of K are the isotopy classes of long knots. First I will describe an indexing of these components in terms of finite, labelled, rooted-trees, based on the JSJ-decomposition of 3-manifolds. Via this indexing, the homotopy type of any path-component of K can be described in terms of iterating three elementary bundle operations related to such things as: free little 2-cubes objects from homotopy theory, and wreath product constructions that use natural signed symmetric representations of the isometry groups of certain hyperbolic link complements of a brunnian type.  I will end with some recent work on the homology of the space of knots, and mention some current directions of interest for research in the area.

9 Novembre 2005
Marco Manetti (Università di Roma -- "La Sapienza")
Deformazioni "innaturali" del prodotto e varietà commutanti
Abstract: Si studiano le deformazioni del prodotto XxYdi due varietà complesse compatte che non sono della forma (deformazione di X)x(deformazione di Y) mettendole in relazione con le varietà delle matrici commutanti. Applicando poi alcune tecniche standard "alla Horikawa" si trovano alcuni semplici esempi di superfici irregolari ostruite.

16 Novembre 2005
Fabrizio Caselli (Università di Roma -- "La Sapienza")
Rappresentazioni adamantine di un'algebra di Hecke
Abstract: Viene introdotta una famiglia astratta di insiemi parzialmente ordinati graduati detti diamanti per i quali è possibile definire una teoria di Kazhdan-Lusztig. Ogni diamante codifica una famiglia di rappresentazioni di un'algebra di Hecke naturalmente associata al diamante stesso. Verrà mostrato con diversi esempi che l'insieme delle rappresentazioni "adamantine" è più ricco dell'insieme delle rappresentazioni cellulari classiche di Kazhdan-Lusztig. Questi risultati sono stati ottenuti in collaborazione con F. Brenti e M. Marietti.

23 Novembre 2005
Flavio D'Alessandro (Università di Roma -- "La Sapienza")
Gruppi liberi di quaternioni

30 Novembre 2005
Luisa Paoluzzi (Università di Borgogna, Digione)
Strutture CAT(0) per il gruppo di trecce a quattro stringhe
Abstract: La prima parte del seminario consisterà in una serie di richiami sulle definizioni e proprietà fondamentali degli spazi e dei gruppi "a curvatura non positiva", cosiddetti CAT(0). Nella seconda parte saranno esposti i risultati ottenuti in collaborazione con J. Crisp (Michigan Math. J. 53, (2005), 133-163)  sul problema della classificazione delle strutture CAT(0) per B₄.
Il problema dell'esistenza fu risolto nel 2000 da T. Brady che costruì una struttura CAT(0)per B₄. Tale struttura s'immerge in ogni struttura di questo tipo, ma l'immersione può non essere un embedding. Questa ultima proprietà si dimostra grazie a un metodo di deformazione per
le strutture CAT(0) di dimensione 2.

7 Dicembre 2005
Riccardo Salvati-Manni (Università di Roma -- "La Sapienza")
Forme modulari per reticoli di segnatura (2,10)

14 Dicembre 2005
Sébastien Jansou (Università di Roma -- "Tor Vergata")
Examples of invariant Hilbert schemes
Abstract: For a connected reductive group G, and a finite dimensional G-module V, Alexeev and M .Brion have built the invariant Hilbert scheme: it parametrizes G-stable closed subschemes of V affording a fixed, multiplicity-finite representation of Gin their coordinate ring. We shall describe this scheme in the simplest case, where it parametrizes invariant deformations of the cone of primitive vectors of a simple G-module. The classification we get is related to those of simple Jordan algebras and of wonderful varieties of rank one whose open orbit is affine.

21 Dicembre 2005
Sophie Morier-Genoud (Università di Lione -- "Claude Bernard")
Kashiwara-Lusztig canonical basis: geometric lifting and combinatorics.
Abstract: Consider a semisimple Lie algebra. In 90' Lusztig and Kashiwara constructed a basis in the universal enveloping algebra of a maximal nilpotent subalgebra called the canonical basis. This basis plays an important role in representation theory. Berenstein and Zelevinsky defined a geometric analog of the canonical basis in terms of subvarieties of the corresponding simply connected Lie group. I am going to introduce some combinatorial models of the canonical basis and of its geometric lifting. I will show that explicit calculations are often simpler in the "geometric version" and that one can deduce the "algebraic" formulas from the geometric ones. To illustrate this, I will consider the (generalized) Schutzenberger involution.

11 Gennaio 2006
Damiano Testa (Cornell University, Ithaca)
Anelli di Cox e superficie di del Pezzo.
Abstract: Gli anelli di Cox sono stati introdotti da D. Cox come sostituto dell'anello delle coordinate omogenee per varietà toriche. E' possibile però generalizzare la definizione di tali anelli in maniera da poterli costruire anche per altri tipi di varietà. In questo seminario darò una definizione dell'anello di Cox per una superficie di del Pezzo, parlerò di alcuni esempi e di alcune sue semplici proprietà e costruirò un sistema geometrico di generatori per tale anello. Infine mostrerò come, sempre tramite considerazioni geometriche, si possa determinare (almeno congetturalmente) una base per le relazioni tra questi generatori.

18 Gennaio 2006
Richard B. Melrose (M.I.T.)
Configuration spaces and asymptotics of magnetic monopoles.
Abstract: The moduli spaces of gauge-equivalent monopoles, solutions of the Bogomolny equations, on three-dimensional Euclidean space are non-compact smooth manifolds carrying hyper-Kaehler metrics. I will discuss on-going work with Michael Singer on ideal monopole configurations (at infinity) yielding compactifications of these spaces and their relationship to N-body compactifications (due to A. Vasy) and related configuration spaces.

25 Gennaio 2006
Michael Mc Quillan (IHES, Bures sur Yvette)
Riduzione semi-stabile per foliazioni.
Abstract: Una serie di difficoltà tecniche ha finora impedito lo studio in generale dei modelli minimali mediante l'analisi delle curve razionali sulle varietà complesse. Se però si considera una varietà foliata, e si cercano le curve razionali lungo le foglie, il problema si semplifica e un teorema di modelli minimali per le foliazioni si presenta in ogni dimensione. Un tale teorema (o meglio, lemma verso studio della capacità dei fogli) può essere visto come una generalizzazione della riduzione semi-stabile per famiglie di curve algebriche, e questo sarà il punto di vista adottato nella conferenza.

8 Febbraio 2006
Claudio Procesi (Università di Roma "La Sapienza")
L'algebra della box-spline.
Abstract: La "Box spline" è una funzione localmente polinomiale associata ad una lista di vettori che può essere utilizzata sia per approssimare funzioni che per grafica al calcolatore. Ha una relazione stretta con funzioni generatrici dei volumi o del numero dei punti interi di famiglie di politopi variabili. Vi è una ricca teoria algebrica sottostante di cui discuterò alcuni aspetti.

15 Febbraio 2006
Ulrike Tillmann (Oxford University)
The topology of strings: Mumford's conjecture and beyond.
Abstract: I will survey some of the work on the topology of moduli spaces of Riemann surfaces (and the associated mapping class groups) using homotopy theoretic means. This led to the proof of the Mumford conjecture on the stable cohomology of moduli space by Madsen and Weiss four years ago. More precisely, they identify the stable cohomology of moduli space with a certain Thom space well-known to homotopy theorists. More recent work shows that their theorem is the 2-dimensional case of a more general result valid in all dimensions. This gives a new point of view of cobordism theory. It also computes the source category of any d-dimensional quantum field theory in homotopy theoretic terms.

22 Febbraio 2006
Paolo Papi (Università di Roma -- "La Sapienza")
Regole di decomposizione per coppie conformi associate a spazi simmetrici.
Abstract: Diamo formule uniformi per branching rules di moduli di livello 1 su algebre ortogonali affini per tutte le coppie conformi associate a uno spazi simmetrici. Descriviamo poi combinatoriamente i risultati ottenuti in termini di particolari sottoalgebre abeliane di algebre di Lie Z₂-graduate.

1 Marzo 2006
Corrado de Concini (Università di Roma -- "La Sapienza")
L'algebra della box-spline, II.

8 Marzo 2006
Andrea Maffei (Università di Roma -- "La Sapienza")
Equazioni di varietà simmetriche e grassmanniane finite e affini.
Abstract: Sia G un gruppo algebrico semisemplice su C, s:G-->G una sua involuzione e H il sottogruppo dei punti fissati da s. Gli spazi omogenei G/H vengono detti varietà simmetriche e possono considerarsi una versione complessa degli spazi simmetrici. Nel caso in cui G è semplicemente connesso l'anello delle coordinate ha un sistema naturale di generatori. L'obiettivo del seminario è descrivere alcuni risultati ottenuti con Rocco Chirivì e Peter Littelmann che, in alcuni casi, descrivono le relazioni tra questi generatori come relazioni di Plucker di opportune grassmanniane non necessariamente finite e parallelamente una teoria dei monomi standard per l'anello di coordinate di G/H.

15 Marzo 2006
Alessandro D'Andrea (Università di Roma -- "La Sapienza")
Rappresentazioni discrete dell'algebra di Poisson formale.
Abstract: La struttura di alcune algebre di Lie linearmente compatte di dimensione infinita può essere descritta per mezzo del concetto di pseudoalgebra di Lie, che rappresenta più o meno una notazione stenografica della parentesi di Lie corrispondente. La relazione tra una pseudoalgebra di Lie e la corrispondente algebra di Lie linearmente compatta può essere utilizzata a livello di teoria della rappresentazione: le (pseudo)rappresentazioni di una pseudoalgebra di Lie si traducono infatti in rappresentazioni topologiche discrete della corrispondente algebra di Lie linearmente compatta. Mentre la trattazione delle rappresentazioni delle algebre di Lie di tipo Cartan con questi strumenti è ormai compresa, la classificazione delle rappresentazioni irriducibili discrete dell'algebra di Lie linearmente compatta delle funzioni formali rispetto alla parentesi di Poisson non è nota. Nonostante l'usuale concetto di rappresentazione di una pseudoalgebra di Lie non permetta di trattarle, mostrerò come una modificazione della definizione, che chiamo "rappresentazione con coefficienti", permetta di estendere facilmente gli strumenti utilizzati nel caso di algebre di tipo Cartan di tipo H a quello delle algebre di tipo Poisson, ottenendo una classificazione analoga.

22 Marzo 2006
Soren Galatius (Stanford University)
Stable homology of automorphism groups of free groups.
Abstract: Let Aut(F_n) denote the automorphism group of a free group on n generators. It is known that H_k(Aut(F_n)) is independent of n as long as n >> k. There is a natural homomorphism from the symmetric group S_n to Aut(F_n), I will sketch a proof that it induces an isomorphism from H_k(S_n ) to H_k(Aut(F_n)) for n >> k. An important point of view here is that BAut(F_n) can be thought of as a moduli space of metric graphs, i.e. graphs equipped with metrics, considered up to isometry.

29 Marzo 2006
Paolo Salvatore (Università di Roma "Tor Vergata")
Nodi lunghi e operadi.
Abstract: Un nodo lungo è un embedding dei reali in uno spazio euclideo che all'infinito è una mappa lineare fissata. Un operade è una famiglia di operazioni in più variabili chiusa per composizione. La concatenazione di nodi lunghi induce la struttura di algebra commutativa in omologia. In realtà l'omologia dei nodi lunghi è anche un'algebra di Poisson, e si può identificare con l'omologia di Hochschild di un operade opportuno. La congettura di Deligne, dimostrata da McClure-Smith, dice che le catene dell'operade dei piccoli dischi agiscono sul complesso di Hochschild. A livello topologico mostrerò che l'operade dei piccoli dischi agisce sullo spazio dei nodi lunghi. Versioni di questo risultato per spazi di nodi decorati sono state ottenute da Ryan Budney e Dev Sinha. Confronterò i risultati decorando opportunamente gli operadi corrispondenti.

5 Aprile 2006
Roberto Frigerio (Università di Pisa)
Quasi-isometrie e rigidità delle varietà iperboliche.
Abstract: Una quasi-isometria tra spazi metrici è una funzione che, se guardata da molto lontano, risulta biLipschitziana. Ad ogni gruppo finitamente generato è associato in maniera naturale un grafo connesso, detto grafo di Cayley, ben definito a meno di quasi-isometria. La teoria geometrica dei gruppi si occupa di stabilire delle relazioni tra le proprietà algebriche e geometriche di un gruppo finitamente generato (quali la finita presentabilità, la nilpotenza, la risolubilità, o l'essere il gruppo fondamentale di varietà con curvatura vincolata) e le proprietà metriche del grafo di Cayley del gruppo stesso. Sfruttando tecniche tipiche della teoria geometrica dei gruppi, mostrerò la seguente estensione del Teorema di Rigidità di Mostow: Siano M,M' varietà iperboliche compatte con bordo geodetico di dimensione maggiore uguale a 3, e si supponga che M e M' abbiano lo stesso gruppo fondamentale; allora M e' isometrica a M'. Se rimarrà tempo, vorrei mostrare come da questo risultato si possa dedurre il fatto che ogni gruppo numerabile è il mapping class group di una opportuna 3-varietà iperbolica senza bordo (ma con gruppo fondamentale non finitamente generato). Quest'ultimo risultato è stato ottenuto in collaborazione con B. Martelli.

12 Aprile 2006
Francesco Vaccarino (Politecnico di Torino)
Rappresentazioni, gruppo simmetrico e schemi di Hilbert: morfismo di Hilbert-Chow e lo schema commutante.
Abstract: Sia K un campo infinito. Recenti teoremi mostrano come l'ennesimo prodotto simmetrico di un schema affine X=Spec(R) su K s'immerga nella varietà che parametrizza le rappresentazioni K-lineari n-dimensionali di R. Richiameremo brevemente questi teoremi. Lo schema Hilb_n(X) di n punti su X parametrizza gli ideali di R di codimensione n. Il morfismo di Hilbert-Chow dallo schema Hilb_n(X) al corrispondente prodotto simmetrico verrà esteso attraverso la mappa norma di Grothendieck-Deligne. Utilizzando i risultati di cui sopra analizzeremo il morfismo di Hilbert-Chow in termini di rappresentazioni. Speciale attenzione sarà dedicata al caso di caratteristica zero.

26 Aprile 2006
Edoardo Sernesi (Università degli Studi "Roma Tre")
Teorema di Arakelov e moduli delle curve.
Abstract: Utilizzando un teorema classico di Arakelov è possibile stimare la dimensione generica dello spazio delle curve razionali in M_g. Si discuteranno alcune conseguenze di questa stima nel caso g basso.

3 Maggio 2006
Eric Opdam (Universiteit van Amsterdam)
Singularities of eigenfunctions on the crown domain.
Abstract: The crown domain &Xi of a Riemannian symmetric space X=G/K is a G-invariant domain of holomorphy in the complexification X_C of X which is maximal with respect to the following property: if (&pi,H) is an irreducible spherical representation of G with spherical vector v then the orbit map &phi_v(gK)=&pi(g)v extends holomorphically from X to &Xi. At the boundary of the crown domain &Xi the norm |&phi_v(&xi)| blows up. We discuss the growth rate of this function when we approach a point z of the semisimple part of the boundary of &Xi. The answer depends on the geometry of the boundary locally at z. We describe in this talk the geometry of the semisimple boundary of &Xi. We then use Dunkl-Cherednik theory and monodromy arguments in order to compute the leading terms in the singular expansion of |&phi_v|. Using ideas of Joseph Bernstein this can be used to prove the exponential decay of cuspidal Maass forms.

10 Maggio 2006
Ludovico Pernazza (Università di Pavia)
Rappresentazioni di costruibili ed estensioni di anelli di funzioni.
Abstract: I sottoinsiemi di una varietà algebrica definibili in un certo linguaggio (in questo caso quello dei corpi reali) possono essere rappresentati in modo diverso a seconda dell'anello di funzioni utilizzato. Lo spettro reale dell'anello risulta lo strumento più adatto per studiare tali rappresentazioni e il confronto tra lo spettro di un anello e quello delle sue estensioni permette di spiegare le differenze. Peraltro, come questo anche molti altre questioni relative ai costruibili si riflettono in proprietà dello spettro reale; introdurremo la teoria e alcuni risultati che mostrano tale connessione, evidenziando anche similitudini e differenze con il caso complesso.

Abstract:

17 Maggio 2006
Alberto Canonaco (Università di Pavia)
Rappresentabilità di funtori tra categorie derivate di fasci twistati.
Per un teorema di Orlov ogni funtore esatto pienamente fedele tra le categorie derivate (limitate dei fasci coerenti) di due varietà lisce proiettive è di Fourier-Mukai, cioè è indotto da un oggetto (unico a meno di isomorfismo) della categoria derivata del prodotto delle due varietà. Si esporrà un risultato, ottenuto in collaborazione con Paolo Stellari, che estende tale teorema al caso di fasci coerenti twistati rispetto a un elemento del gruppo di Brauer della varietà, indebolendo anche l'ipotesi sul funtore.

24 Maggio 2006
Hossein Abbaspour (Université de Lille)
String brackets and flat connections.
Abstract: I will begin with reviewing Goldman's work on the symplectic structure of the space of flat connections on a surface. By calculating the Poisson bracket for the holonomy functions, he discovered a Lie bracket for the free homotopy classes of the curves on a surface. The Lie bracket corresponds to Chas-Sullivan string bracket on the equivariant homology of the free loop space of a surface. I will show how one can complete Goldman's works to higher dimensions, in other words I will construct a map of Poisson algebras from the symmetric algebra of the equivariant loop homology to the space of functions of an appropriate symplectic space. This paves a way for a quantization of the Chas-Sullivan string bracket.

 

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Ultimo aggiornamento 8 Settembre 2006, Domenico Fiorenza