L'algebra di Brauer fu introdotta in origine in teoria delle rappresentazioni come centralizzante dell'azione di un gruppo classico - ortogonale o simplettico - su una potenza tensoriale della sua rappresentazione standard. In tale contesto, essa dà luogo ad un analogo di quella dualità, detta "di Schur-Weyl", che lega il gruppo generale (o speciale) lineare al gruppo simmetrico, in una situazione di "doppio centralizzante". Tale algebra centralizzante è il quoziente di un'algebra astratta, che oggi porta il nome di "algebra di Brauer": essa può essere descritta agevolmente tramite una base (lineare) di grafi, per i quali il prodotto è definito da una ovvia operazione di composizione (come si fa, ad esempio, per le trecce). Questa algebra è stata studiata a lungo, con metodi combinatorii: tuttavia, resta ancora da capirne la struttura, in particolare il radicale. In questo seminario presenterò un nuovo approccio per determinare tale radicale: esso si rifà alla relazione originaria dell'algebra di Brauer (astratta) con la teoria degli invarianti, e permette di ottenere, con poco sforzo, risultati molto significativi - e in alcuni casi esaustivi - che hanno anche importanti ricadute per lo studio dei moduli indecomponibili dell'algebra stessa.

I will first review some beautiful explicit results known for toric varieties. Namely, there are explicit formulas for the intersection indices of divisors in a toric variety, for the Chern classes of the tangent bundle and for the Euler characteristic of complete intersections. Then I show how these results can be extended to the setting where a toric variety is replaced by a regular compactification of an arbitrary reductive group. Such compactifications are the closest relatives of toric varieties and retain many of their nice properties. In particular, I will present an explicit formula for the intersection indices of the Chern classes of a regular compactification with divisors. This formula can be derived using the algorithm developed by De Concini and Procesi for the intersection indices of divisors in complete symmetric varieties.

Nel 1982 Camacho e Sad mostrarono che, se S è una foglia compatta di una foliazione olomorfa singolare F su una superficie complessa M, è possibile associare a ogni punto singolare p di F in S un numero complesso (l'indice di F in p lungo S), dipendente solo dal comportamento locale di F vicino a p, in modo che la somma di questi indici dia la prima classe di Chern del fibrato normale di S in M. Questo teorema dell'indice, che ha avuto profonde conseguenze nella teoria delle foliazioni olomorfe di superfici complesse, è stato in seguito generalizzato da Lehmann, Suwa e altri a triple (M,F,S) dove M è una varietà complessa di dimensione qualsiasi, e S è una sottovarietà (eventualmente singolare) compatta di M tangente a una foliazione olomorfa singolare F di M; e, recentemente, Camacho-Movasati-Sad e Camacho-Lehmann hanno ottenuto risultati analoghi anche in situazioni in cui S è trasversale alla foliazione F. Nel 2004, in collaborazione con F. Bracci e F. Tovena, abbiamo ottenuto teoremi dell'indice analoghi ma in cui la foliazione F è sostituita da una applicazione olomorfa f della varietà M in sè che sia l'identità su S. Inoltre, i nostri risultati valgono sia quando S è (in un senso opportuno) tangente all'applicazione f, sia quando S è (in un senso opportuno) trasversa a f, in tal caso imponendo interessanti ipotesi geometriche sull'immersione di S in M. In questo seminario presenterò una procedura generale che riduce la dimostrazione di un teorema dell'indice di questo genere allo splitting di un'opportuna successione esatta di fasci, fornendo quindi un approccio unificato a tutti i teoremi dell'indice stile Camacho-Sad noti, e anche a qualcuno nuovo. [Lavoro in collaborazione con F. Bracci e F. Tovena].

A wealth of geometric and combinatorial properties of a given linear endomorphism X of R^>N is captured in the study of its associated zonotope Z(X), and, by duality, its associated hyperplane arrangement H(X). This well-known line of study is particularly interesting in case n=rank X << N. We enhance this study to an algebraic level, and associate X with three algebraic structures, referred herein as {\it external, central, and internal.} Each algebraic structure is given in terms of a pair of homogeneous polynomial ideals in n variables that are dual to each other: one encodes properties of the arrangement H(X), while the other encodes by duality properties of the zonotope Z(X). The algebraic structures are defined purely in terms of the combinatorial structure of X, but are subsequently proved to be equally obtainable by applying suitable algebro-analytic operations to either of Z(X) or H(X). The theory is universal in the sense that it requires no assumptions on the map X (the only exception being that the algebro-analytic operations on Z(X) yield sought-for results only in case X is unimodular), and provides new tools that can be used in enumerative combinatorics, graph theory, representation theory, polytope geometry, and approximation theory. In talk I, we will focus on the algebraic aspects of this work, in talk II, on its graph-theoretic implications.

We will review the recent progress in using differential and difference equations for the theta function to characterize Jacobians of curves and Prym varieties (a special class of abelian varieties, naturally embedded in Jacobians of curves having an involution) in the moduli space of all principally polarized abelian varieties. In analogy with the case of Welters' trisecant conjecture - that Jacobians are characterized by their Kummer variety having a trisecant line - recently proven by Krichever, we prove (jointly with Krichever) that Pryms are characterized by their Kummer variety having a "symmetric" pair of quadrisecant planes. We will explain some ideas of the approach to this problem, as well as the related questions on |2&Theta| linear system and resulting new identities for theta functions of Jacobians.

I'll extend the theory of polynomial identities to the framework of Hopf algebra representations. As an application I'll show how to use these extended polynomial identities in order to construct versal deformations of quantum principal fibre bundles in noncommutative geometry (joint work with Eli Aljadeff)

We plan to talk about structural properties and numerical invariants of the finite dimensional solvable Lie algebras naturally associated with hypersurface singularities.