Seminario di
Algebra e Geometria 2008/09
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September, 24th, 2008.
Jürg Kramer (Humboldt-Universität zu Berlin Institut für Mathematik)
An arithmetic Riemann-Roch theorem for
modular curves of non-compact type
In this talk we will state and sketch the proof of an arithmetic Riemann-Roch theorem in degree one for the canonical line bundle
on an arithmetic surface equipped with a hermitian
metric allowing a finite number of hyperbolic cusps. The theorem gives an
explicit relation between the generalized arithmetic self-intersection number
of the canonical line bundle equipped with a logarithmically singular hermitian metric (due to Bost,
Kuehn) and the arithmetic degree of the determinant of cohomology
with respect to a suitably regularized Quillen
metric associated to the metric on the canonical line bundle. In this way, we
establish a new link between the spectral theory of Riemann surfaces with
cusps and the arithmetic algebraic geometry in the spirit of arithmetic
Riemann-Roch theorems for vector bundles equipped
with smooth hermitian metrics.
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October, 1st,
2008.
Riccardo Salvati Manni (Sapienza Università di Roma)
Forme modulari e misura di superstringa
chirale
Negli ultimi anni D'Hoker and Phong
hanno sviluppato un programma di studio per trovare la misura di superstringa chirale partendo dai principi primi. Uno
strumento importante e' la costruzione di forme modulari soddisfacenti alcune
condizioni. Grushevsky ha presentato un ansatz per generi bassi (g <5 >) e un
possibile ansatz per tutti i generi soggetto alla
condizione di modularità per radici 2(g-4)-esime di forme
modulari. Verrà risolto il caso di genere 5 usando le relazioni di Riemann e di Schottky-Jung. Sara' illustrato anche il legame tra la costante
cosmologica e una particolare forma modulare di peso 8 definita per ogni
genere g.
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October, 8th,
2008.
Claudio Procesi (Sapienza Università di
Roma)
Teorema dell'indice per operatori trasversalmente ellittici
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October, 15th,
2008.
Claudio Procesi (Sapienza Università di
Roma)
Teorema dell'indice per operatori trasversalmente ellittici, II
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October, 22nd, 2008.
Maria Gorelik (The Weizmann Institute of Science)
On complete reducibility for infinite-dimensional Lie algebras
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October,
29th, 2008.
Peter Fiebig (Universität
Freiburg)
Bruhat graphs between geometry and
representation theory
We show how one can associate to any root system a labelled graph that
encodes the intersection cohomology of finite or
affine Schubert varieties as well as the structure of projective objects in
various representation theoretic categories. Then we discuss how this can be
used to prove various multiplicity conjectures in representation theory. In
particular, this approach gives a new and significantly simplified proof of Lusztig's conjecture on simple characters of algebraic
groups in almost all characteristics, as well as a bound on the exceptional
primes.
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November,
5th, 2008.
Oksana Yakimova (Centro De Giorgi, Pisa)
On commuting varsities associated with Lie algebras
The classical commuting variety is the set of pairs of commuting square
matrices. One gets a straightforward generalisation
by replacing the algebra of matrices with an arbitrary reductive Lie algebra
g. These commuting varieties are known to be irreducible by a result of
Richardson. There is another possibility if g is not reductive. We can
consider a "mixed" commuting variety, i.e., the set of pairs $(x,a)\in \mathfrak g\times \mathfrak g^*$ such that $a([\mathfrak
g,x])=0$. In other words, the mixed commuting
variety is the zero set of the moment map $\mathfrak
g\times \mathfrak g^* \to \mathfrak
g^*$. In the talk, we will discus the
irreducibility problem for both usual and mixed commuting varieties
associated with centralisers of matrices and some
commuting varieties related to symmetric pairs.
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November, 12th, 2008.
Dmitri Panyushev (Independent University of
Moscow)
Periodic contractions of semisimple Lie
algebras and their invariants
Let $\theta$ be an automorphism of finite order of
a semisimple Lie algebra $\frak
g$. Associated with the pair $(\frak g, \theta)$
there is a new non-reductive Lie algebra $\frak q$,
which is called a periodic contraction of $\frak
g$. For instance, if $\theta$ is an involution and $\frak
g=\frak g_0\oplus \frak g_1$ is the corresponding symmetric decomposition,
then $\frak q$ is the semi-direct product of $\frak g_0$ and the $\frak
g_0$-module $\frak g_1$. In my talk, I'll discuss
invariant-theoretic properties of periodic contractions; especially the
invariants of the adjoint and coadjoint
representations, and their relations with the invariants of the initial
algebra $\frak g$.
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November, 26th, 2008.
Pavle Pandzic
(University of Zagreb)
Dirac cohomology of Harish-Chandra modules
In the 1970's, Parthasarathy introduced a
version of the Dirac operator D attached to a real reductive group,
and used it to construct the discrete series representations. He also
obtained a useful necessary condition, Dirac operator inequality, for unitarizability of an irreducible Harish-Chandra module.
In 1997 Vogan studied a purely algebraic version of
D and used it to attach an invariant, called Dirac cohomology,
to a Harish-Chandra module X. He conjectured that Dirac cohomology, if nonzero, determines the infinitesimal
character of X. This conjecture was proved by Huang and myself in
2002. Subsequent generalizations to other settings were obtained by Kostant, Kumar, Alekseev-Meinrenken
and Kac-Frajria-Papi. Further results on Dirac cohomology of Harish-Chandra modules included a
relationship to n cohomology in some special cases
(joint with Huang and Renard). In this talk I will
give a brief overview of the definitions and the above mentioned results. I
will then describe some further work in progress. The topics I plan to
mention are algebraic Dirac induction (with D.Renard),
p+ cohomology of unitary highest
weight modules (with V.Protsak) and unipotent representations (with D.Barbasch),
and sharpening the Dirac inequality (with D.Renard).
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December, 3rd,
2008.
Simone Diverio (Sapienza Università di Roma)
Congettura di Green-Griffiths-Lang effettiva per ipersuperfici
proiettive generiche
La congettura di
Green-Griffiths-Lang prevede che su ogni varietà algebrica proiettiva di tipo
generale X esista una sottovarietà propria Y tale che
l'immagine di ogni applicazione olomorfa non costante dal piano complesso in X
sia contenuta in Y. In questo seminario daremo una conferma di tale
congettura per ipersuperfici proiettive generiche
di grado elevato (con stima effettiva sul grado), recentemente ottenuta in
collaborazione con E. Rousseau e J. Merker.
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December, 10th, 2008.
Gerard Van der Geer (Korteweg-de Vries Instituut, Universiteit van Amsterdam)
Cycle classes on the moduli space of K3 surfaces
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December, 17th, 2008.
Victor Kac (MIT)
Seminar on modular invariance in representation theory
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January, 12th,
2009.
Andrea Maffei (Sapienza Unversità di Roma)
Seminar on modular invariance in representation theory
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January, 14th, 2009.
Giovanni Felder (ETH Zurich)
Circle action on configuration spaces and cyclic homology
Kontsevich's formality theorem states that the graded Lie
algebra of multidifferential operators is
equivalent as as a homotopy
Lie algebra to its cohomology. A consequence is the
classification of formal associative deformations of the algebra of functions
on a manifold in terms of Poisson brackets. Recently several proofs of a
version of the formality theorem for Hochschild and
cyclic chains have appeared. We will present one based on Feynman integrals
of S^1-equivariant differential forms on configuration spaces of points on
the unit disk. (Joint work with Alberto S. Cattaneo and Thomas Willwacher)
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January, 19th,
2009.
Paolo Papi (Sapienza Università di Roma)
Seminar on modular invariance in representation theory
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January, 21st,
2009.
Pierluigi Moseneder Frajria
(Politecnico di Milano)
Seminar on modular invariance in representation theory
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January, 28th,
2009.
Alberto De Sole (Sapienza Università di Roma)
Seminar on modular invariance in representation theory
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February, 11th, 2009.
Winfried Kohnen (Mathematisches
Institut der Universitat
Heidelberg)
Generalized modular functions
We study the Fourier coefficients of
generalized modular forms $f(\tau)$ of integral weight $k$ on subgroups
$\Gamma$ of finite index in the modular group. We establish two Theorems
asserting that $f(\tau)$ is constant if $k = 0$, $f(\tau)$ has empty divisor,
and the Fourier coefficients have certain rationality properties. (The result
is false if the rationality assumptions are dropped.) These results are
applied to the case that $f(\tau)$ has a cuspidal
divisor, $k$ is arbitrary, and $\Gamma = \Gamma_{0}(N)$, where we show that
$f(\tau)$ is modular, indeed an eta-quotient, under natural rationality
assumptions on the Fourier coefficients. We also explain how these results
apply to the theory of orbifold vertex operator
algebras.
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February, 25th, 2009.
Vikram Mehta (Tata Institute of Fundamental
Research)
The Fundamental Group Scheme of a Family of Varieties, following Gasbarri and Antei
We construct these group schemes
using essentially finite vector bundles and Tannaka
Lattices. We show commutavity with products and
base field extensions (joint work with S. Subramanian).
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April,
1st, 2009.
Andrea Ferretti (Sapienza, Università di Roma)
L'anello di Chow delle sestiche EPW doppie
Le varietà simplettiche olomorfe sono una classe di
varietà Kahleriane che si presenta naturalmente nel
cercare di classificare varietà con canonico banale. Il loro studio è
parallelo, per molti versi, a quello delle superfici K3. Purtroppo non sono
conosciuti molti esempi sostanzialmente differenti di queste varietà. Dopo
una breve panoramica mi concentrerò sull'esempio delle sestiche
EPW doppie. In particolare presenterò alcune proprietà del loro anello di
Chow che ho studiato nella tesi di dottorato.
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April,
15th, 2009.
Filippo Nuccio (Sapienza, Università di Roma)
Congettura di Greenberg in teoria di Iwasawa
Dopo un'introduzione alla teoria di Iwasawa
classica per campi di numeri e all'analogia con la teoria delle curve su
campi finiti, presenterò la congettura di Greenbger
per campi di numeri abeliani totalmente reali e ne discuterò le implicazioni
e i legami con la teoria ciclotomica classica. Infine, presenterò due
risultati della mia tesi di dottorato in merito alla congettura di Greenberg in casi particolari.
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April,
22nd, 2009.
Luca Migliorini (Università di Bologna)
tba
La varietà delle rappresentazioni (twisted)
del gruppo fondamentale di una curva algebrica in GL_2 ha una struttura
naturale di varietà affine. La sua coomologia è
perciò dotata di una struttura di Hodge mista, recentemente indagata da Hausel a Rodriguez-Villegas,
che hanno notato che la filtrazione dei pesi soddisfa una strana proprietà di
simmetria, da loro chiamata "Curious Hard Lefschetz". La varietà delle rappresentazioni è diffeomorfa in modo naturale allo spazio dei moduli dei
fibrati di Higgs semistabili di rango 2, sul quale
è definita la fibrazione di Hitchin,
una mappa propria a valori in uno spazio lineare. Nel seminario discuterò la
descrizione della filtrazione dei pesi sulla coomologia
della varietà dei caratteri in termini di una filtrazione di natura
topologica (la filtrazione perversa) associata alla fibrazione
di Hitchin. Lavoro in collaborazione con M. de
Cataldo (SUNY) e T. Hausel(Oxford).
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May, 6th,
2009.
Giovanni Cerulli Irelli (Università di
Padova)
Quiver Grassmannians
and Cluster Algebras
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May, 13th,
2009.
Lucio Bedulli (Sapienza, Università di Roma)
Sottovarietà totalmente complesse di varietà quaternion-Kähler
e geometria dello spazio dei twistori
Le sottovarietà totalmente complesse massimali (TCM) sono
l'analogo quaternion-Kähler delle sottovarietà
Lagrangiane nelle varietà Kähleriane. Il loro
studio è legato alla geometria delle sottovarietà Lagrangiane e Legendriane delle varietà di Fano di contatto (gli spazi
dei twistori). Classificheremo le sottovarietà omogenee TCM di HPn e di conseguenza le sottovarietà Legendriane omogenee di CP2n+1
generalizzando un risultato di Landsberg e Manivel.
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May, 20th,
2009.
Massimo Bertolini (Università di Milano)
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