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\begin{document}

ANNO ACCADEMICO 1996-97 

\begin{itemize}
 
\item {\bf Alcuni problemi di Geometria Combinatoria}\\
{\it Adriano Barlotti -
Universit\`a di Firenze}\\
4 dicembre 1996\\
Si pongono alcuni problemi che possono essere divisi in tre insiemi:\\
a) Questioni collegate al teorema di Sylvester-Gallai.\\
b) Il ``Packing problem" dopo il teorema di Tallini.\\
c) Problemi aperti nella classificazione dei piani proiettivi.

 
\item {\bf Prime values of polynomials}\\
{\it Paulo Ribenboim -
Queen's University, Kingston, Ontario (Canada)}\\
18 dicembre 1996\\
In this lecture I examine the conjectures of Dickson, Bouniakowski,
Sierpinski and Schinzel concerning prime values of polynomials and state
numerous striking consequences.

 
\item {\bf Blocking Set nei piani finiti: tecniche algebriche e
geometriche}\\
{\it Francesco Mazzocca - Universit\`a di Napoli}\\
12 febbraio 1997\\
\`E una survey sui risultati noti di teoria dei blocking set in
$PG(2,q)$ e $AG(2,q)$, con particolare riguardo a quelli che fanno uso della
teoria dei polinomi lacunosi e della teoria dei gruppi. Tra l'altro, viene
annunciata una caratterizzazione (ottenuta da A. Bruen, F. Mazzocca, O.
Polverino) dei blocking set di R\'edei di $PG(2,q)$ aventi almeno due
rette di R\'edei.\\
\`E doveroso da parte mia esprimere l'emozione che ho provato nel
tenere una conferenza a Roma senza la presenza del compianto Giuseppe
Tallini.

 
\item {\bf La Geometria di Incidenza di Spazi di
Grassmann}\\
{\it Eva Ferrara Dentice -
Universit\`a di Napoli}\\
12 marzo 1997\\
In questa conferenza ho trattato il problema della geometria di incidenza
di spazi e variet\`a di Grassman sia dal punto di vista della
caratterizzazione e classificazione astratta, sia esaminando il problema
nnel caso immerso. Sono inoltre riportati alcuni dei risultati noti
relativi a queste problematiche e dei Teoremi di nuova formulazione.

 
\item {\bf Alcune congetture della Teoria dei Grafi}\\
{\it Mario Gionfriddo -
Universit\`a di Catania}\\
12 marzo 1997\\
A Giuseppe Tallini.\\
In questi ultimi anni ho provato ad esaminare la "quantit\`a" di
conseguenze prodotte dal Teorema di Vizing. \`e davvero straordinario
come un risultato sull'indice cromatico di un grafo possa aver prodotto
tutta una serie di problematiche e congetture su grafi, ipergrafi, sistemi
di Steiner, ecc.\\
Teorema di Vizing: $G$ grafo (semplice) $\rightarrow$ $\Delta \leq \chi'(G) < \Delta +1$, $\Delta$ = max grado in $G$.\\
Conseguenze. 1) Problema della classificazione dei grafi: determinare una
condizione necessaria e sufficiente che possa individuare la classe del
grafo. 2) Congettura di Berge negli ipergrafi lineari. 3) Congettura di
Vizing cui grafi planari. 4) Congettura di Chv\'atal. 5) Congettura
sui grafi critici.

 
\item {\bf Sull'esistenza di $(l, m, n)$-fibrazioni}\\
{\it Marco P. Bernardi - Universit\`a di Pavia}\\
9 aprile 1997\\
(Lavoro in collaborazione con E. Schiavi) Chiamiamo $(l, m,
n)$-fibrazione su $K$ una famiglia di $m$-spazi di $P_n(K)$ che dia una
partizione della famiglia degli $l$-spazi. Nel caso di $l>0$ e di $K$
finito, abbiamo ottenuto i seguenti risultati di non-esistenza:\\
1) se $m-l+2$ non divide n\`e $n-l+1$ n\`e $n-l+2$, non esiste
alcuna $(l, m, n)$-fibrazione;\\
2) se $n \leq 2m$, non esiste alcuna $(l, m, n)$-fibrazione.\\
Nel caso infinito, il problema dell'esistenza risulta molto pi\`u
semplice, ed \`e completamente risolto da un risultato di A.
Beutelspacher.\\
\`E doveroso esprimere la riconoscenza a Giuseppe Tallini che mi ha
incoraggiato pi\`u di una volta allo studio di questi problemi.

 
\item {\bf On vertex and edge but not arc-transitive graphs,
valency 4}\\
{\it Dragan Marusic - Universit\`a di Zagabria (Slovenia)}\\
23 aprile 1997\\
The concept of transitive group actions on various objects of the graph is
studied. Graphs which are vertex and edge but not arc-transitive, in short
$1/2$-transitive, were first mentioned in the book by Tutte ``Connectivity
in graphs". He proves there that such a graph must have even valency
$2k\geq4$. An infinite family of such graphs (one for each admissible
valency) was constructed by I. Z. Boniver in 1970. In 1981 the smallest
example with 27 vertices was found by Holt.\\
In this talk we dealt with $1/2$-transitive graphs of valency 4 and more
generally with graphs of valency 4 admitting a subgroup of automorphisms
acting $1/2$-transitively.
Various combinatorial properties of these graphs are studied (alternating
cycles, attachment number, order of vertex stabiliser).

 
\item {\bf Subgraphs and spanning trees of hypercubes}\\
{\it Ivan Havel - Math. Institute Academy of Sciences of the Czech
Republic}\\
23 aprile 1997\\
The aim of the talk is to present a survey of results and open problems
concerning the s.c. cubical graphs. These are graphs isomorphic to
subgraphs (not necessarily isometric) of hypercubes $Q_n$. The cubical
dimension of $G$, $cd(G)$, is defined to be the smallest n such that $G$ embeds
in $Q_n$ (i.e. such that $G$ is a subgraph of $Q_n$). Every tree $T$ is cubical
but to determine $cd(T)$ is in general not easy. In the talk I was also
dealing with spanning trees of $Q_n$, i.e. trees on $2^n$ vertices which embed
in $Q_n$. A special attention was paid to spanning caterpillars. Not too
much is known about the sequence $\{s_n\}_{n\geq2}$,where $s_n$ denotes the
minimal number of spinal vertices of a caterpillar spanning $Q_n$ ($s_2=2$,
$s_3=4$, $s_4=6$, $s_5=10$, $s_6=16$, $s_7=28$). The problem of finding good bounds
for $s_n$ is related to a conjecture of F. Harary and M. Lewinter from 1988,
disproved by showing $s_6$ to be 16. There are many problems here, e.g.: Is
$s_n$ even for every $n$?

 
\item {\bf Arcs and ovals in infinite $K$-clan geometry}\\
{\it Christine M. O'Keefe - University of Adelaide (Australia)}\\
7 maggio 1997\\
(With Laura Bader) The term $q$-clan geometry is often used to refer to
the theory of flocks
of quadratic cones and their associated generalized quadrangles and
translation planes over $GF(q)$. F. De Clerck and H. Van Maldeghem used
the coordinatization of a GQ to extend this thory to the case of an
infinite field $K$, introducing $K$-clans.\\
Our aim in this work is to extend the thory of herds of arcs and ovals to
infinite fields.

 
\item {\bf A shorter proof of the maximal arcs
conjecture}\\
{\it Aart Blokhuis - T. U. Eindhoven (NL) }\\
7 maggio 1997\\
A $(k, n)$-arc in $PG(2, q)$ is a set of $k$ points, at most $n$ collinear. We
have $k\leq 1+(n-1)(q+1)$ and in case of equality we speak of a MAXIMAL
ARC.\\
Maximal arcs with $1<n<q$ were only known for $q$ even. The maximal arcs
conjecture says that they don't exist for add $q$. The first step towards
proving this was Cossu's result that there does not  exist a (21, 3) arc
in $PG(2,9)$ later extended by Thas to $(2q+3, 3)$ arcs in $PG(2, 3^h)$.\\
The full conjectures was finally proved in 1995 by BALL, MAZZOCCA and the
speaker.\\
In this talk a simplified proof is outlined.

\end{itemize} 

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\begin{center}
ANNO ACCADEMICO 1997-98
\end{center}

\begin{itemize}

\item
{\bf Constructing examples in finite geometries (using a computer)} \\
{\em Ivano Pinneri - Universit\`a Western Australia, Perth} \\
12 novembre 1997

The talk will focus on two areas. Firstly we will look at specific case of
how the construction of new examples can motivate theory.
Secondly, we will look at the class of algorithms which perform exhaustive
searches for configurations in a classical geometry in which the algorithm
returns exactly one copy for each isomorphism class of the configuration.

\item
{\bf Covers of Projective Spaces} \\
{\em Dieter Jungnickel -} \\
26 novembre 1997

Recently, there has been some interest in (minimal) line covers of
$PG(3,q)$. By a surprising result of Blokhuis et al., such covers exist for
sizes $q^2+1+\epsilon$ with $0\leq \epsilon \leq q-1$ (whereas the largest
maximal partial spreads have at most $q^2+1-\epsilon$ lines, with $\epsilon
\geq 2 \sqrt{q}$). In about 1980 I proved that
every group of order $s^2$ which admits a system of $s+1- \delta$ disjoint subgroups of order $s$,
where
$\delta \geq \sqrt{s}$, is necessarily elementary abelian. To complement
these results, I now show that every group of order $s^2$ admitting a
cover by $s+1+ \epsilon $ subgroups of order $s$, where $ \epsilon \leq
p-2$, $p$ the smallest prime divisor of $s$, is again elementary abelian. If
$s$ is actually any power of $p$, say $s=p^t$, I can also construct a not
elementary abelian group of order $s^2$ which has a cover with $s+1+p$
subgroups of order $s$. Some open problems are also discussed.

\item
{\bf Multipli di Forme Traccia} \\
{\em Marina Monsurr\`o -} \\
14 gennaio 1998

Lo studio della classe di isomorfismo della forma traccia $q_L$di una
$G$-algebra di Galois $L$ come $G$-forma consente di fornire una descrizione
estremamente completa dell'algebra stessa. In questo contesto \`e possibile
ridurre tale problema di classificazione ad un problema di coomologia
abeliana. In particolare, se si considerano multipli di $q_L$ della forma
$2 \otimes q_L := q_L \oplus q_L$, condizioni n.s. perch\'e, date due forme
traccia
$q_L$ e $q_{L^\prime}$, $2 \otimes q_L \simeq 2 \otimes q_{L^\prime}$ \`e
che $(x_L, -1)=(x_{L^\prime},-1)$  per ogni $x \in H^1 (G, \mu _2) $
dove
$x_L\in H^1(G_k,\mu_2)$, con $G_k=Gal(k_s,k)$ e $k$ corpo di base di $L$,
e $(x_L, -1) \in H^2 (G_k, \mu_2)$.

\item
{\bf Generalized Quadrangles of order $(q, q^2)$} \\
{\em Ivano Pinneri -} \\
28 gennaio 1998

We investigate a way of characterizing or constructing new generalized
quadrangles of order $(q,q^2)$ from subquadrangles of order $q$.
In particular, we look at the subquadrangle $T_2(O)$, $q=8$, when $O$ is a
Tits oval.

\item
{\bf New classes of
extended generalized quadrangles of order
$(q+1, q-1)$} \\
{\em J.A. Thas
-} \\
25 febbraio 1998

Starting from a particular set of $q+3$ planes in $PG(5,q)$, $q$ even,
Yoshiara constructs an extended generalized quadrangle of order
$(q+1,q-1)$ ($EGQ(q+1, q-1)$). He gives an example of such a class of
planes; the arising $EGQ(q+1, q-1)$ is denoted by $Y_q(O^*)$, $O*$ some
plane dual hyperoval. Here we construct another such class of planes,
giving an $EGQ(q+1, q-1)$ denoted $Y_q(K)$, $K$ a $(q+1)$-arc of $PG(3,q)$.
In general $Y_q(O^*) \not\cong Y_q(K)$. Starting from a particular set of
$q+3$ planes, this time in $PG(4,q)$, $q$ even, we construct an
$EGQ(q+1,q-1)$. We show that two such classes of $EGQ(q+1,q-1)$ arise as
$q$-fold quotients of $Y_q(O^*)$ and $Y_q(K)$. In total we thus obtained 3
new infinite classes of $EGQ(q+1,q-1)$.

\item
{\bf Flock del cono quadrico}\\
{\em Laura Bader -}\\
11 marzo 1998

Si \`e discussa la costruzione dei flock del cono quadrico di $PG(3,q)$ e
delle geometrie associate (piani di traslazione, BLT-sets, quadrangoli
generalizzati di elazione, herds di ovali), evidenziando i legami tra queste
e caratterizzandone gli isomorfismi. Si sono elencate poi le
generalizzazioni note, facendo un cenno dei risultati pi\`u significativi.
Infine, si sono esaminate le classi dei ``semifield flocks'' e dei ``likeable
flocks'', elencando i risultati e le classificazioni note.

\item
{\bf Curve massimali}\\
{\em J.W.P. Hirschfeld
-}\\
25 marzo 1998

Una curva massimale \`e una curva algebrica sopra un campo finito $GF(q)$
tale che il numero dei punti razionali su un modello non singolare \`e
$N=q+1+2g\sqrt q$, dove $g$ \`e il genere. Si presenta una rassegna dei
risultati noti e si descrive un teorema che caratterizza le curve
massimali con un modello non singolare nel piano di grado $\frac 1 2(\sqrt q+1)$
come una curva di Fermat. Questo lavoro \`e fatto con Cossidente,
Korchm\'aros e Torres.

\item
{\bf Blocking configurations in projective spaces and in polar spaces}\\
{\em Klaus Metsch -} \\
8 aprile 1998

The subject of the talk is the following problem:
\begin{quote}
given a projective (or polar) space of dimension $d$
and integers
$0 \leq t,s \leq d$, what is the smallest size of  a set $T$ of $t$-subspaces
such that every $s$-subspace is incident with an element of $T$.
\end{quote}
Many
known results will be presented (like the Theorem of Bose and Burton).
Then some recent results we presented. One is the solution of the case
$t=1,\ d=2s \geq 4$ in projective space (with J. Eisfeld). In the polar
space I can solve the problem for $t=0,\ s=1$ (blocking lines by points)
except for the symplectic polar spaces $\omega (2n+1,q)$, $q$ odd.
I also can solve the problem $t=0,\ 0 \leq s \leq d$ for the elliptic
quadric $O^-(2n+1,q)$. The result covers in particular the following
theorem:
\begin{quote}
in $O^+(2n+1,q)$ at least
$q^{n+1} + q^{n-1}$ points are necessary to block all maximal singular
subspaces.
\end{quote}
All minimum examples can be classified.

\item
{\bf Partial spreads and exterior sets revisited}\\
{\em Klaus Metsch -}\\
29 aprile 1998

In this talk I will report on the problem of extending partial spreads of
$PG(3,q)$ to spreads. Recent progress of L. Storme and myself will be
presented. Also the problem of maximal partial line spreads and line
coverings in $PG(d,q)$, $d$ even, will be considered. The second part of the
talk presents old and new (very recent) results on the maximal size of
exterior sets in finite hyperbolic quadrics.

\item
{\bf Unitals and Baer Structures}\\
{\em Christine M. O'Keefe - University of Adelaide}\\
27 maggio 1998

Both unitals and Baer subplanes are sets of points in $PG(2,q^2)$ which are
met by any line in either 1 or $q+1$ points. In this talk I will survey
the results which characterize the classical and Buekenhout-Metz unitals
in terms of Baer sublines, and discuss the previously known results about
the possible sizes of the intersection of a Baer subplane with such a
unital.\\
I will outline the proof of the recent result (obtained jointly
with Sue Barwick and Leo Storme) which characterizes the classical and
the Buekenhout-Metz unitals in terms of the size of their intersection
with certain Baer subplanes.

\item
{\bf Baer partitions of projective planes}\\
{\em Nicholas Hamilton - University of Queensland}\\
21 maggio 1998

A Baer partition of a projective plane of order $q^2$ is a collection of
Baer subplanes such that every point of the plane is contained in a unique
element of the collection. Results classifying all Baer partitions of
translation planes of order 9, 16 and 25 are presented. In particular new
partitions of Desarguesian projective planes of orders 16 and 25 are
given. Non-Desarguesian translation planes of orders 9, 16 and 25 are shown
not to exist. Finally the structure of one of the non-classical examples in
$PG(2,16)$ in examined and a conjecture made about the existence of a
class on non-classical examples in even (square) order planes.

\end{itemize}

\begin{center}
ANNO ACCADEMICO 1998-99
\end{center}

\begin{itemize}

\item
{\bf A signature theorem for uniform oriented matroids}\\
{\em T. Bisztriczky - University of Calgary}\\
7 ottobre 1998

The Signature Lemma of Cordovil and Duchet states that if $M = (E,\cal C)$ is a
uniform oriented matroid of rank $r$ on an $n$-element set
$E = \{e_1,e_2,...,e_n\}$ endowed with the linear order
$e_1 < e_2 < \dots < e_n$ and of each $C \in \cal C$ has the property

$(S)$ \quad $\{e_i,e_{i+1}\} \subset \underline C \Rightarrow sg_C(e_{i+1}) = - sg_C(e_i)$

then $M$ is an
alternating matroid on $E$. In the Signature Theorem, it is shown that if
each $C \in \cal C$ has the property

$(S)_k$ \quad $\{ e_i, \dots, e_{i+k-1} \}
\subset \underline C \Rightarrow sg_C(e_{i+1}) = (-1)^j sg_C(e_i)$\\
for $j=1, \dots , k-1$ where $k = [\frac{r+3}{2}]$,

then $M$ is alternating in $E$.

\item
{\bf Tre belle applicazioni della formula di Eulero}\\
{\em Martin Aigner
-}\\
7 ottobre 1998

Paul Erd\"os parlava spesso del libro in cui Dio teneva le dimostrazioni
perfette dei teoremi matematici. Si presentano tre esempi di tali
dimostrazioni, tutte e tre conseguenza della formula di Eulero: 1) il
teorema di Sylvester-Gallai, 2) il ``crossing lemma'', 3) il teorema di
Pick.

\item
{\bf La congettura di Borsuk}\\
{\em Martin Aigner
-}\\
21 ottobre 1998

Nel '33 Borsuk poneva il problema: sia $S \subseteq \Re^d$ con $diam(S)>0$
finito. Allora, $S$ pu\`o essere decomposto in al massimo $d+1$ sottoinsiemi
di diametro minore di quello di $S$. La congettura \`e stata risolta nel '93
da Kahn e Kalai in un modo spettacolare quando dimostrarono che ci sono insiemi
$S$ di cui ogni partizione ammissibile contiene una quantit\`a di ordine
esponenziale di parti. Si presenta una modificazione di una dimostrazione
di questo risultato dovuta a Noga Alon.

\item
{\bf Skew orthogonal triple systems}\\
{\em Eric Mendelsohn - University of Toronto (Canada)}\\
21 ottobre 1998

The relationship between orthogonal triple systems and Room squares is
well known. The problem of the spectrum of orthogonal Latin squares is
quite difficult and was only solved recently. We give a relationship between
a new object skew orthogonal triple systems and skew Room squares. This
simple extra condition on orthogonal triple systems makes for a much various
object. We get some partial existence results (approx 11,000) possible
exceptions. We also give forbidden subgraph characterization of skew
orthogonal triple systems.

\item
{\bf Alcune dimostrazioni del metodo ``contare in due modi''}\\
{\em Martin Aigner
-}\\
4 novembre 1998

Presentiamo tre esempi nell'ambito della teoria dei numeri, della
combinatoria enumerativa e topologia per illustrare la forza del metodo
``contare in due modi''. Gli esempi sono: il numero medio dei divisori, la
formula di Cayley sul numero degli alberi (la nuova dimostrazione dovuta a
Pitman) e il famoso lemma di Sperner da cui si pu\`o dedurre il teorema del
punto fisso.

\item
{\bf Il problema di Dinitz}\\
{\em Martin Aigner -}\\
11 novembre 1998

Supposto che per ogni casella $(i,j)$ di un quadrato di tipo $n \times n$,
c'\`e un insieme $C(i,j)$ di $n$ colori. Allora, possiamo colorare il
quadrato in modo tale che ogni casella \`e colorata con un colore della sua
propria lista, e tale che i colori sono diversi in ogni riga e colonna.
Presentiamo la dimostrazione meravigliosa di Fred Galvin che consiste
in una combinazione di due risultati ben conosciuti nell'ambito della
teoria dei giochi.

\item
{\bf Il problema dei quattro colori dal punto di vista della geometria}\\
{\em Martin Aigner -}\\
25 novembre 1998

Discutiamo tre descrizioni di certe classi di grafi. (1) Una descrizione
topologica (lineare, esterno planare, planare), (2) una descrizione
mediante il concetto di un minore (ostruzioni), (3) il nuovo
parametro di Colin de Verdi\`ere $\mu$ che fornisce una descrizione
geometrica. Discutiamo anche la prossima classe (i grafi che sono
immergibili nello spazio $\mathbb R^3$ senza concatenazioni) caratterizzata
da $\mu \leq 4$, la congettura di Hadwiger e la connessione tra il numero di
Hadwiger e il numero cromatico $\chi$. Finalmente, presentiamo la congettura: $\chi(G) \leq \mu(G)+1$ 
che \`e pi\`u debole della congettura di Hadwiger ma della quale il teorema dei quattro colori sarebbe una
conseguenza.

\item
{\bf Le tre dimostrazioni preferite di Erd\"os}\\
{\em Martin Aigner
-}\\
2 dicembre 1998

Discutiamo le tre prime dimostrazioni proposte da Erd\"os per il
libro: il teorema di Sylvester-Gallai, (2) il teorema di
Erd\"os-Ko-Rado, (3) il problema dei simplessi nello spazio
$d$-dimensionale che si toccano a due a due. Finalmente, presentiamo una
dimostrazione bellissima dovuta a Erd\"os del teorema di Eulero che la
serie $\sum {\frac{1}{p}}$ dei reciproci dei primi diverge.

\item
{\bf Goppa Codes and Weierstrass Semigroups}\\
{\em Fernando Torres
-}\\
17 febbraio 1999

I discuss properties of Goppa Codes defined by divisors $D=P_1+ ... +P_n$
and $G=lQ$. In particular I study way of improvement the minimum distance
$d$ via the structure of the Weierstrass Semigroup at $Q$.

\item
{\bf Lagrange Inversion Revisited}\\
{\em L. Bruce Richmond
-}\\
17 febbraio 1999

A generalization of Lagrange's inversion formula is given for functions of
$d$ variables that does not involve a determinant. If was discussed why
this version is better than Good's formula for asymptotic enumeration
purposes, but has no advantage as an exact formula.

\item
{\bf Decomposing Difference Sets}\\
{\em Dieter Jungnickel -}\\
10 marzo 1999

We re-examine an old construction of difference sets due to Gordon, Mills
and Welch: which combines a difference set in a group $N$ with a relative
difference set in a group $G$ containing $N$ as a normal subgroup to
produce a difference set in $G$. We characterize such ``decomposable''
difference sets by the fact that their associated symmetric designs admit a nice
partition into subdesigns. This is also related to generalized balanced
weighing matrices, and we describe a new construction for such indices.

\item
{\bf Switching partial geometries}\\
{\em Frank De Clerck - University of Ghent, Belgium}\\
14 aprile 1999

Partial geometries with the same parameters as the ``classical'' model
$PQ^+(4n-1,2)$ (constructed by F. De Clerck, R. Dye and J.A. Thas) can be
constructed by replacing spreads. This construction can be also
interpreted in graph theoretical terms and it turns out that replacing
spreads is most of the time nothing else then switching (see Seidel) the
underlying strongly regular point graph. As a by product of this theory we
find set of points in $PG(4n-1,2)$ that have the same intersection
numbers with respect to hyperplanes as the hyperbolic quadric. We call
these sets ``near quadrics''.

\item
{\bf Geometria delle matrici hermitiane su campi di Galois}\\
{\em Alessandro Siciliano - Universit\`a di Napoli ``Federico II''}\\
28 aprile 1999

Si presenta la variet\`a $H$ che nasce dal sistema lineare delle variet\`a
hermitiane del piano proiettivo $PG(2,q^2)$ su $GF(q^2)$. Alcune
propriet\`a geometriche di tale variet\`a sono date. Tra le altre:\\
1) \quad $H$ \`e una $q^4+q^2+1$-calotta di $PG(8,q)$;\\
2) \quad il gruppo delle proiettivit\`a di $PG(8,q)$ che fissano $H$ \`e
isomorfo a $PGL(3,q^2)$.

\item
{\bf Hypercubes and weighted voting systems} (joint work of P.V. Ceccherini and I. Havel)\\
{\em Ivan Havel - Math. Institute, Acad. of Sci. of the Czech Rep.}\\
28 aprile 1999

We are dealing with the graph $Q_n$ of an $n$-dimensional hypercube from
the point of view of a behavioral application of it: we study structural
properties of the s.c. weighted voting systems.\\
The vertices of $Q_n$
correspond to all possible coalitions and those edges are interesting
that join losing coalitions with winning ones.\\
Our study leads to the concept of a $01$ selfcomplementary cut of $Q_n$,
i.e. of such a set of edges that is close under complementation and that
shares exactly one edge with every $01$ geodesic. A characterization is
given.

\item
{\bf Teoria degli Spazi di Intorni}\\
{\em Carlo Bernasconi - Universit\`a di Perugia}\\
19 maggio 1999

I $V$-spazi, o spazi di intorni, rappresentano un metodo generale di dotare
ogni insieme, finito o infinito, di una struttura con connotazione
geometrica e topologica.\\
Nei $V$-spazi, a partire dalla nozione basilare
di intorno dei punti, vengono via via definiti i concetti di chiusura,
densit\`a, connessione, $V$-spazio duale, sottospazi di restrizione e
contrazione, continuit\`a. Si danno esempi di interpretazione di geometrie
finite in chiave topologica.\\
La generalit\`a e l'interesse della nozione
di $V$-spazio \`e testimoniata dalla classificazione di Geometrie, Grafi
e Spazi topologici come casi speciali di $V$-spazi, con reciproche
interrelazioni. E' anche possibile considerare tra i $V$-spazi altre
strutture con notevoli propriet\`a geometriche e topologiche.


\end{itemize}

\begin{center}
ANNO ACCADEMICO 1999-2000
\end{center}

\begin{itemize}

\item
{\bf Gray Codes and Edge Disjoint Cycles in Torus}\\
{\em Bella Bose - Oregon State University}\\
24 novembre 1999

Many commercial parallel systems have been built with torus as the
processor interconnection topology. Lee distance is an appropriate metric
useful to describe the interconnection topology of these toroidal
networks. Many topological properties of these networks can be developed
based on Lee distance. In this talk, we concentrate on edge disjoint
Hamiltonian cycles. First, we present our results on Lee distance Gray
codes and then show how these codes can be used to generate edge disjoint Hamiltonian cycles in torus. These results are also extended to hypercubes.\\
We also describe methods
of generating edge disjoint Hamiltonian cycles in de Bruijn networks.

\item
{\bf Posti, rami e punti razionali di curve algebriche sopra campi finiti I}\\
{\em Alessandro Siciliano - Universit\`a di Napoli ``Federico I''}\\
1 dicembre 1999

Sia $\chi$ una curva algebrica non singolare definita sul campo finito
${\mathbb F}_q$ con $q$ elementi. Sia $\overline{{\mathbb F}_q}(x)$ il campo delle funzioni razionali su $\chi$. Sia $\mathcal{C}$ un
modello piano (anche singolare) di $\overline{{\mathbb F}_q}(x)$. In modo elementare si possono
definire posti razionali di $\overline{{\mathbb F}_q}(x)$, rispetto al morfismo di Frobenius, in
termini di serie formali di potenze e rami della curva $\mathcal{C}$.

\item
{\bf Posti, rami e punti razionali di curve algebriche sopra campi finiti II}\\
{\em Alessandro Siciliano - Universit\`a di Napoli ``Federico II''}\\
15 dicembre 1999

Sia $\Sigma$ un campo con grado di trascendenza 1 e sia $\mathcal{C}$ un modello piano di $\Sigma$. Usando la nozione di ramo si possono provare i teoremi fondamentali della geometria algebrica delle curve; il Teorema di Riemann-Roch, il Teorema dei Residui di un differenziale.\\
Inoltre se $D$ \`e un divisore su $\mathcal{C}$ razionale rispetto al morfismo di Frobenius con deg($D$) sufficentemente grande, \`e possibile costruire un modello $\tilde{\chi}$ di $\Sigma$ non singolare definito ancora su ${\mathbb F}_q$.

\item
{\bf Notes on Goppa Codes}\\
{\em Fernando Torres -}\\
19 gennaio 2000

I started a series o 3 talks concerning topics on Goppa Codes. I start by recalling
basic facts on linear codes. Then I introduce the terminology for the study of Goppa
Codes. Then I plan to study some properties of such codes and then restrict myself to
one-point Goppa Codes.

\item
{\bf Notes on Goppa Codes II}\\
{\em Fernando Torres -}\\
26 gennaio 2000

In this lecture I showed the main dimension and distance properties of Goppa Codes. I
discussed Weierstrass semigroups and started the study of so called Hermitian Codes.

\item
{\bf Notes on Goppa Codes III}\\
{\em Fernando Torres -}\\
11 febbraio 2000

I finished the study of the dimension and minimum distance of Hermitian Codes. I
discuss one-point Goppa Codes as well as improved Goppa Codes.

\item
{\bf Calotte in variet\`a classiche e loro proiezioni}\\
{\em Antonio Cossidente -}\\
16 febbraio 2000

Utilizzando la seconda potenza esterna di un ciclo di Singer di $PG(5,q)$ \`e
possibile costruire calotte di cardinalit\`a $q^5 + \dots + q + 1$ immerse nella grassmanniana
delle rette di $PG(5,q)$. Tali calotte sono state scoperte inizialmente nel 1997 da G.L. Ebert, K. Metsch e T. Sz\"onyi.\\
\`E possibile proiettare queste calotte in
sottospazi 8-dimensionali, ottenendo ancora calotte, in due modi possibili.\\
La prima proiezione, \`e la cosidetta Veronesiana Hermitiana, ossia l'immersione di
$PG(2,q^2)$ rispetto al sistema lineare completo delle variet\`a hermitiane di
$PG(2,q^2)$.\\
La seconda proiezione \`e una calotta, sempre di
cardinalit\`a $q^5 + \dots + q + 1$, che per $q$ dispari risulta completa. 

\item
{\bf Secret and Public Key cryptosystems from finite groups}\\
{\em Spyros Magliveras -}\\
23 febbraio 2000

In this talk I discussed principles on which one can build both symmetric and
non-symmetric cryptosystems based on certain objects called logarithmic
signatures for finite groups. ``Tame'' logarithmic signatures are sequences
$(A_1,...,A_r)$ of
sequences of group elements such that
$\bar {A_1} \cdot \bar{A_2} \dots \bar{A_r} = \sum_{g \in G} g \in \mathbb Z G$, where $\bar{A_i} = \sum_{j=1}^{s_i}x_j$ if
$A_i = (x_1,...,x_{s_i})$. In addition, the term ``tame'' implies that if $g \in G$ the
unique factorization $g = x_1 \cdot x_2 \dots x_r$ ($x_i \in A_i$), can be obtained by a
polynomial time algorithm in $N$, where $|G|=\lfloor n \log n \rfloor$. A logarithmic
signature $(A_1,...,A_r)$ is ``wild'' if the above factorization can not be obtained in
time polynomial in $N$. One way functions can be obtained by composing objects which
are wild with objects which are tame. More precisely, every logarithmic signature $\alpha$
induces a bijection $\hat {\alpha}: \mathbb Z_{|G|}\longrightarrow G$.
If $\alpha$
and $\beta$ are two logarithmic signatures with $\alpha$ wild and $\beta$ tame, then
$\hat{\alpha} {\hat{\beta}}^{-1}: \mathbb Z_{|G|}\longrightarrow \mathbb Z_{|G|}$ is a one way function. One family of tame logarithmic signatures is the family of
``transversal'' ones. If $\alpha$ and $\beta$ are transversal logarithmic signatures, then
$\hat{\alpha} {\hat{\beta}}^{-1}$ is a permutation in ${\mathbb S}_{|G|}$, and
${\cal T}_G$ is the collection of all such permutations (with $\alpha, \beta$ both transversal). We show that
$\langle {\cal T}_G \rangle = {\mathbb S}_{|G|}$ in almost all cases, and therefore, permutations $\hat{\alpha} {\hat{\beta}}^{-1}$ with $\alpha$ transversal and
$\beta$ wild can be written as the composition of objects in ${\cal T}_G$. This can be used to create a new public key cryptosystem.

\item
{\bf The geometry over Rings with Invariant Basis Property}\\
{\em Sandro Lashkhi - }\\
1 marzo 2000

A free module over a ring $R$ is said to be {\it of rank n} (or dim $n$) if it has a basis of cardinality $n$. The rank is not unique (P. Cohn, Topology, V.5, 1966), thus one is led to consider the following successively strong property of a ring $R$ ($\neq 0$).

C. \quad A free $R$-module of any rank $n$ cannot be generated by less than $n$ elements.\\
The class of rings satisfying the property $C$ will be denoted by [IN].\\
Affine space Aff($_RM$) of a free module $_RM$ is the set of all unimodular elements. The element $e \in _RM$ is unimodular iff there exists a linear form
$\mu : _RM \longrightarrow R$ such that $\mu(e) = 1$.
\begin{quote}
Theorem (Fundamental Theorem of affine Geometry) \quad Let
$_RM\ \&\ _{R_1}M_1$
be free modules, $R, R_1 \in$ [IN], dim$_RM$ = dim$_{R_1}M_1 \geq 2$. Let
$\phi :  {\rm Aff}(_RM) \longrightarrow {\rm Aff}(_{R_1}M_1)$
be a collineation which preserves parallelity, then there exists an isomorphism
$\sigma : R \longrightarrow R_1$ such that for any unimodular element
$e \in {\rm Aff}(_RM)$, $e = \sum a_i e_i$, where $e_1, \dots, e_n$ is a basis of $_RM$ we have
$$\phi(e) = \sum \sigma(a_i)\phi(e_i).$$
\end{quote}
{\it Grazie to Sig.na M.J. de Resmini.}


\item
{\bf Flocks and hyperovals}\\
{\em J.A. Thas - }\\
8 aprile 2000

Each flock of a quadratic cone $K$ defines a generalized quadrangle, a translation plane and, for $q$ even, a set of hyperovals. Till now the relation between flocks and hyperovals was purely algebraic,. here we present a purely geometric construction of the hyperovals from the flock. Also, as a byproduct, it is shown that the GQ of Tits of order $q$, $q$ even, arising from flocks have spreads; $q^2$ lines of the spread are lines of $q$ quadratic cones. Further, some results on partial flocks are mentioned and topics for further research are explained.

\item
{\bf Sequences in finite groups}\\
{\em P.A. Leonard - Arizona State University}\\
3 maggio 2000

I present results concerning sequenceable groups , that is groups for which the elements can be listed as $g_0 = e, g_1, \dots g_{n-1}$ in such a way that the partial products
$g_0, g_0g_1, g_0g_1g_2, \dots, g_0g_1g_2 \dots g_{n-1}$
are distinct, and also results about other kinds of sequences with combinatorial applications. In particular, Leonard and Wang have recently improved a result of Keedwell's about $R$-sequencings, and Wang (C-D Wang)has just obtained sequencings for a new class of groups of odd order, namely, groups of order $p^{n+2}$ ($p$ an odd prime) having a cyclic subgroup of order $p^{n+1}$.

\item
{\bf Hypergroups and graphs}\\
{\em Ivo G. Rosenberg - Math. Stat., Universit\'e de Montr\'eal, Canada}\\
10 maggio 2000

This is a survey of some results connecting the two fields. We present
results for hypergroups in which $x \circ y$ is the set of vertices on all
geodesics from $x$ to $y$, on all non self-intersecting paths from $x$ to
$y$. Then we mention results for directed graphs. Following the ideas of
Chvalina we also define ${\mathbb H}_{\rho}$ ($\rho$ a binary relation on
$H$) with $x \circ y = \{ z \in H \mid x \rho z \hbox{ or } y \rho z \}$.
recent results of De Salvo and Lo Faro with $x \bullet y = \{ z \in H \mid
x \rho z \hbox{ or } z \rho y \}$ are mentioned. Finally, there are the
connections to fuzzy sets and semigroups and clones in universal algebra.

\item
{\bf Partizioni di Dyck, il reticolo di Young, ed i polinomi di Kazhdan-Lusztig}\\
{\em Francesco Brenti - Universit\`a di Roma ``Tor Vergata''}\\
10 maggio 2000

In questo seminario si sono introdotte e studiate una nuova classe di partizioni intere sghembe che sono strettamente legate ai cammini di Dick. Pi\`u precisamente si sono dati la definizione ed alcuni esempi, si \`e presentata una caratterizzazione combinatoria di questa classe di partizioni, e si sono studiate alcune funzioni generatrici secondo diverse statistiche.
Infine si \`e spiegata la connessione tra questa classe di partizioni ed i polinomi parabolici massimali di Kazhdan-Lusztig per il gruppo simmetrico. Concludendo, si \`e posto il problema di sviluppare un concetto analogo per il gruppo di Weil affine di tipo $A$.

\end{itemize}

\end{document}







