Seminario Matematico 12 giugno 2006

La passeggiata aleatoria di Mott è utilizzata per studiare la conduzione elettrica in semiconduttori dopati a basse temperature. Gli elettroni risultano essere localizzati attorno alle impurità del semiconduttore dopato e compiono opportune passeggiate aleatorie (dette "passeggiate di Mott con salti di lunghezza variabile") saltando da un'impurità all'altra. Le impurità sono posizionate nel semiconduttore in modo disordinato e possono essere modelizzate con un insieme discreto di punti anch'esso aleatorio. In particolare, la passeggiata di Mott è un esempio di passeggiata aleatoria in un mezzo aleatorio. Nel seminario descriveremo tale modello e discuteremo alcuni risultati rigorosi a conferma della legge di Mott, legge fisica (e non derivata in modo rigoroso) riguardante il decadimento della conduttività elettrica a basse temperature.

Oggi non è inusuale imbattersi in teorie fisiche che prevedano per lo spazio-tempo un numero di dimensioni superiore alle quattro che siamo abituati a percepire (5 nel modello di Kaluza-Klein, 10 per la teoria delle superstringhe, 11 per la M-teoria). Le dimensioni che non vediamo sono "nascoste", "arrotolate" su di una varietà compatta K, cosicché la geometria dello spazio-tempo viene ad essere R^1,3× K. Se K è "molto piccola", allora non la vediamo: R^1,3× K sembra R^1,3, proprio come un tubo lungo e sottile visto da molto lontano appare unidimensionale. Quel che è meno evidente è che la geometria di K lasci una traccia di sé nell'approssimazione quadridimensionale. Nel modello di Kaluza-Klein, K = S¹ e l'ombra della sua presenza è il campo elettromagnetico in R^1,3. Gli indizi lasciati da K nell'approssimazione quadridimensionale consentono poi di tracciare un profilo della sua geometria,che si scopre non poter essere arbitraria: nella teoria delle superstringhe K deve essere una varietà di Calabi-Yau di dimensione complessa 3, e nella M-teoria una 7-varietà di olonomia G₂.

La separazione tra differenti scale temporaligioca un ruolo fondamentale nell'analisi della dinamica di sistemi fisici complessi. Quest'idea guida, già applicata con successo in meccanica classica, si estende in modo naturale ai sistemi quantistici. L'esempio più semplice, che sarà discusso in dettaglio, è fornito dalla descrizione quantistica di una molecola, composta da K nuclei ed N elettroni: sotto opportune ipotesi, la soluzione dell'equazione di Schrödinger per la molecola può essere approssimata tramite la soluzione di una equazione di Schrödinger più semplice, che coinvolge la dinamica dei soli nuclei (parte lenta) in una energia potenziale "efficace'' dovuta alla presenza degli elettroni (approssimazione di Born-Oppenheimer). Tale idea può essere formulata in termini di una teoria matematica generale (space-adiabatic perturbation theory), basata su una opportuna generalizzazione della teoria degli operatori pseudodifferenziali. Nel seminario mi propongo di illustrare mediante esempi i concetti fondamentali di tale teoria, prescindendo dagli aspetti tecnici ed enfatizzando la relazione con argomenti propriamente analitici e geometrici (fibrati vettoriali, olonomia, connessione di Berry).

La nozione di mappa armonica appare naturalmente nel contesto della geometria Riemanniana, come estensione dei concetti di funzione armonica e di curva geodetica. Essa risulta poi collegata ad altre nozioni di geometria reale e complessa (mappe totalmente geodetiche, immersioni minimali e mappe olomorfe). Grazie a tecniche di equazioni differenziali, calcolo delle variazioni e processi stocastici, le mappe armoniche hanno trovato applicazioni a questioni di topologia differenziale, geometria algebrica e teoria delle stringhe. Nel corso del seminario accenneremo brevemente ad alcune di esse, mostrando anche come le mappe armoniche appaiano, spesso come semplificazione estrema, in alcuni modelli di fisica matematica (Ising, superconduttività, cristalli liquidi e micromagnetizzazione).

Il Seminario è organizzato dal Dipartimento di Matematica "Guido Castelnuovo"

Le conferenze non richiedono prerequisiti particolari.

Letture consigliate.