Il calcolo delle variazioni svolge oggi un ruolo centrale in molti problemi di matematica applicata, dalla descrizione e progettazione di materiali innovativi, allo sviluppo di programmi per il trattamento di immagini. Limitandoci alle proprieta' meccaniche, i materiali possono fratturarsi, danneggiarsi e plasticizzarsi, e questi fenomeni possono avvenire su scale macroscopiche (si pensi ad un bicchiere che si frantuma) o microscopiche (le ali degli aerei presentano innumerevoli microfratture). Un buon modello variazionale in questo ambito deve prima di tutto fornire una spiegazione e descrizione semplice e convincente di tali fenomeni e poi, per avere delle ricadute tecnologiche immediate, deve essere accuratamente predittivo. In altri ambiti, come in problemi di trattamento di immagini, il principio variazionale non descrive alcun fenomeno fisico naturale, ma stabilisce il principio che un determinato algoritmo deve seguire per svolgere alcune funzioni desiderate (come nei programmi delle macchine fotografiche piu' sofisticate). Nel seminario descrivero' alcuni di questi modelli, sia nell' ambito della scienza dei materiali che di trattamento di immagini.
Bibliografia di base
[1] Francfort G.A., Marigo J.-J.: Revisiting brittle fractures as an energy minimization problem, J. Mech. Phys. Solids 46 (1998), 1319-1342.
[2] Mumford D., Shah J.: Optimal approximations by piece-wise smooth functions and associated variational problems, Commun. Pure Appl. Math. 42 (1989), 577-685.

I modelli matematici per l'evoluzione di fronti (rappresentati da curve o ipersuperfici) hanno applicazioni in numerosi campi: trattamento delle immagini, fluidodinamica, combustione, geofisica,... I modelli che ne derivano sono equazioni alle derivate parziali non lineari, che richiedono da un lato una teoria debole per poter definire soluzioni ben poste, e dall'altro schemi sofisticati per ottenere approssimazioni numeriche robuste. Dalla metà degli anni Ottanta è stato proposto, da S.Osher e J.Sethian, il metodo "level set " che ha avuto un grande successo poiché permette di definire un'evoluzione anche in presenza di singolarità e cambi di topologia. A partire da questo approccio molti modelli sono stati sviluppati per l'evoluzione di interfacce sempre più complesse ed è sorta la richiesta di schemi accurati per l'approssimazione numerica delle equazioni di Hamilton-Jacobi che ne derivano. Nel seminario verranno presentati schemi numerici convergenti per due applicazioni, una alla modellizazione della dinamica delle dislocazioni ed una al moto per curvatura media.
Bibliografia di base
[1] S.Osher, J.A.Sethian. Fronts propagating with curvature-dependent speed: algorithms based on Hamilton-Jacobi, J. Comput. Phys 79 (1988), 12-49.
[2] G.Barles. Solutions de Viscositè des Equations de Hamilton Jacobi, Springer, Berlin, 1994.
[3] O.Alvarez, P.Hoch, Y.Le Bouar, R.Monneau. Dislocation dynamics driven by the self-force: short time existence and uniqueness of the solution, Arch. Ration. Mech. Anal. 85 (2006), 371-414.
[4] M.G. Crandall, P.L. Lions. Convergent difference schemes for nonlinear parabolic equations and mean curvature motion, Numer. Math. 75 (1996), 17-41.

In questo seminario si intende presentare l'approccio metrico allo studio di equazioni di Hamilton-Jacobi di tipo eikonale in collegamento con problemi di omogeneizzazione. Tali tecniche sono state recentemente applicate allo studio dell'equazione critica associata ad una Hamiltoniana periodica e hanno portato ad una definizione equivalente di insieme di Aubry, indipendente dalla dinamica Hamiltoniana (Fathi-Siconolfi). L'idea è quella di introdurre una sorta di semidistanza intrinsecamente associata alla Hamiltoniana, attraverso la quale una famiglia fondamentale di sottosoluzioni di viscosità dell'equazione corrispondente può essere definita. Eventuali degenerazioni di tale distanza si riflettono sull'equazione in termini di esistenza o meno di sottosoluzioni strette in certe regioni e di validità di risultati di confronto. Partendo da questi risultati, si vuole quindi illustrare come tali metodi, opportunamente adattati, possano essere proficuamente applicati al caso stazionario ergodico per fornire indicazioni relativamente all'esistenza di soluzioni esatte o approssimate della corrispondente equazione critica.
Bibliografia di base
[1] P.-L. Lions, G. Papanicolaou, S.R.S. Varadhan. Homogenization of Hamilton-Jacobi equations. Unpublished preprint (1987).
[2] A. Fathi, A. Siconolfi. PDE aspects of Aubry-Mather theory for quasi-convex Hamiltonians, Calc. Var. Partial Differential Equations 22 (2005), no. 2.

Un'isometria del semipiano iperbolico può essere: ellittica (se fissa un punto nel semipiano), parabolica (se fissa un punto all'infinito) oppure iperbolica (se fissa due punti all'infinito). Il gruppo dei diffeomorfismi di una superficie compatta orientata S in sé è molto più complicato e può essere studiato in due tappe: la componente connessa dell'identità (ovvero le isotopie) e il gruppo Γ(S) delle componenti connesse. Per capire Γ(S), l'idea di Thurston è di studiarne l'azione sullo spazio di Teichmüller T(S) che parametrizza le strutture conformi su S (ovvero le "istruzioni" su come misurare gli angoli su S). Aggiungendo anche opportune degenerazioni di tali strutture conformi, T(S) si completa ad una palla chiusa. Quindi, il teorema di punto fisso di Brouwer ci consente di classificare i tipi di diffeomorfismo di S: di ordine finito, riducibile (ad una superficie più semplice) oppure (il misterioso) pseudo-Anosov.
Bibliografia di base
[1] A. Fathi, F. Laudenbach, V. Poénaru. Travaux de Thurston sur les surfaces. (French) Astérisque 66-67, Société Mathématique de France, Paris, 1979.
[2] A. J. Casson, S. A. Bleile. Automorphisms of surfaces after Nielsen and Thurston, Cambridge University Press, Cambridge, 1988.
[3] C. J. Earle, J. Eells. A fibre bundle description of Teichmüller theory, J. Differential Geometry 3 (1969) 19-43.
[4] S. Smale. Diffeomorphisms of the 2-sphere, Proc. Amer. Math. Soc. 10 (1959) 621-626.

La derivazione di leggi fisiche macroscopiche a partire da modelli microscopici della realtà, oggetto di studio della Meccanica Statistica, è una sfida che vede impegnati fisici e matematici da moltissimo tempo. In questo seminario vorrei presentare un modello che fornisce una derivazione microscopica del fenomeno dell'attrito viscoso a cui è soggetto un corpo che si muova in un mezzo (gas o fluido). Il moto del corpo nel mezzo risentirà dell'interazione tra le particelle del mezzo ed il corpo. Analizzeremo in qualche dettaglio il caso in cui il mezzo è costituito da un gas di particelle libere nell'approssimazione di campo medio, nel caso in cui le particelle interagiscono con il corpo attraverso urti elastici. In questa situazione, se il corpo è soggetto ad una forza esterna costante, esiste sempre una velocità limite. Inoltre, l'andamento temporale con cui è raggiunta la velocità limite non è esponenziale, come risulterebbe da una forza d'attrito proporzionale alla velocità, ma è una legge a potenza, dovuta alle ricollisioni che una singola particella di gas può avere con il corpo, che producono un effetto di memoria sul sistema dinamico in considerazione. Saranno discusse altre possibili interazioni tra gas e corpo, altri tipi di forza esterna agente sul corpo, e verrà discusso il caso in cui il mezzo è rappresentato da un fluido di Stokes.
Bibliografia di base
[1] S. Caprino, C. Marchioro, M. Pulvirenti. Approach to equilibrium in a microscopic model of friction, Comm. Math. Phys. 264, 167-189 (2006).
[2] S. Caprino, G. Cavallaro, C. Marchioro. On a microscopic model of viscous friction, Math. Models Methods Appl. Sci. 17, 1369-1403 (2007).
[3] L.D. Landau, E.M. Lifshitz. Fluid mechanics, Pergamon Press, London, 1959.
[4] L.D. Landau, E.M. Lifshitz. Statistical physics, Pergamon Press, London, 1958.

Molti fenomeni fisici presentano una struttura complessa con scale multiple la cui presenza può essere dovuta ad un'ipotesi strutturale come nel caso di materiali compositi, domini perforati, pellicole sottili oppure ad una "competizione" tra diverse energie come nella teoria delle transizioni di fase. Da un punto di vista variazionale molti di questi problemi possono essere affrontati attraverso lo studio del comportamento asintotico di famiglie di energie dipendenti da uno o più parametri. Tale analisi asintotica ha incoraggiato e prodotto l'elaborazione di metodi che si sono rivelati immediatamente efficaci su una vasta classe di applicazioni come la Gamma-convergenza. In questo contesto si inserisce il lavoro di ricerca che ho svolto sino ad oggi in cui lo studio del comportamento asintotico di alcuni fenomeni diventa anche occasione di investigazione sullo sviluppo di nuove tecniche. Nel corso del seminario, attraverso la scelta di alcuni problemi classici, cercherò di mettere in evidenza i comportamenti più significativi che si possono produrre nell'ambito di un'analisi multi-scala motivando la scelta della Gamma-convergenza per lo studio del comportamento asintotico.
Bibliografia di base
[1] A. Braides. Homogenization of some almost periodic functional, Rend. Accad. Naz. Sci. XL 103 (1985), 313-322.
[2] D. Cioranescu, F. Murat. Un terme étrange venu d'ailleurs, I and II. Nonlinear Partial Differential Equations and Their Applications. Collège de France Seminar. Vol. II, 98--138, and Vol. III, 154--178. Res. Notes in Math. 60 (1982) and 70 (1983).
[3] E. De Giorgi, T. Franzoni. Su un tipo di convergenza variazionale, Atti Accad. Naz. Lincei Rend. Cl. Sci. Mat. Fis. Natur. 58 (1975), 842--850.
[4] H. Le Dret, A. Raoult. The nonlinear membrane model as variational limit of nonlinear three-dimensional elasticity, J. Math. Pures Appl. 74 (1995), 549-578.
[5] L. Modica. The gradient theory of phase transitions and the minimal interface criterion. Arch. Rational Mech. Anal. 98 (1987), 123-142.

In Fisica la teoria di campo conforme gioca un ruolo molto importante sia in teoria delle stringhe, sia in meccanica statistica e teoria dello stato solido. In matematica, ha portato a nuove idee e importanti sviluppi nelle aree piu' diverse, quali la teoria delle rappresentazioni, la topologia in bassa dimensione e la geometria algebrica. In questo seminario intendiamo descrivere alcune strutture algebriche la cui definizione origina dalla teoria di campo conforma in dimensione 2, quali le algebre conformi e le algebre di vertice ed il loro limite quasi-classico: le algebre di vertice di Poisson. Ci soffermeremo poi sull'applicazione di queste ultime nella teoria dei sistemi Hamiltoniani completamente integrabili.
Bibliografia di base
[1] A. Barakat, A. De Sole, V. Kac. Poisson vertex algebras in the theory of Hamiltonian equations, preprint arXiv:0907.1275
[2] A. De Sole, V.G. Kac. Finite vs affine W-algebras, Japan. J. Math. 1 (2006), 137-261.
[3] I. Dorfman. Dirac structures and integrability of non-linear evolution equations, John Wiley and sons, 1993.
[4] V.G. Kac. Vertex algebras for beginners, Univ. Lecture Ser., vol 10, American Mathematical Society, 1996. Second edition, 1998.