Programma del corso Calcolo stocastico e applicazioni

Corsi di Laurea Magistrali in Matematica A.A. 2019/20, Prof. L. Bertini.

• Processi gaussiani. Moto browniano. Definizione e costruzione (continuità delle traiettorie). Martingale e diseguaglianza di Doob.
• Convergenza debole di probabilità sullo spazio delle funzioni continue. Principio di invarianza.
• Regolarità delle traiettorie browniane, variazione quadratica.
• Proprietà di Markov forte.
• Principio di riflessione e applicazioni.
• Integrali stocastici e formula di Ito.
• Teorema di Levy.
• Equazioni stocastiche. Teoria di Ito: esistenza e unicità.
• Approssimazione di Smoluchowski e sistema di McKean-Vlasov.
• Processi di Markov. Semigruppi di Feller e loro generatori (cenni).
• Martingale di Dynkin.
• Soluzioni di equazioni stocastiche come processi di Markov.
• Misure invarianti per processi markoviani. Esitenza di misure invarianti per processi di diffusione.
• Criterio di Bakry-Emery per il gap spettrale di operatori markoviani autoaggiunti.
• Teorema limite centrale per funzionali additivi di processi di Markov (cenni).
• Rappresentazione probabilistica di problemi ellittici. Punti singolori e punti regolari (cenni).
• Dimostrazione probabilistica del teorema di Liuoville.
• Formula di Fenyman-Kac.

Home Page