Avvisi

* Le lezioni hanno inizio l'1 ottobre 2018.

* Le vacanze di Natale iniziano il 22 dicembre 2018 e terminano il 6 gennaio 2019 inclusi.

* Un articolo di Persi Diaconis e Jason Fulman sulle relazioni tra i "riporti" nella somma di due numeri in binario e la mischia di carte all'americana: Carries, Shuffling and An Amazing Matrix.

* Un articolo critico, tratto dal settimanale Internazionale, La fiducia delle donne: studiano, lavorano e fanno carriera, ma arrivano raramente ai vertici. Perché le donne restano indietro? Leggete la risposta provocatoria di due giornaliste al problema.

* Istituzione universitaria dei Concerti: campagna abbonamenti a 30 euro per gli studenti di Sapienza qui.

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Esami

* L'esame è orale. L'orale consiste in parte nello studio e approfondimento personale di un articolo di ricerca, e in parte nello studio degli argomenti visti in classe durante le lezioni.

* Le date degli appelli relativi all'a.a. 2018/19 ci verranno comunicate a breve e saranno presto su InfoStud.

SESSIONE INVERNALE
Primo appello: gennaio 2019 ore ... Aula ...

Orale: dal 7 febbraio 2018 in poi.

SESSIONE ESTIVA
Terzo appello: giugno 2019 ore... Aula ...

Quarto appello: luglio 2019 ore... Aula ...

SESSIONE AUTUNNALE
Quinto appello: settembre 2019 ore Aula ...

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Programma di esame

Obiettivo del corso: Algebre di Hopf e funzioni polizeta.

Piano del corso: Introduzione alle algebre di Hopf; algebre di Hopf combinatorie; applicazioni ai numeri polizeta (funzioni zeta multiple).

Programma di massima provvisorio
* Prodotti tensoriali, algebre, coalgebre, bialgebre.
* Prodotto di convoluzione di endomorfismi di una bialgebra.
* Algebre di Lie, algebre di Hopf.
* Bialgebra dei polinomi non commutativi.
* Bialgebra delle funzioni quasi simmetriche.
* Prodotto di mischia e di quasi mischia (shuffle e stuffle)
Algebra inviluppo di un'algebra di Lie, algebre di Lie libere.
* Funzione zeta di Riemann sugli interi, numeri polizeta, congettura di trascendenza.
* Relazioni tra le funzioni zeta multiple con "shuffle" e "stuffle".
* Funzioni simmetriche.
* (Combinatoria delle permutazioni.)
* L'algebra di Hopf MR delle permutazioni.

Il programma completo e dettagliato del corso si ottiene solo alla fine delle lezioni consultando il diario delle lezioni.

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Testi Consigliati

• Appunti della docente. (Versione parziale!).
• E. Abe, Hopf Algebras.
• C. Reutenauer, Free Lie Algebras.

Altri testi consultabili

• Miklós Bóna: Combinatorics of Permutations. [CP]

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Collegamenti utili

• On-line encyclopedia of Integer Sequences.

Diario delle lezioni

1) Lunedì  1 ottobre (lezioni 1-2):
Introduzione al corso. Modalità di esame. Contenuti. Seminario di Frédéric Patras: introduzione storica alle algebre di Hopf.

2) Mercoledì  3 ottobre (lezioni 3-4):
Prodotto tensoriale di spazi vettoriali. Proprietà universale del prodotto tensoriale. Identificazioni canoniche. Prodotto tensoriale e dualità il duale del prodotto tensoriale è il prodotto tensoriale dei duali, per spazi di dimensione finita. K-algebre. Esempi: i polinomi non commutativi: il monoide libero generato da un alfabeto per il prodotto di concatenazione. Definizione di congruenza a placche (o relazioni di Knuth). Moltiplicazione in un'algebra.

3) Lunedì  8 ottobre (lezioni 5-6):
Prodotto tensioriale di algebre di matrici. Omomorfismi di K-akgebre. Algebre commutative. Coalgebre: coprodotto, counità; applicazione scambio (del prodotto di due spazi vettoriali, o generalizzata) e sua proprietà universale; coalgebre cocommutative. Esempi di coalgebre: lo spazio dei polinomi commutativi (a 1 variabile) su K: K[x] è una coalgebra cocommutativa. Esempio: K l'algebra dei polinomi non commutativi su X, con il coprodotto Delta di deconcatenazione.

4) Mercoledì  10 ottobre (lezioni 7-8):
Counità epsilon(P)= termine noto di P della coalgebra dei polinomi non commutativi. Verifica che (K, Delta, epsilon) è una coalgebra non cocommutativa Un altro esempio di coprodotto sui polinomi non commutativi: delta, detto "unshuffle", o coprodotto di districamento. Esempi. Proposizione: (K, delta, epsilon) è una coalgebra commutativa. Notazione di Sweedler. Prodotto tensoriale di coalgebre. Omomorfismi di coalgebre. Prop: un campo è una coalgebra col coprodotto definito sulla base delta_K(1)= 1 tensor 1 e counità epsilon_K= id_K.

5) Lunedì  15 ottobre (lezioni 9-10):
Bialgebre. Definizione (compatibilità tra struttura di algebra e di coalgebra data dalla richiesta che il coprodotto e la counità siano morfismi di algebra. Proposizione 1.: richiedere che il coprodotto e la counità siano morfismi di algebre equivale a chiedere che il prodotto e la unità siano morfismi di coalgebra. Controesempio: (K[x], prodotto usuale, 1, delta, epsilon) come definiti precedentemente non è una bialgebra. Esempio: i polinomi non commutativi K rispetto al prodotto di concatenazione e al coprodotto "unshuffle" formano una bialgebra (verifica in classe). Elementi primitivi di una bialgebra. Richiami di algebre di Lie. Proposizione 2: gli elementi primitivi di una bialgebra B formano una sottoalgebra di Lie di B col Lie bracket (ovvero il prodotto di Lie usuale indotto dal prodotto di algebra: [x,y]=xy-yx). Prodotto di convoluzione sullo spazio vettoriale End_K(B) di una bialgebra: f*g è la composizione di mu con f tensor g e con delta. Proposizione 3.: End_K(B) col prodotto di convoluzione e unità eta composto epsilon è un'algebra (non commutativa).

6) Mercoledì  17 ottobre (lezioni 11-12):
Algebre di Hopf. Antipode S di una bialgebra H: come inverso per convoluzionde dell'identità di H. Esempio in K[x] come bialgebra rispetto al prodotto usuale di polinomi, e coprodotto x^n --> sum (n binom i) x^i tensor x^(n-i). L'antipode S è dato da (x^n)=(-1)^n x^n (verifica).
Notazione (P,w)= coefficiente di w nel polinomio non commutativo P. Esempio della bialgebra de polinomi non commutativi K rispetto a coprodotto unshuffle e prodotto di concatenazione: l'antipode è definito da S(x_1...x_n)=(-1)^n x_n...x^1.
Definizione di un nuovo prodotto su K: il prodotto di mischia, o "shuffle product". Proposizione: tale S è antipode per la bialgebra (K, conc, unshuffle).

7) Lunedì  22 ottobre (lezioni 13-14):
Definizione di bialgebra graduata; bialgebra connessa; bialgebra localmente finita. Teorema (Milnor-Moore) Una bialgebra graduata B e connessa è un'algebra di Hopf. Corollario: L'antipode di una bialgebra B graduata connessa ` dato dalla formula S= sum (-1)^n f*n, somma su n >=0, dove f manda B_0=K in 0, ed è la funzione identica sulle componenti omogenee di grado maggiore di 0. Esempio: scrittura esplicita di S per la bialgebra (K, conc, unshuffle). Confronto con la formula S(x_1...x_n)=(-1)^n x_n...x^1. Calcolo un una parola lunga 3. Dualità. Spazi duali, in dimensione finita. Trasposta di una applicazione. Spazi vettoriali graduati. Il duale graduato. Applicazioni lineari omogenee (o graduate). Teorema: Il duale graduato di una bialgebra graduata localmente finita (connessa ` una bialgebra graduata localmente finita (connessa).

8) Mercoledì  24 ottobre (lezioni 15-16):
Esempio: calcolo esplicito del duale di (K[x], molt. usuale, delta).

9) Lunedì  29 ottobre (lezioni 17-18):

10) Mercoledì  31 ottobre (lezioni 19-20):

/) Lunedì  5 novembre (lezioni /):
Lezioni sospese dal rettore per maltempo.

11) Mercoledì  7 novembre (lezioni 21-22):

12) Lunedì  12 novembre (lezioni 23-24):

13) Mercoledì  14 novembre (lezioni 25-26):

14) Lunedì  19 novembre (lezioni 27-28):

15) Mercoledì  21 novembre (lezioni 29-30):

16) Lunedì  26 novembre (lezioni 31-32):

17) Mercoledì  28 novembre (lezioni 33-34):

18) Lunedì  3 dicembre (lezioni 35-36):

19) Mercoledì  5 dicembre (lezioni 37-38):

20) Lunedì  10 dicembre (lezioni 39-40):

21) Mercoledì  12 dicembre (lezioni 41-42):

22) Lunedì  17 dicembre (lezioni 44-45):

23) Mercoledì  19 dicembre (lezioni 46-47):