Facolta` di Ingegneria dell'Informazione, Informatica e Statistica.
Corso di Laurea in Statistica, Economia, Finanza e Assicurazioni.

Crediti Formativi: 9 (84 ore complessive)

Docenti: Paolo Papi (Lunedi' e Mercoledi'); Paolo Piazza (Venerdi')

Tutor: Paolo Arcangeli (arcangeli@mat.uniroma1.it).

Orario: Lunedi' 10.30 - 12.30, Mercoledi' 10.30 - 12.30, Venerdi' 10.30-12.30, Venerdi' 12.30 - 14.30.
Aula C. Prima lezione: Lunedi' 20 Febbraio 2016.

Orario Ricevimento di Paolo Piazza: il Mercoledi' alle 12.30 (nello studio 123 a Matematica) oppure per appuntamento.

Orario Ricevimento di Paolo Arcangeli: il Venerdi' alle 9 (nello studio n. 135 a Matematica) oppure per appuntamento.

Libro di Testo:
Marcellini-Sbordone: Analisi matematica uno (Liguori Ed.)
Marcellini-Sbordone: Esercitazioni di Matematica primo volume (prima e seconda parte) (Liguori Ed.). Facoltativo.

Breve descrizione del programma:
Estremo superiore e inferiore. Successioni e loro limiti. Funzioni reali di una variabile reale. Limiti. Continuità.
Teoremi fondamentali sulle funzioni continue. Derivate. Teoremi fondamentali sulle funzioni derivabili. Formula di Taylor.
Massimi e minimi relativi e assoluti. Studio del grafico di una funzione. Serie numeriche. Criteri di convergenza. Serie di potenze.
Serie di Taylor. Integrali definiti e indefiniti. Funzione integrale e teorema fondamentale. Integrali impropri.
Equazioni differenziali ordinarie: equazioni a variabili separabili ed equazioni lineari del primo ordine e del secondo ordine a coefficienti costanti.

Esoneri ed esami:
L'esame si compone di una prova scritta e di una prova orale. La prova scritta potra' contenere uno o piu' quesiti di carattere teorico.
Durante il semestre si terranno due prove di esonero. Chi avra' la media di 18/30 nelle prove di esonero potra' essere ammesso alla prova orale di uno dei 2 appelli
della sessione estiva con la media dei voti delle prove di esonero.
Per essere ammessi alla seconda prova di esonero e' necessario aver ricevuto almeno 15/30 nella prima prova di esonero.
In tutti gli altri casi: il voto di uno scritto vale solo per gli appelli della sessione in cui si e' svolto lo scritto, in altre parole,
se non verrete all'orale nella stessa sessione dello scritto (o vi ritirerete) dovrete rifare lo scritto.
Per essere ammessi all'orale e` necessario avere almeno 18/30 nello scritto.
A discrezione del docente (dipende da come e' stato svolto il compito scritto) il candidato che ha superato la prova scritta o gli esoneri
potra' verbalizzare il minimo fra il voto dello scritto e 24/30, senza sostenere la prova orale.

Regole sulla prenotazione:
Gli studenti dovranno effettuare la prenotazione entro il venerdì precedente la prova scritta la prenotazione via web accedendo al sito INFOSTUD.

PRIMA SETTIMANA.
Lezione del 20/2: Assiomi di campo, numeri reali, ordinamento,
assioma di continuita'. Numeri naturali, interi, razionali. Radice quadrata di 2.
I numeri complessi. Teorema fondamentale dell'algebra. Valore assoluto di un numero reale.
Intorno di raggio r di un punto nella retta reale.
Disuguaglianza triangolare. Disuguaglianza di Bernoulli.
Lezione del 22/2: Massimo, minimo, estremo superiore/inferiore. Prime proprieta' delle funzioni. Iniettivita' e suriettivita'.
Lezione del 24/2: Ulteriori proprieta' delle funzioni: funzione composta, funzioni bigettive, inversa, monotonia
debole e stretta, funzioni affini potenze a esponente reale e proprietà, funzioni potenza, funzioni esponenziali, logaritmi.
Cosa dovete studiare: con riferimento al libro di testo, sezioni 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10 (le funzioni trigonometriche sono date per acquisite).
Esercizi:
risolvere il Primo compito a casa.
Soluzioni per il primo compito a casa.
Risolvere il Secondo compito a casa.
Soluzioni per il secondo compito a casa.
Ulteriori informazioni: per la parte di matematica elementare potete consultare le dispense dei precorsi.

SECONDA SETTIMANA.
Lezione del 27/2: Successioni: definizioni ed esempi. Definizione di limite finito e infinito. Esempi.
Successioni limitate e relazioni tra successioni limitate e successioni convergenti. Operazioni coi limiti
Lezione del 1/3: Unicita` del limite. Forme indeterminate. Esempi. Limiti di funzioni razionali. Permanenza del segno.
Teorema dei carabinieri Il prodotto di una successione infinitesima per una successione limitata e` infinitesima.
Lezione del 3/3: discussione primo compito a casa. Ripasso sui limiti. Esercizi.
Limiti notevoli. Esercizi. Successioni monotone. Il numero di Nepero. Infiniti di ordine crescente (solo enunciati). Esercizi.
Cosa dovete studiare: con riferimento al libro di testo, sezioni 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 33.
Esercizi: risolvere il Terzo compito a casa.

TERZA SETTIMANA.
Lezione del 6/3: Criterio del rapporto: dimostrazione. Infiniti di ordine crescente: dimostrazioni. La successione (1+1/n)^n e'
strettamente crescente e limitata: dimostrazione. Successioni estratte e Teorema di Bolzano-Weiestrass (solo enunciato)
Lezione del 8/3: Soluzione in classe del terzo compito a casa. Esercizi.
Lezione del 10/3: Punti di accumulazione di un insieme A di numeri reali. Limiti di funzioni.
Legame fra limiti di funzioni e limiti di successioni. Esempi e proprieta' dei limiti di funzioni.
Cosa dovete studiare: con riferimento al libro di testo, sezioni 31, 33, 34, 50 (solo definizioni ed enunciato del Teo. a p. 169),
41, 42 (solo enunciato), 43.
Esercizi: risolvere il Quarto compito (in classe).
Risolvere il Quinto compito (a casa).

QUARTA SETTIMANA.
Lezione del 13/3: limiti di funzioni e limiti di successioni, teoremi sull'aritmetica dei limiti (visto in dettaglio il caso della somma).
Funzioni continue; dimostrato che sin, cos , polinomi sono continue; enunciata la classificazione dei punti di discontinuità.
Lezione del 15/3: Esempi di discontinuità Teoremi sulle funzioni continue: permanenza del segno (con dim),
esistenza degli zeri (con dim), Weierstrass (senza dim).
Lezione del 17/3:criterio di invertibilita` per funzioni continue strettamente monotone;
teorema sul limite delle funzioni monotone; criterio di continuita` per le funzioni
monotone; teorema di continuita` delle funzioni inverse.
Cosa dovete studiare: con riferimento al libro di testo, sezioni 44, 45, 46, 49.
Esercizi: risolvere il Sesto compito (in classe).

QUINTA SETTIMANA.
Lezione del 20/3:Derivata e suo significato. Derivabilita` e continuita`. Operazioni sulle derivate.
Derivate delle funzioni elementari.
Lezione del 22/3: significato geometrico della derivata; derivazione di funzioni composte (con dimostrazione);
derivazione di funzioni inverse (senza dimostrazione); derivate delle funzioni trigonometriche inverse;
esempio di funzione derivabile con derivata discontinua.
Lezione del 24/3: proprietà degli aperti in R, principio di Archimede, i razionali sono densi in R;
definizione della radice n-esima, potenze a esponente reale.
Cosa dovete studiare: con riferimento al libro di testo, sezioni 53, 54, 55, 56, 57, 58, 18, 20 .
Esercizi: risolvere il Settimo compito (a casa).

SESTA SETTIMANA.
Lezione del 27/3: Massimo e minimo locale, punti stazionari relazioni tra estremità e stazionarietà.
Teoremi di Rolle e Lagrange, loro interpretazione geometrica. Correzione foglio 6. Esercizi.
Lezione del 29/3: Teorema di Cauchy. Criterio di monotonia Criterio di stretta
monotonia (solo enunciato). Caratterizzazione delle funzioni costanti su un intervallo. Funzioni concave e convesse e relazione con f''
Lezione del 31/3: Riassunto. Asintoti. Studio del grafico di una funzione. Teorema di L'Hopital (dimostrazione con ipotesi supplementari).
Cosa dovete studiare: Sezioni 60, 61 62,63 64, 65 (per Cauchy: 67).
Esercizi: svolgere gli esercizi 6.1, 6.2, 6.8, 6.10, 6.16, 6.20, 6.22, 6.26 (a) e (c).
Studiare il greafico della funzione data dalla formula (65.6) nel libro. Studiare il grafico della funzione f(x)=2x^3-3x^2-12x+1

SETTIMA SETTIMANA.
Lezioni del 3/4 e del 5/4: formula di Taylor, calcolo degli sviluppi delle funzioni elementari; resto di Lagrange (solo enunciato).
Esercizi sulla formula di Taylor e calcolo di limiti. Determinazione del carattere di un punto stazionario tramite le derivate.
Lezione del 7/4: area di un settore di parabola. Metodo di esaustione.
Funzioni integrabili secondo Riemann.
Cosa dovete studiare: Sezioni 66, 98, 99, formula (101.1).
Sezioni 78 e 79 fino alla definizione di integrale definito (inclusa).
Esercizi: risolvere l' ottavo compito (in classe).
Soluzioni dell'ottavo compito.

OTTAVA SETTIMANA.
Lezione del 10/4: proprietà dell'integrale definito (linearità rispetto all'intervallo di integrazione, monotonia, linearità).
Teorema della media integrale
Lezione del 12/4: teorema fondamentale del calcolo integrale, conseguenze e applicazioni. Sulla continuità della derivata.
Cosa dovete studiare: Sezioni 79, 80, 82, 83, 86, 87, 88.

NONA SETTIMANA. Venerdi' 21 Aprile: Esonero
Testo del primo esonero.
Soluzione del primo esonero (a cura del Prof. Papi).

DECIMA SETTIMANA.
Lezione del 24/4: integrazione per decomposizione in somma, integrazione delle funzioni razionali con denominatore di secondo grado.
Lezione del 26/4: integrazione per parti, integrazione per sostituzione.
Lezione del 28/4: esercizi. L'integrale improprio.
Cosa dovete studiare: Sezioni 89, 90, 91, 92, 95.
Esercizi: risolvere il nono compito.
Soluzioni nono compito.

UNDICESIMA SETTIMANA.
Lezione del 1/5: vacanza accademica.
Lezioni del 3/5 e 5/5: > serie numeriche, criterio di Cauchy per le successioni, criterio di Cauchy per le serie,
serie a termini non negativi, la serie geometrica, la serie armonica, la serie
armonica generalizzata, criteri di convergenza (confronto, infinitesimi, radice, rapporto),
serie alternate e criterio di Leibniz, convergenza assoluta.
Cosa dovete studiare: Sezioni 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110..
Esercizi: risolvere il decimo compito.

DODICESIMA SETTIMANA.
Lezione del 8/5: equazioni differenziali del primo ordine lineari: soluzione e teorema di esistenza e unicità per il problema di Cauchy
Lezione del 10/5: correzione esercizi del decimo compito;
equazioni a variabili separabili. Equazioni differenziali del secondo ordine omogenee a coefficienti costanti.
Lezione del 12/5: esercizi su integrali impropri e equazioni differenziali del primo ordine e a variabili separabili.
Esercizi: abbiamo lavorato sull' undicesimo compito (in classe)
Cosa dovete studiare: Sezioni 115, 116, 117, 119, 120, 122.

TREDICESIMA SETTIMANA.
Lezione del 15/5: equazioni differenziali del secondo ordine a coefficienti costanti: teorema di unicità; determinazione delle soluzioni nel caso omogeneo
Lezione del 17/5: equazioni differenziali del secondo ordine a coefficienti costanti: determinazione di una soluzione particolare per tipi
speciali del termine noto (prodotti di esponenziali per polinomi o funzioni trigonometriche) metodo di variazione della costante
Lezione del 19/5: esercitazione in classe, correzione dell'esercitazione e dell'esercitazione del 12-5.
Esercizi: abbiamo lavorato sul dodicesimo compito (in classe)

Programma d'esame.

Testo e soluzione del secondo esonero (soluzioni a cura del Prof. Papi)

PROSSIMI APPUNTAMENTI:
Martedi' 6 Giugno, ore 9.00, Aula III a Matematica (primo piano): primo esame scritto.