Equazioni alle Derivate Parziali - AA 2012/2013

Matematica

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Dove e quando

• Mar ore 9-11 Aula B
• Mer ore 16-18 Aula G

Libri di testo

Per approfondimenti si consigliano i testi seguenti: L.C.Evans, Partial Differential Equations; H.Brezis, Analyse Fonctionnelle; D.Gilbarg-N.Trudinger, Elliptic PDEs.

Esami

• I app 28 gennaio 2013 ore 10:30
• II app 12 febbraio 2013 ore 10:30 (data aggiuntiva: 18 febbraio 2013)
• III app 11 giugno 2013 ore 10:30
• IV app 1 luglio 2013 ore 10:30
• V app 25 settembre 2013 ore 10:30

Piano del corso

• Equazioni del primo ordine: equazione del trasporto. Coefficienti reali e coefficienti complessi: scelta del tipo di problema (pb di Cauchy o pb al contorno). Equazioni lineari: il metodo delle caratteristiche. Dipendenza continua dai dati per sistemi di equazioni ordinarie. Equazioni quasilineari. Equazioni nonlineari. Esempi espliciti di risoluzione. Equazione di Burgers. Interpretazone geometrica.
• Richiami di analisi vettoriale: funzioni test e partizioni dell'unita'. Superfici in Rn. Aperti con frontiera C1, normale esterna. Integrale di superficie. Teorema fondamentale del calcolo.
• Equazione di Laplace e di Poisson: problema al contorno e condizioni di Dirichlet. Funzioni armoniche: medie sferiche, proprieta' della media, regolarita' delle f.armoniche, teorema di Liouville e disuguaglianza di Harnack, principio del massimo forte. Risultati di unicita' ed esistenza per soluzioni classiche delle equazioni di Laplace e Poisson con condizioni di Dirichlet. Soluzione fondamentale del Laplaciano. Il problema di Poisson sulla sfera e sul semispazio. Teoremi di esistenza e unicita' di soluzioni deboli.
• Equazione delle onde: problema di Cauchy. Principio di Duhamel. Rappresentazioni della soluzione. Metodo dell'energia e dominio di dipendenza. Il metodo delle medie sferiche: teoremi di esistenza, unicita' e rappresentazione integrale per soluzioni classiche. Formule di D'alembert, Poisson, Kirchhoff, Tedone. Proprieta' qualitative della soluzione e principio di Huygens.
• Distribuzioni e trasformata di Fourier: richiami di teoria delle distribuzioni, derivazione, moltiplicazione per funzioni regolari, supporto di una distribuzione, distribuzioni temperate, trasformata di Fourier e proprieta' principali. Teoria L2 degli spazi di Sobolev. Spazi di funzioni e distribuzioni dpendenti dal tempo.
• Problemi di evoluzione e trasformata di Fourier: rappresentazione della soluzione del problema di Cauchy per equazione delle onde, di Schrodinger e del calore. Trasformata di Fourier di gaussiane complesse e rappresentazione integrale per l'equazione di Schrodinger. Nucleo del calore e proprieta'.
• Sistemi iperbolici: esponenziale di una matrice, integrale di Dunford, teorema di esistenza e unicita' per sistemi iperbolici a coefficienti costanti.
• Analisi armonica e EDP: teorema di ricoprimento di Besicovitch, funzione massimale, disuguaglianza di Hardy-Littlewood-Sobolev. Interpolazione complessa. Sitme dispersive e di Strichartz per l'equazione di Schrodinger.

• Settimana 1: ottobre
  • Introduzione. Equazione del trasporto.
• Settimana 2: ottobre
  • Equazioni del primo ordine lineari.
• Settimana 3: ottobre
  • Dipendenza continua dai dati per equazioni ordinarie.
• Settimana 4: ottobre
  • Equazioni del primo ordine quasilineari. Risoluzione esplicita tramite il metodo delle caratteristiche.
• Settimana 5: ottobre/novembre
  • Richiami di analisi vettoriale.
• Settimana 6: novembre
  • Funzioni armoniche.
• Settimana 7: novembre
• Settimana : novembre
• Settimana : novembre/dicembre
• Settimana : dicembre
• Settimana : dicembre
• Settimana : dicembre
• Settimana : gennaio