9-3-2011: Richiami su anelli ed ideali. Ideali primi e massimali, radicali, nilpotenti e Radicale di Jacobson. Anelli Noetheriani, il teorema della base di Hilbert. Topologia di Zariski nello spazio affine.
11-3-2011: Lo spettro primo di un anello, topologia di Zariski sullo spettro, base degli aperti principali. Proprietà funtoriali dello Spec. Parti moltiplicative, localizzazione e proprietà universale, ideali del localizzato. Il localizzato di un anello Noetheriano è Noetheriano.
16-3-2011: Moduli e sottomoduli. Moduli finitamente generati e lemma di Nakayama. Moduli Noetheriani, i moduli finitamente generati su anelli Noetheriani sono Noetheriani. L'anello delle funzioni C-infinito non è Noetheriano. Localizzazione di moduli e proprietà di esattezza.
21-3-2011: Proiezioni normalizzate, lemma di proiezione (dimostrato con Nakayama). Il teorema degli zeri di Hilbert per lo spazio affine. Caratterizzazione dei polinomi nilpotenti ed invertibili (esercizio I.2 Atiyah-Macdonald).
22-3-2011 (1h): Definizione e prime proprietà del risultante.
23-3-2011 (1h): Invarianza per traslazione del risultante. Due polinomi hanno radici comuni (in una chiusura algebrica) se e solo se il risultante si annulla. Dimostrazione del lemma di proiezione utilizzando il risultante.
25-3-2011: Dimensione combinatoria di uno spazio topologico, definizione e propriet\`a base. Componenti irriducibili. Decomposizione in irriducibili di uno spazio topologico noetheriano.
29-3-2011 (1h): La dimensione dello spazio affine. Ogni chiuso affine ha la stessa dimensione delle sue proiezioni normalizzate.
30-3-2011 (1h): Risultati sulla dimensione di chiusi proiettivi, proiezioni su iperpiani e intersezione con iperpiani. Equidimensionalità dei chiusi irriducibili, immersione di Veronese e dimensione delle intersezioni con ipersupeerfici.
1-4-2011: Il teorema degli zeri proiettivo, teorema sulla dimensione delle fibre, semicontinuità della dimensione.
5-4-2011 (1h): Criterio di irriducibilità di morfismi proiettivi con fibre irriducibili della stessa dimensione. Applicazione alla irriducibilità delle varietà determinantali.
6-4-2011: Ideali irriducibili, ogni ideali primo è irriducibile, in un anello Noetheriano il radicale di un irriducibile è primo ed ogni ideale è intersezione finita di irriducibili. Serie di Poincaré di un ideale omogeneo e descrizione come funzione razionale. Definizione del polinomio di Hilbert.
8-4-2011: Il grado del polinomio di Hilbert di un ideale omogeneo coincide con la dimensione del luogo di zeri proiettivo associato. Spazi con funzioni (=spazi anellati in cui le funzioni regolari sono un sottoanello unitario delle funzioni) e morfismi tra essi, il fascio delle funzioni regolari sullo spazio affine. Teorema egli zeri e caratterizzazione delle funzioni regolari sui chiusi affini.
12-4-2011 (1h): Aperti principali nei chiusi affini e loro funzioni regolari.
13-4-2011: Varietà algebriche e varietà quasiproiettive. Caratterizzazione dei morfismi regolari da una varietà quasiproiettiva allo spazio affine. Varietà affini, ogni varietà quasiproiettiva ha una base di aperti affini. Immersioni di Segre e teorema di Hopf.
15-4-2011: Morfismi proiettivi e loro chiusura. Funzioni regolari su varietà proiettive. Grassmanniane ed immersioni di Plucker.
27-4-2011: Grassmanniane come varietà proiettive, aperti affini fondamentali, irriducibilità e dimensione. Fibrato tautologico.
29-4-2011: Superfici in P^3 contenenti rette, ogni superfice cubica contiene almeno ura retta. Spazio tangente di Zariski nei chiusi affini. Calcolo dello spazio tangente dell'immagine dell'applicazione K -> K^3, t |-> (t^3,t^5,t^7).
3-5-2011 (1h): Prime proprietà dello spazio tangente, località.
4-5-2011: Definizione intrinseca dello spazio tangente, la dimensione dello spazio tangente è sempre maggiore od uguale alla dimensione della varietà. Punti lisci e singolari, esistenza di punti lisci, l'insieme dei punti lisci contiene un aperto denso.
6-5-2011: Esercizi sullo spazio tangente, lo spazio tangente delle varietà determinantali, cenni sulle varietà secanti.
10-5-2011 (1h): Spazio tangente proiettivo. Il teorema delle sezioni iperpiane di Bertini.
11-5-2011: Morfismi dominanti, l'immagine di un morfismo dominante contiene un aperto denso. Il teorema di Bertini-Sard.
17-5-2011 (1h): Il campo delle funzioni razionali, grado di trascendenza di una estensione di campi.
18-5-2011: Il grado di trascendenza del campo delle funzioni razionali è uguale alla dimensone della varietà . Applicazioni razionali e birazionali, trasformazioni Cremoniane e scoppiamento.
20-5-2011: Un'applicazione è birazionale se e solo se induce un isomorfismo tra due aperti. La trasformata di Cayley. Iniettività generica delle proiezioni di varietà proiettive di codimensione almeno 2.
27-5-2011: morfismi finiti tra varietà affini, punti di ramificazione, ogni morfismo finito bigettivo e non ramificato è birazionale.
31-5-2011 (1h): Conclusione della dimostrazione che ogni varietà irriducibile è birazionale ad una ipersuperfice. Curve piane, forma debole del teorema di Bezout.
1-6-2011: Cenni sui flessi di curve piane e struttura di gruppo sulle cubiche piane non singolari.