Corso di Geometria Algebrica 2012/13 - Laurea Magistrale in Matematica

II semestre

Lunedì 14-16 e giovedì 16-18 in aula E. Inizio 4 marzo 2013.

Programma: L'obiettivo del corso è quello di dare alcuni concetti base di geometria algebrica mediante tecniche ed argomenti tipici del corso di variabile complessa, che deve pertanto essere considerato come prerequisito essenziale. Gli argomenti trattati saranno, in linea di massima, i seguenti:
  • Funzioni olomorfe di più variabili complesse, teoremi di Hartogs e Vitali.
  • Fattorizzazione unica nell'anello locale delle funzioni olomorfe.
  • Varietà complesse.
  • Fasci e coomologia di Cech.
  • Coomologia di Dolbeault.
  • Successioni spettrali e teorema di Leray dei rivestimenti aciclici.
  • Coomologia dello spazio proiettivo.
  • Funzioni meromorfe e divisori.
  • Teorema di Siegel e dimensione algebrica.
  • Dimensione di Kodaira.
  • Teorema di finitezza coomologica per fibrati olomorfi su varietà complesse compatte.
  • Funzioni ellittiche, l'esempio di Zariski.

    • Riferimenti bibliografici:

  • Dispense di Aldo Andreotti.
  • Dispense del corso 2003-2004.
  • Capitoli 1,2,3 del libro di K. Kodaira "Complex manifolds and deformations of complex structures"
  • Alcuni paragrafi del libro di Fritzsche e Grauert "From holomorphic functions to complex manifolds"
  • Alcune parti del Libro di Gunning e Rossi ''Analytic functions of several complex variables."
  • P. Griffiths: "Topics in algebraic and analytic geometry" Princeton Univerity press (1974)

    • Diario delle lezioni

    4-3-13: Funzioni olomorfe in più veriabili, formula di Cauchy per i polidischi, principio del massimo e lemma di Schwarz (riferimento Gunning-Rossi).
    7-3-13: Struttura di Frechet sullo spazio delle funzioni olomorfe su un aperto, operatori compatti e teorema di Vitali.
    11-3-13: Anello dei germi di funzioni olomorfe, struttura di anello locale, serie convergenti e teorema di divisione di Weierstrass.
    14-3-13: teorema di preparazione di Weierstrass, fattorizzazione unica nell'anello dei germi, teorema di estensione di Riemann.
    18-3-13: Cenni su raffinameneti e paracompattezza, varietà complesse, fascio delle funzioni olomorfe, definizione di fascio e prefascio. Ogni funzione olomorfa su varietà compatta e connessa è costante.
    21-3-13: morfismi di prefasci e di fasci, spighe, morfismi iniettivi, surgettivi e isomorfismi di fasci, fascio associato ad un prefascio, fasci nucleo, immagine e conucleo. Definizione di successione esatta.
    25-3-13: Esattezza a sinistra delle sezioni globali di fasci, esempi di non esattezza a destra, introduzione ai gruppi di coomologia, fasci fiacchi, fascio delle sezioni discontinue e risolozione canonica.
    4-4-13: risultante di due germi di funzioni olomorfe (di cui una pseudopolinomio), apertura del luogo dove due funzioni non hanno fattori comuni, forma normale di una funzione meromorfa, fibrati vettoriali olomorfi, sezioni. Ogni funzione meromorfa ` quoziente di due sezioni di un opportuno line bundle.
    8-4-13: operazioni sui fibrati, gruppo di Picard, fibrati O(k) sullo spazio proiettivo e calcolo delle loro sezioni, isomorfismo tra O(-1) ed il fibrato tautologico.
    11-4-13: Teorema di finitezza per lo spazio delle sezioni di un line bundle su una varietà complessa compatta. Grado di trascendenza di una estensione di campi. Dimensione algebrica e dimensione di Kodaira.
    15-4-13: Complesso delle cocatene di Cech, raffinamenti e coomologia di Cech. Cocatene alternanti.
    18-4-13: Successione esatta lunga di coomologia associata ad una successione esatta corta di fasci. I fasci fini sono aciclici, teorema di de Rham astratto.
    29-4-13: Fasci fiacchi e loro aciclicita'.
    6-5-13: Forme differenziali, operatori de e debar, Lemma di Dolbeault.
    9-5-13: successioni spettrali.
    13-5-13: Successione spettral di un compleso doppio supportato sul primo quadrante, teorema di Leray dei ricoprimenti aciclici.
    16-5-13: immagine diretta ed inversa di fasci. Esattezza coomologica del funtore immagine diretta di una immersione chiusa.
    20-5-13: coomologia del fascio strutturale sul complementare di iperpiani coordinati in C^n.
    23-5-13: coomologia del fascio strutturale su intersezione finita di polidischi in una carta olomorfa; esistenza di ricoprimenti Leray-aciclici;
    30-5-13: Dimostrazione del teorema di finitezza per fibrati olomorfi su varieta' compatte.
    3-6-13: invarianza omotopica della coomoloiga a valori interi. Il gruppo di Picard del polidisco è banale.
    6-6-13: Dimostrazione del teorema di Siegel per varietà di Moishezon.