Il metodo più noto per dimostrare la non contraibilità delle sfere e conseguenti applicazioni (teorema del punto fisso ecc.) è quello di sviluppare una (non banale) teoria coomologica. Tra i tanti modi possibili di farlo, in questo minicorso svilupperemo quello che utilizza le risoluzioni canoniche, dette anche di Godement, di fasci. In linea di massima gli argomenti trattati saranno:
12-3-14: Fasci e prefasci, morfismi, nucleo, conucleo, complessi e successioni esatte.
Vedi anche: Sezione 2.1 del libro ``Algebraic Geometry'' di R. Hartshorne.
19-3-14: Esattezza a sinistra del funtore sezioni. Risoluzione canonica e coomologia dei fasci. Complessi, morfismi di complessi e successione esatta lunga di coomologia. Fasci fiacchi. Il lemma di Zorn.
26-3-14: Coomologia dei fasci fiacchi, teorema di de Rham astratto. Immagine inversa di fasci e corrispondente morfismo tra gruppi di coomologia.
3-4-14: Immagine diretta di un fascio, invarianza omotopica della coomologia dei fasci costanti.
10-4-14: successione esatta della coppia, proprietà di escissione. Calcolo della coomologia delle sfere ed applicazioni: teorema del punto fisso e non pettinabilità delle sfere di dimensione pari.
10-4-14: 14 esercizi.