Geometria Differenziale
Prima settimana (28 set - 2 ott) Introduzione al corso: l'idea di varieta' differenziabile, aspetti locali e globali. Teoria locale delle curve: curve parametrizzate in R^n, riparametrizzazioni. Curve regolari, rettificabilita', formula della lunghezza, ascissa curvilinea. Curve in R^3: versore tangente, curvatura, versori normale e binormale, torsione. Formule di Frenet. Calcolo per le eliche circolari. Abate-Tovena, Curve e Superfici, pp. v-x, 1-24 (alcuni argomenti sono stati svolti nella settimana successiva). Foglio 1 nella sezione Esercizi e Altro. Seconda settimana (5 ott - 9 ott) Formule di curvatura e torsione usando un parametro qualsiasi. Revisione esercizi foglio 1. Teorema di rigidita' per curve in R^3. Cenni al caso di curve in R^n. Superfici in R^3: parametrizzazioni, regolarita', cambiamenti di parametri. Piano tangente e sua rappresentazione analitica per superfici in forma parametrica, grafico di funzioni di due variabili, e per superfici rappresentate in forma cartesiana. Prima forma fondamentale e suoi coefficienti. Formula dell'area di regioni limitate. Abate-Tovena, Curve e Superfici, pp. 24-26, 30-31 (spirale logaritmica), pp. 60-64 (brevissimi cenni). Poi pp. 117-124, 135-138, 165-171, 173-178 (omessa dimostrazione teorema 4.2.6). Foglio 2 nella sezione Esercizi e Altro. Terza settimana (12 ott - 14 ott) Ancora area di regioni limitate su superfici. Area della superficie sferica. Revisione del foglio 2 di esercizi: equazioni parametriche e cartesiana del toro, area; equazioni parametriche dell'elicoide, passaggio a parametri conformi, area di una regione limitata. Applicazione di Gauss di superfici regolari di R^3. Operatore di Weingarten, direzioni e curvature principali, curvatura media, curvatura gaussiana. Seconda forma fondamentale, curvatura normale di curve su superfici. Teorema di Meusnier e formula di Eulero. Abate-Tovena, Curve e Superfici, pp. 183-199 (alcuni argomenti sono stati svolti nella settimana successiva). Quarta settimana (19 ott - 23 ott) Formule di calcolo dei coefficienti delle due forme fondamentali, delle curvature gaussiana, media e principali. Calcoli espliciti per il la sfera e per il toro (parziale revisione del foglio 3 di esercizi). Equazioni di Gauss-Wengarten per una superficie di R^3, simboli di Christoffel e loro espressioni in termini di E,F,G. Deduzione dell'equazione di Gauss e delle equazioni di Codazzi-Mainardi. Isometrie locali, teorema egregium. Cenni alla teoria della curvatura in geometria riemanniana. Abate-Tovena, Curve e Superfici, pp. 199-205. Quinta settimana (26 ott - 30 ott) Calcolo della curvatura gaussiana delle metrica di Poincar\'e sul disco mediante l'equazione di Gauss. Parametri isotermi su superfici e proporzionalit\`a del laplaciano della rappresentazione con il vettore di curvatura mnedia. Elicoide e catenoide come esewmpi di superfici minime, di superfici localmente isometriche e loro rappresentazione con parametri isotermi. Ancora revisione del foglio 3 di esercizi. Abate-Tovena, Curve e Superfici, si raccomanda di fare alcuni degli esercizi delle pp. 219-230. Sesta settimana (2 nov - 6 nov) La curvatura gaussiana come limite del quoziente tra aree. Teorema di rigidit\`a per superfici. Revisione del foglio 4 di esercizi. Esercitazione scritta in aula (foglio 5 di esercizi). Abate-Tovena, Curve e Superfici, pp. 193-194, 242-247 (senza dimostrazione). Si raccomanda ancora di fare alcuni degli esercizi delle pp. 219-230. Settima settimana (16 nov - 20 nov) Richiami di topologia generale: spazi topologici, applicazioni continue, omeomorfismi. Spazi di Hausdorff, spazi a base numerabile. Spazi compatti e spazi connessi. Variet\`a topologiche. Classificazione delle superfici compatte, operazione di somma connessa. Triangolazioni, modelli topologici delle superfici compatte come poligoni topologici con identificazione a coppie dei lati. Caratteristica di Eulero. Orientabilit\`a. Enunciato del teorema di Gauss- Bonnet. Compatibilit\`a C^\infty tra carte su una variet\`a topologica, coordinate locali, atlanti differenziabili e strutture differenziabili su varietr\`a. Costruzione di un atlante differenziabile sulle sfere e sugli spazi proiettivi reali, Prodotti di variet\`a differenziabili. Grassmannianae (cenni) Abate-Tovena, Curve e Superfici, p. 307, pp.310-316, p. 322. Abate-Tovena, Geometria Differenziale, pp. 59-72. L. Tu, An Introduction to Manifolds, p. 48-58, 76-83. Ottava settimana (23 nov - 27 nov) Germi di funzioni C^\infty in un punto p di R^n. Spazio vettoriale delle derivazioni sui germi e sua identificazione con lo spazio tangente in p a R^n. Germi di funzioni differenziabili su variet\`a e definizione di spazio tangente. Applicazioni differenziabili tra variet\`a, diffeomorfismi. Il differenziale in un punto di un'applicazione differenziabile. Funtorialit\`a, invarianza della dimensione per diffeomorfismi. Dimensione n dello spazio tangente a una variet\`a n-dimensionale. Sua base data dalle derivate parziali rispetto alle coordinate locali. Distribuzione del foglio 6 di esercizi. Abate-Tovena, Geometria Differenziale, pp. 75-89. L. Tu, An Introduction to Manifolds, p. 3-17, 59-70, 86-92. Nona settimana (30 nov - 2 dic) Vettori tangenti come vettori velocit\`a di curve e come derivazioni sui germi di funzioni differenziabili: rispettive definizioni e aspetti del differenziale di un'applicazione. Rappresentazione del differenziale con la matrice jacobiana del sistema di funzioni associato all'applicazione differenziabile in coordinate locali. Descrizione della struttura differenziabile delle variet\`a di Grassmann. Algebra multilineare: Duale di uno spazio vettoriale, base duale, duale di un'applicazione lineare. Forme multilineari e forme multilineari alternanti su uno spazio vettoriale. Base dello spazio delle k-forme esterne dedotta da una base dello spazio vettoriale. I differenziali delle coordinate locali come base duale della base costituita dalle derivazioni parziali. Campi di vettori su variet\`a e forme differenziali su variet\`a. Abate-Tovena, Geometria Differenziale, pp. 1-30, ancora 59-89. L. Tu, An Introduction to Manifolds, p. 92-95, 18-33. Decima settimana (9 dic - 11 dic) L'algebra di Lie dei campi di vettori su variet\`a. Cenni su alcuni esempi di gruppi di Lie e loro algebre di Lie: S^1, S^3, GL(n,R), SL(n,R), SO(n), U(n). Forme differenziali in R^2 e in R^3: operatori di gradiente, rotore, divergenza. Forme chiuse e forme esatte. La 1-forma "d\theta" su R^2-O. Abate-Tovena, Geometria Differenziale, pp. 96-99, 144-145, 157-158, 160-164 207-210. L. Tu, An Introduction to Manifolds, p. 136-137, 66-67, 163-167, 180-183. Undicesima settimana (14 dic - 18 dic) Forme differenziali e applicazioni differenziabili tra variet\`a. Pullback di una forma e sua compatibilit\`a con le operazioni tra forme differenziali. Pullback come cambiamento di variabili. Funtorialit\`a. Differenziale esterno su variet\`a, sue propriet\`a. œl complesso di de Rham. Definizione di spazi vettoriali di coomologia. Pullback e differenziale esterno. Abate-Tovena, Geometria Differenziale, ancora pp. 207-210, poi 222-227. L. Tu, An Introduction to Manifolds, p. 189-197, 200-206, 210-216, 273-278. Dodicesima settimana (21 dic) Integrazione di forme differenziali su catene singolari cubiche. Operatore di bordo sulle k-catene. k-cicli, k-bordi, omologia singolare C^\infty di variet\`a. Teorema di Stokes per catene. Casi particolari: teorema fondamentale del calcolo, Teorema di Green, di Stokes per superfici, teorema della divergenza. Forma bilineare di integrazione sugli spazi vettoriali di omologia singolare e di coomologia di de Rham. Abate-Tovena, Geometria Differenziale, p. 218-221, 227-234. L. Tu, An Introduction to Manifolds, p. 260-276. Tredicesima settimana (8 gen) Revisione esercizi del foglio8. Quattordicesima settimana (11 gen) Esercitazione scritta in classe (foglio9 di esercizi). |