Geometria per Fisica (D-O)
Prima settimana (6 ott - 7 ott) Introduzione al corso: l'algebra lineare e la geometria analitica. Esempi di sistemi lineari quadrati do ordine 2 e 3. Interpretazione geometrica delle equazioni e delle soluzioni. Eliminazione di Gauss, pivots, riduzione a scala. Seconda settimana (11 ott - 13 ott - 14 ott) Teoria generale dei sistemi lineari, Rango di una matrice come numero di pivots in una riduzione a scala. Criterio di risolubilita' di un sistema lineare. Operazioni sugli insiemi di numeri: i numeri naturali, interi, razionali, reali. Numeri complessi: motivazioni per la loro introduzione e la loro struttura di campo. Enunciato del teorema fondamentale dell'algebra e conseguenze per equazzioni a coefficienti reali. Terza settimana (18 ott - 20 ott -21 ott) Rappresentazione trigonometrica dei numeri complessi. Radici n-esime dell'unit\`a. Proiezione di parte del film http://www.dimensions-math.org/ e introduzione alla definizione di dimensione. Definizione di spazio vettoriale su un campo K. Primi esempi: i campi, gli spazi dei vettori geometrici, gli spazi vettoriali numerici, i polinomi in una indeterminata e i polinomi di grado non maggiore di n, le matrici mxn a coefficienti in K. Prodotto vettoriale nello spazio tridimensionale dei vettori geometrici e sua espressione analitica. Quarta settimana (25 ott - 27 ott - 28 ott) Sottospazi vettoriali, sistemi di generatori, vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti, basi. Ogni base finita ha lo stesso numero di elementi. Teorema del completamento. Osservazioni sulle soluzioni di un sistema lineare omogeneo e determinazione di una base delle soluzioni. Matrici simmetriche e antisimmetriche e loro basi. Quinta settimana (3 nov - 4 nov) Intersezione e somma di sottospazi vettoriali. Somma diretta. Formula di Grassmann per le dimensioni. Sottospazi vettoriali e sottospazi affini di uno spazio vettoriale numerico. Teorema di struttura relativo alle soluzioni di un sistema lineare e del sistema lineare omogeneo associato. Teorema di Rouche'-Capelli sulla risolubilita' e infinita' della soluzioni di un sistema lineare. Equazioni parametriche e equazione cartesiana di una retta del piano e di un piano dello spazio. Equazioni parametriche e cartesiane di rette nello spazio a tre dimensioni. Sesta settimana (8 nov - 10 nov -11 nov) Applicazioni lineari tra spazi vettoriali. Esempi. Trasformazione lineare associata a una matrice. Isomorfismi. Nucleo e immagine di un'applicazione lineare. Teorema della dimensione per applicazioni lineari. Confronto tra diverse definizioni di rango di una matrice: numero di pivot di una riduzione a scala, rango per righe, rango per colonne, dimensione dell'immagine della trasformazione lineare associata. Settima settimana (15 nov - 17 nov - 18 nov) Matrice associata a un'applicazione lineare. Isomorfismo tra lo spazio vettoriale delle applicazioni lineari di V in W e lo spazio vettoriale delle matrici. Composizione di due applicazioni lineari e prodotto righe per colonne delle matrici. Uso del formalismo matriciale. Caso degli operatori lineari su uno spazio vettoriale V. Matrici quadrate invertibili e loro caratterizzazione come matrici di rango massimo. Ottava settimana (22 nov - 24 nov - 25 nov) Esame di tre esempi di operatori lineari: la rotazione nel piano dei vettori geometrici applicati, la derivazione nella spazio dei polinomi di grado minore o uguale e 3, la trasposizione nello spazio delle matrici quadrate di ordine 3. Matrici rappresentanti e loro potenze. Considerazioni sull'algebra delle matrici quadrate. Riconoscimento dell'inversa di una matrice e sua applicazione alla soluzione di un sistema lineare quadrato di rango massimo. Nona settimana (29 nov - 1 dic - 2 dic) Prima prova in itinere e sua discussione. Determinanti, definizione e caratterizzazione assiomatica. Sviluppo di Laplace secondo una riga o una colonna. Algoritmo per il calcolo della matrice inversa. Decima, undicesima e dodicesima settimana (6 dic - 13 dic - 15 dic - 16 dic - 20 dic) Altre proprieta' del determinante. Sua invarianza per riduzioni a scala e confronto con il prodotto dei pivot nel caso non singolare. Matrici non singloari come cambiamento di basi in spazi vettoriali. Comportamento delle coordinate di vettore rispetto a cambiamento di base. Comportamento della matrice associata a un operatore lineare per cambiamento di base. Relazione di similitudine tra matrici e invarianza del determinante. Rango di una matrice come ordine massimo dei minori non nulli. Rappresentazione analitica di rette affini nel piano affine: parametri direttori delle rette, equazioni parametriche e equazione cartesiana, condizione di parallelismo e di perpendicolarita' tra due rette. Fasci di rette propri e impropri nel piano affine. Rappresentazione analitica di piani affini nello spazio affine 3-dimensionale: parametri di giacitura di un piano, equazioni parametriche e equazione cartesiana di un piano, condizione di parallelismo e di perpendicolarita' tra due piani. Fasci propri e impropri di piani. Rappresentazione analitica di rette affini nello spazio affine 3-dimensionale: parametri direttori, equazioni parametriche e equazioni cartesiane di un retta dello spazio, equazioni cartesiane ridotte di una retta, condizione di parallelismo e di perpendicolarita' tra due rette e tra retta e piano. Tredicesima settimana (10 gen - 12 gen - 13 gen) Autovalori e autovettori di un operatore lineare, autospazi e molteplicita' geometrica di un autovalore. Indipendenza lineare degli autovettori corrispondenti ad autovalori distinti. Polinomio caratteristico di un operatore lineare e molteplicita' algebrica degli autovalori. Descrizione esplicita degli operatori di rotazione in un piano, di derivazione nello spazio dei polinomi di grado minore o uguale a 3 in una indeterminata, di trasposizione nello spazio delle matrici quadrate. Operatori diagonalizzabili e non diagonalizzabili. Quattordicesima settimana (17 gen - 19 gen - 20 gen) Descrizione esplicita del polinomio caratteristico di una matrice; suoi coefficienti come somme dei minori principali di ordine fissato, traccia e determinanti come invarianti e loro relazione con gli autovalori. Condizione necessaria e sufficiente di diagonalizzablita', in termini di appartenenza al campo degli zeri del polinomio caratteristico e di coincidenza tra molteplicita' algebriche e molteplicita' geometriche. Esempi di diagonalizzazioni. Forme bilineari e prodotti scalari in spazi vettoriali reali. Matrici associate in una base. Esempi. Spazi vettoriali metrici e definizione di spazio affine e di spazio euclideo. Quindicesima settimana (24 gen - 26 gen - 27 gen) Esempi di prodotti scalari definiti positivi, non degeneri e degeneri. Basi ortonormali. Operatori lineari in spazi vettoriali metrici: operatori ortogonali e operatori autoaggiunti. Gruppo ortogonale. Autovalori e autovettori di operatori autoaggiunti. Teorema spettrale per operatori autoaggiunti in spazi vettoriali metrici. diagonalizzabilita' delle matrici simmetriche reali mediante matrici ortogonali. Seconda prova di esonero. |