Geometria per Fisica (Cf-K)
Prima settimana (2 ott - 4 ott - 5 ott) Introduzione al corso: l'algebra lineare e la geometria analitica. Esempi di sistemi lineari quadrati di ordine 2 e 3. Interpretazione geometrica delle equazioni e delle soluzioni. Eliminazione di Gauss, pivots, riduzione a scala. Rango di una matrice come numero di pivots in una riduzione a scala. Criterio di risolubilita' di un sistema lineare (Teorema di Rouche'-Capelli) e sua applicazione in esempi e esercizi. Seconda settimana (9 ott - 11 ott - 12 ott) Sistemi lineari non omogenei e omogenei: le soluzioni di un sistema non omogeneo si ottengono sommando a una sua soluzione tutte le soluzioni del sistema omogeneo associato. Interpretazione geometrica. Operazioni sugli insiemi di numeri: i numeri naturali, interi, razionali, reali. Numeri complessi: motivazioni per la loro introduzione e la loro struttura di campo. Rappresentazione trigonometrica, radici n-esime dell'unita'. Operazioni tra matrici: somma di matrici mxn e prodotto di una matrice per uno scalare. Proprieta' delle operazioni. Prodotto righe per lononne di matrici. Sua applicazione alla scrittura di un sistema lineare con simbolismo matriciale. Matrice unita' e definizione di matrice invertibile. Terza settimana (16 ott - 18 ott - 19 ott) Algebra delle matrici mxn ad elementi in un campo. Prodotto righe per colonne e suo significato geometrico in termini di composizione di trasformazioni. Matrice identica e matrici invertibili. Determinanti, definizione e caratterizzazione assiomatica. Altre proprieta' del determinante. Sua invarianza per riduzioni a scala e confronto con il prodotto dei pivot nel caso non singolare. Quarta settimana (23 ott - 25 ott - 26 ott) Complementi algebrici. Sviluppi di Laplace di determinanti secondo una riga e una colonna. Esempi di calcolo. Prodotto scalare, prodotto vettoriale e prodotto misto in R^3. Loro espressioni analitiche e interpretazione del determinante come volume. Costruzione dell'inversa di una matrice invertibile e esempi. Esercitazione scritta di riepilogo in classe. Quinta settimana (30 ott) Definizione di spazio vettoriale su un campo K. Primi esempi: i campi, gli spazi dei vettori geometrici, gli spazi vettoriali numerici, i polinomi in una indeterminata e i polinomi di grado non maggiore di n, le matrici mxn a coefficienti in K. Sesta settimana (6 nov - 8 nov - 9 nov) Sottospazi vettoriali, sistemi di generatori, vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti, basi. Ogni base finita ha lo stesso numero di elementi. Teorema del completamento. Base canonica dello spazio vettoriale numerico. Diverse definizioni di rango: massimo numero di righe o di colonne linearmente indipendenti, ordine massimo dei minori non nulli. Risoluzione generale dei sistemi lineari utilizzando la regola di Cramer e un minore di ordine massimo non nullo nella matrice dei coefficienti. Osservazioni sulle soluzioni di un sistema lineare omogeneo e determinazione di una base delle soluzioni. Base canonica nello spazio delle matrici mxn, nello spazio dei polinomi in una indeterminata e in quello dei polinomi di grado minore o uguale a n. Decomposizione dello spazio delle matrici quadrate nella somma diretta dei sottospazi delle matrici simmetriche e antisimmetriche. Esercitazione scritta in classe. Settima settimana (13 nov - 15 nov - 16 nov) Definizione di spazio affine, di riferimento affine e coordinate di punto. Geometria affine piana: equazioni parametriche e equazione cartesiana di una retta. Parametri direttori, condizione analitica di parallelismo di due rette. Esercitazione scritta di due ore in classe. Ottava settimana (20 nov - 22 nov - 23 nov) Rappresentazione analitica di rette affini nel piano affine: parametri direttori delle rette, equazioni parametriche e equazione cartesiana, condizione di parallelismo e di perpendicolarita' tra due rette. Rappresentazione analitica di piani affini nello spazio affine 3-dimensionale: parametri di giacitura di un piano, equazioni parametriche e equazione cartesiana di un piano, condizione di parallelismo e di perpendicolarita' tra due piani. Rappresentazione analitica di rette affini nello spazio affine 3-dimensionale: parametri direttori, equazioni parametriche e equazioni cartesiane di un retta dello spazio, equazioni cartesiane ridotte di una retta, condizione di parallelismo e di perpendicolarita' tra due rette e tra retta e piano. Prima prova di esonero. Nona settimana (27 nov - 29 nov - 30 nov) Revisione degli esercizi della prima prova di esonero. Fasci propri e impropri di rette nel piano. Distanze nel piano. Fasci propri e impropri di piani nello spazio. Distanze tra due punti, tra un punto e un piano e tra punto e retta nello spazio. Complanarita' di due rette. Distanza tra due rette sghembe. Esercizi di ricapitolazione di geometria analitica. Decima settimana (4 dic - 6 dic - 7 dic) Applicazioni lineari tra spazi vettoriali. Esempi. Trasformazione lineare associata a una matrice. Isomorfismi. Nucleo e immagine di un'applicazione lineare. Teorema della dimensione per applicazioni lineari. Confronto tra diverse definizioni di rango di una matrice: numero di pivot di una riduzione a scala, rango per righe, rango per colonne, dimensione dell'immagine della trasformazione lineare associata. Matrice associata a un'applicazione lineare. Esame di tre esempi di operatori lineari: la rotazione nel piano dei vettori geometrici applicati, la derivazione nella spazio dei polinomi di grado minore o uguale e 3, la trasposizione nello spazio delle matrici quadrate di ordine 3. Matrici rappresentanti e loro potenze. Considerazioni sull'algebra delle matrici quadrate. Undicesima settimana (11 dic - 13 dic - 14 dic) Autovalori e autovettori di un operatore lineare, autospazi e molteplicita' geometrica di un autovalore. Indipendenza lineare degli autovettori corrispondenti ad autovalori distinti. Polinomio caratteristico di un operatore lineare e molteplicita' algebrica degli autovalori. Descrizione esplicita degli operatori di rotazione in un piano, di derivazione nello spazio dei polinomi di grado minore o uguale a 3 in una indeterminata, di trasposizione nello spazio delle matrici quadrate. Operatori diagonalizzabili e non diagonalizzabili. Indipendenza lineare di autovettori corrispondenti ad autovalori distinti. Dodicesima settimana (18 dic - 20 dic) Descrizione esplicita del polinomio caratteristico di una matrice; suoi coefficienti come somme dei minori principali di ordine fissato, traccia e determinanti come invarianti e loro relazione con gli autovalori. Condizione necessaria e sufficiente di diagonalizzablita', in termini di appartenenza al campo degli zeri del polinomio caratteristico e di coincidenza tra molteplicita' algebriche e molteplicita' geometriche. Esempi di diagonalizzazioni. Esercitazione scritta in classe. Tredicesima settimana (8 gen - 10 gen - 11 gen) Forme bilineari e prodotti scalari in spazi vettoriali reali. Matrici associate in una base. Esempi. Spazi vettoriali metrici e definizione di spazio affine e di spazio euclideo. Esempi di prodotti scalari definiti positivi, e di forme bilineari simmetriche non degeneri e degeneri. Relazione di congruenza tra matrici simmetriche e il proplema della diagonalizzazione oper congruenza. Enunciato del teorema di Sylvester. Basi ortogonali rispetto a una forma bilineare simmetrica e ortonormali rispetto a un prodotto scalare. Quattordicesima settimana (15 gen - 17 gen - 18 gen) Operatori lineari in spazi vettoriali metrici: operatori ortogonali e operatori autoaggiunti. Gruppo ortogonale. Autovalori e autovettori di operatori autoaggiunti. Teorema spettrale per operatori autoaggiunti in spazi vettoriali metrici. Diagonalizzabilita' delle matrici simmetriche reali mediante matrici ortogonali. Esercitazione scritta in classe. Quindicesima settimana (22 gen - 24 gen - 25 gen) Revisione dell'esercitazione in classe. Un esempio di diagonalizzazione di matrice simmetrica. Ortogonalita' di autovettori relativi ad autovalori distinti di un operatore simmetrico. Teorema di Sylvester per forme bilineari simmetriche: indici di positivita', negativita' e nullita'. Forme sesquilineari e forme hermitiane in spazi vettoriali complessi. Prodotti scalari hermitiani, basi ortonormali. Operatori unitari e operatori hermitiani. Matrici unitarie e matrici hermitiane. Esempi. Teorema spettrale nel caso complesso. Diagonalizzabilita' delle matrici hermitiane tramite matrici unitarie. Seconda prova di esonero. |