Geometria per Fisica (L-Pa)
Prima settimana (24 set - 25 set - 26 set - 27 set) Presentazione del corso. Insiemi, elementi, appartenenza. Sottoinsiemi ed inclusione. Applicazioni. Un'applicazione è l'informazione del suo insieme di partenza (dominio), di quello di arrivo (codominio) e di come calcola le immagini a partire dagli argomenti. Composizione di applicazioni: la composizione è associativa. Applicazioni suriettive, iniettive, biunivoche. Prodotto cartesiano di due insiemi. Gli insiemi N dei numeri naturali, Z dei numeri interi relativi, Q dei numeri razionali, R dei numeri reali e proprieta' delle operazioni in essi definite. Irrazionalità di radice di 2. Numeri algebrici e numeri trascendenti. Nozioni di aritmetica transfinita: potenza del numerabile e potenza del continuo. esistenza di un'applicazione biunivoca tra retta e piano. Introduzione alla nozione di dimensione: numero di parametri necessari, ovvero di gradi di liberta'. Equazioni e vincoli, numero di equazioni o vincoli indipendenti e codimensione. Invito a vedere le sezioni 1,2,3,4 del film Dimensions (cfr. sezione Esercizi e Altro). Abate-de Fabritiis, Cap. 1, pp. 2-8, 11-12. Bramanti-Pagani-Salsa, Analisi Matematica I, pp. 1-13, 28-32. Seconda settimana (30 set - 1 ott - 2 ott - 3 ott - 4 ott) Numeri complessi: definizione, parte reale e parte immaginaria, somma e prodotto, numeri immaginari puri. Somma e prodotto sono commutative e associative; il prodotto distribuisce rispetto alla somma; 0 + 0i è l'elemento neutro della somma, mentre 1 + 0i è l'elemento neutro del prodotto. Il concetto di anello. Piano di Argand-Gauss. La somma di numeri complessi è data dalla regola del parallelogramma. Coniugazione complessa: il coniugato del coniugato di z è z; la coniugazione complessa commuta con somma e prodotto. Norma complessa: coincide con il valore assoluto nel caso reale. La norma complessa di zw è il prodotto delle norme complesse di z e di w. Rapprentazione trigonometrica dei numeri complessi: norma e argomento. Prodotto di numeri complessi di norma 1: gli argomenti si sommano (a meno di multipli di 2pigreco); formule di somma per seno e coseno; notazione esponenziale o di Eulero. Inverso di un numero complesso diverso da 0 in forma cartesiana e trigonometrica. I numeri complessi formano un campo. Calcolo delle radici di z^3 - 1 in due modi. Calcolo delle radici di z^2 - i. Enunciato del Teorema Fondamentale dell'Algebra. Un polinomio di grado n a coefficienti complessi ha n radici complesse, se contate con la loro molteplicità. Esame di sistemi lineari 2x2 e 3x3, descrizione della riduzione a scala del sistema mediante eliminazione di Gauss, matrici associate dei coefficienti e dei coefficienti e termini noti, numero dei pivot e rango per pivot delle matrici. Discussione algebrica e geometrica dell'esistenza, unicita' o infinita' di soluzioni. Esercitazione scritta in classe. (Foglio 1) Abate-de Fabritiis, Cap. 4, pp. 77-85 (fino lemma 4C.3 escluso), Cap. 3, pp. 39-43. Bramanti-Pagani-Salsa, Analisi Matematica I, pp. 35-47. Terza settimana (8 ott - 9 ott - 11 ott) Revisione dell'esercitazione relativa al foglio 1. Esempi di sistemi di equazioni lineari e di metodi di risoluzione: un'equazione di primo grado e un sistema di due equazioni lineari in due incognite. Manipolazioni che non cambiano l'insieme di soluzioni di un'equazione (e di un sistema di equazioni): sommare ad entrambi i membri la stessa quantità; moltiplicare entrambi i membri per un numero diverso da 0 (cioè invertibile). Il caso dei sistemi: sostituire una delle equazioni con una sua combinazione lineare con un'altra equazione; funziona se uno dei coefficienti (quale) è diverso da 0. Un esempio di risoluzione di un sistema lineare con le manipolazioni già descritte. Scrittura generale di un sistema lineare di m equazioni in n incognite. matrice A dei coefficienti e matrice B dei coefficienti e termini noti. Esempi numerici di sistemi lineari 2x2 con una, infinite o nessuna soluzione. Commento sulla geometria analitica dei sistemi lineari portati ad esempio. Eliminazione di Gauss su tutti i sistemi lineari portati ad esempio e sulle rispettive matrici A e B. Pivots e rango per pivot di una matrice. Confronto tra i ranghi di A e di B e l'esistenza o meno di soluzioni. Il caso di unica soluzione. Sistemi lineari triangolari superiori di tre equazioni in tre incognite. Hanno soluzione unica se i tre coefficienti sulla diagonale principale sono tutti non nulli. Il procedimento di eliminazione porta un sistema di tre equazioni in tre incognite in un sistema triangolare superiore equivalente; pertanto, ogni sistema (lineare) di tre equazioni in tre incognite (reali) ha infinite soluzioni, oppure una sola, oppure nessuna. Interpretazione di un sistema lineare come ricerca dei coefficienti che permettono di scrivere la colonna dei termini noti come combinazione lineare delle colonne dei coefficienti delle incognite. Enunciato del teorema di Rouche'-Capelli. Un esempio di sistema lineare 2x2 a coefficienti complessi. Esercizio: la somma delle n radici n-esime di un arbitrario numero complesso e' zero. Abate- de Fabritiis, Cap. 3 (tutto). Quarta settimana (15 ott - 16 ott - 18 ott) Ancora sul procedimento di eliminazione di Gauss per la risoluzione di sistemi di equazioni lineari. Se al termine dell'eliminazione vi è un pivot sull'ultima colonna (quella dei termini noti), allora il sistema non ha soluzioni. Se al termine dell'eliminazione non vi sono pivot sull'ultima colonna, abbiamo invece una procedura per elencare tutte le soluzioni: è sufficiente portare a secondo membro le incognite relative alle colonne senza pivot e risolvere, al variare dei valori che assumono, il sistema triangolare superiore risultante. Vari esempi. Definizione di campo. Esempi: Q, R, C, Z_2. Definizione di spazio vettoriale su un campo K. Esempi di spazi vettoriali: {0}, K, K^n, K[x], polinomi di grado massimo fissato, matrici m x n a coefficienti in K, funzioni reali di una variabile reale. Sottospazi vettoriali: definizione. Un sottoinsieme di uno spazio vettoriale è un sottospazio vettoriale se contiene lo 0, contiene la somma di suoi elementi (comunque presi) e contiene tutti i multipli di un suo elemento (comunque preso). Esempi di sottospazi vettoriali: sottospazi banali; retta generata da un elemento non nullo; sottospazi vettoriali di R^2 (solo lo 0, rette per l'origine, tutto R^2). Sottospazi vettoriali di R^3. Sottospazio vettoriale generato da un insieme di vettori: Span(v1, …, vn). Generatori di uno spazio vettoriale. Il concetto di base. Esercizi su sistemi di generatori, vettori linearmente indipendenti e basi. Il concetto di combinazione lineare: se un sottospazio vettoriale contiene dei vettori, contiene tutte le loro combinazioni lineari. L'insieme delle combinazioni lineari di n vettori è un sottospazio vettoriale. Combinazioni lineari di combinazioni lineari sono combinazioni lineari. Un sistema di equazioni lineari ha soluzione se e solo se la colonna dei termini noti è combinazione lineare delle colonne dei coefficienti delle incognite. Il vettore nullo è sempre combinazione lineare di due elementi prendendo coefficienti 0 e 0. Puo' essere ottenuto anche con altre scelte di coefficienti? Due esempi. Definizione di dipendenza e indipendenza lineare. Dimostrazione del fatto che basi diverse, in uno spazio vettoriale finitamente generato, sono formate dallo stesso numero di elementi. Esercitazione in classe (Foglio 2). Abate-de Fabritiis, Cap. 4, pagg. 58-74; Cap. 6, pagg. 108-116. Quinta settimana (22 ott - 23 ott - 25 ott) In uno spazio vettoriale, ogni vettore è combinazione lineare di vettori linearmente indipendenti in al più una maniera; viceversa, se un dato vettore è combinazione lineare di alcuni vettori in esattamente una maniera, allora i vettori sono linearmente indipendenti. Basi e coordinate: ci interesseremo solo di basi finite. Esempio di uno spazio vettoriale con una base infinita. Da un insieme (finito) di generatori di uno spazio vettoriale V si può estrarre una base. Se v_1, …, v_n generano V, e se w_1, …, w_m sono elementi distinti di V tali che m>n, allora essi sono linearmente dipendenti. Conseguenze dell'enunciato: 1) Se v_1, …, v_n è una base di V, e se w_1, …, w_h di V sono linearmente indipendenti, allora h è minore o uguale ad n. 2) Se v_1, …, v_n e w_1, …, w_h sono basi di V, allora h = n. Questo permette di definire il concetto di dimensione di uno spazio vettoriale come il numero di elementi di una sua base (e quindi di ogni altra sua base). 3) Ogni insieme di vettori linearmente indipendenti di V si completa ad una base di V. 4) Se dim V = n, n elementi linearmente indipendenti di V sono automaticamente una base. 5) Se dim V = n, n generatori di V sono automaticamente una base. 6) La dimensione di un sottospazio è minore o uguale della dimensione dello spazio vettoriale che lo contiene. L'unico sottospazio di V la cui dimensione è uguale a dim V è V stesso. Operazioni tra sottospazi vettoriali: intersezione e somma. Somma diretta di sottospazi vettoriali. Formula di Grassmann. Spazio vettoriale delle matrici quadrate nxn, sua base canonica. Esempi di altre basi. I sottospazi vettoriali delle matrici simmetriche e antisimmetriche, loro dimensioni e loro basi naturali. Decomposizione di M_n(R) nella somma diretta dei sottospazi U e W delle matrici risp. simmetriche e antisimmetriche. Un breve riassunto su indipendenza lineare, generatori e dimensione. Degli elementi v_1, …, v_n di uno spazio vettoriale sono linearmente indipendenti se e solo se nessuno dei vettori è combinazione lineare dei precedenti. Un sottospazio vettoriale di uno spazio vettoriale di dimensione finita ha dimensione finita. Dimostrazione delle formule di Grassmann. Due piani in R^4 che si intersecano solo in un punto. Stima della dimensione dell'intersezione di due sottospazi vettoriali. Abate-de Fabritiis, Cap. 4, pagg. 68-77. Sesta settimana (29 ott - 30 ott) Definizione di applicazione lineare T: V ---> W tra spazi vettoriali. Vari esempi: rotazione di un angolo fissoto dei vettori geometrici del piano, derivazione nello spazio dei polinomi, trasposizione nello spazio delle matrici, proiezione su un piano dei vettori geometrici dello spazio. Infine l'importantissimo esempio numerico: la moltiplicazione (a sinistra) per una matrice A mxn fornisce un'applicazione lineare da K^n a K^m. Definizione della matrice A di un'applicazione lineare T: V --> W associata alla scelta di basi E di V e F di W. Definizione di nucleo ker T e immagine im T di un'applicazione lineare T e dimostrazione che sono sottospazi vettoriali dello spazio vettoriale di partenza e di arrivo. T: V --> W lineare è suriettiva se e solo se Im(T) coincide con W; è iniettiva se e solo se ker(T) = {0}. Se T: V --> W è lineare, e v_1, …, v_n è una base di V, allora T(v_1), …, T(v_n) generano Im(T). Teorema della dimensione: Se T: V --> W è lineare (e V ha dimensione finita) allora dim ker(T) + dim Im(T) = dim V. Equivalenza delle varie definizioni di rango di una matrice A viste finora: rango per pivot, rango per righe, rango per colonne, dimensione dell'immagine di L_A. Teorema di Rouché-Capelli, Teorema di struttura delle soluzioni di un sistema lineare (Prop. 5.1 del libro). Abate - de Fabritiis, Cap. 5, pagg. 91-106; Cap. 6, pagg. 107-126. Settima settimana (5 nov - 6 nov - 8 nov) Esempi ed esercizi su applizazioni lineari, in particolare sull'applicazione lineare L_A definita da una matrice A mxn. Gergo: omomorfismi, monomorfismi, epimorfismi, endomorfismi, isomorfismi, automorfismi. Composizione di applicazioni lineari, prodotto righe per colonne di matrici. Automorfismo identico e matrice identica. Inversa di una matrice invertibile. Determinante di una matrice quadrata: unica funzione f: M_n(K) --> K lineare sulla prima riga, alternante sulle righe e che vale 1 sulla matrice identica. Conseguenze di tali tre proprieta': invarianza (a meno del segno) di una tale funzione f per le operazioni elementari che danno luogo alla riduzione a scala. Nullita' di tale funzione f per matrici con righe linearmente dipendenti. Esistenza di tale unica funzione f: il determinante definito usando le permutazioni e il loro segno. Significato geometrico del determinante in M_2(R): l'area con segno del parallelogramma generato dai due vettori riga. Esercitazione scritta in classe (Foglio 3). Abate- de Fabritiis, Cap. 7, pagg. 127-138, Cap.9, pagg. 161-171. Ottava settimana (12 nov - 13 nov - 15 nov) Revisione degle esercizi del Foglio 3. Sviluppo di Laplace di un determinante secondo una riga o una colonne. Esempi numerici di calcolo. Matrici invertibili, endomorfismi invertibili. Un endomorfismo e' invertibile se e solo se e' iniettivo o suriettivo. Il gruppo (rispetto al prodotto righe per colonne) GL(n,K), gruppo lineare generale delle matrici invertibili do ordine n. Ancora sul significato geometrico del determinante: aree e volumi. Prodotto vettoriale tra vettori geometrici in tre dimensioni, sua bilinearita' e alternanza. Espressione analitica del prodotto vettoriale, usando le componenti dei due fattori in una base ortonormale. Cenni sui quaternioni. Prodotto scalare, sua bilinearita' e proprieta' di simmetria, espressione analitica del prodotto scalare, usando le componenti dei due fattori in una base ortonormale. Prodotto misto di tre vettori geometrici, sua trilinearita' e alternanza, espressione analitica, volume del parallelepipedo, volume orientato e determinante. Abate - de Fabritiis, Cap. 12, pagg. 263-266. Cap. 9, pagg. 161-175. Nona settimana (19 nov - 20 nov - 22 nov) Il rango di una matrice (non necessariamente quadrate) usando i determinanti: il rango e' l'ordine massimo dei minori non nulli estraibili. Ancora sistemi lineari: sistemi lineari quadrati con una sola soluzione, uso dell'inversa della matruice deiu coefficienti per la sua soluzione, formule di Cramer. Applicazione delle formule di Cramer alla soluzione di sistemi (quadrati o rettangolari) che ammettono infinite soluzioni. Gli spazi vettoriali V^n su K (astratto) e K^n (numerico) sono isomorfi e l'isomorfismo e' dato dalla scelta di una base. Applicazioni lineari T tra spazi vettoriali V^n e W^m, entrambi su K: la scelta di basi in V e in W consente di associare a T una matrice A con m righe e n colonne, e di identificare T con la trasformazione lineare numerica L_A: K^n --> K^m. Esempi: la rotazione di un angolo nello spazio vettoriale dei vettori geometrici del piano, applicati in un punto. La derivazione sullo spazio dei polinomi di grado minore o uguale a 3, derivate successive, matrici associate, nilpotenza. Operatori di trasposizione, di simmetrizzazione e di antisimmetrizzazione sulle matrici di ordine 3, determinazione dei nuclei e delle immagini. Matrice di cambiamento di base. Matrice associata ad un'applicazione lineare fissate basi in partenza e in arrivo. Esempi, caso degli endomorfismi e degli automorfismi di V^n. Abate - de Fabritiis, Cap. 9, pagg. 175-179. Cap. 8, pagg. 143-155. Decima settimana (26 nov - 27 nov - 29 nov) Composizione tra applicazioni lineari e prodotto righe per colonne. Alcuni esempi. Proprietà del prodotto righe per colonne. AB può essere diverso da BA. Teorema di Binet. Matrici invertibili. Il gruppo generale lineare. Calcolo dell'inversa di una matrice invertibile. Prova scritta di autovalutazione in classe (Foglio 4, cfr. sezione Esercizi e Altro per il testo e le soluzioni). Matrici associate ad applicazioni lineari e cambiamenti di base: la relazione di similitudine. Caso degli endomorfismi. Abate - de Fabritiis, ancora Cap. 7, pagg. 133-138 e Cap. 8, tutto. Undicesima settimana (3 dic - 4 dic - 5 dic) Autovalori e autovettori di un endomorfismo T in uno spazio vettoriale V^n_K. Esempi e osservazioni fondamentali. Autospazi, il nucleo come autospazio dell'autovalore nullo. Deduzione e uso del polinomio caratteristico, autovalori come radici del polinomio caratteristico. Molteplicita' algebrica e geometrica di autovalori. Esempi. La rotazione di 90 gradi in R^2 e in C^2. La derivazione sui polinomi, la trasposizione sulle matrici. Endomorfismi diagonalizzabili e non diagonalizzabili. Analoghe nozioni per matrici quadrate. La matrice di rotazione nel piano euclideo reale di angolo theta (diverso da 0 e da 180 gradi): non è diagonalizzabile sui reali, ma è diagonalizzabile sui complessi. Calcolo degli autovalori. Invarianti di una matrice per similitudine: i coefficienti del polinomio caratteristico come somma dei minori principali di ordine fissato della matrice stessa. Ancora, sul campo complesso, i coefficienti del polinomio caratteristico come polinomi simmetrici elementari negli autovalori della matrice. In particolare, invarianza della traccia e del determinante di una matrice. Esercitazione in classe (Foglio n.5). Abate - de Fabritiis, Cap. 13, pagg. 275-284. Dodicesima settimana (10 dic - 11 dic) Ancora sulla diagonalizzazione. Indipendenza lineari di autovettori associati ad autovalori distinti. Diagonalizzabilita' degli operatori con tutti gli autovalori nel campo e tr$ distinti. Esempio della derivazione sullo spazio dei polinomi di grado minore o uguale a 3. esempio della trasposizione sullo spazio delle matrici quadrate 2x2. Molteplicita' algebrica e geometrica di un autovalore. Dimostraziuone che la prima e' maggiore o uguale alla seconda. Condizione necessaria e sufficiente per la diagonalizzabilita' in termini di autoval$ nel campo e di uguaglianza tra le rispettive molteplicita' algebriche e geometriche. Decomposizione spettrale di uno spazio vettoriale rispetto a un operatore diagonalizzabile. Diagonalizzazione delle matrici di Pauli. Richiaami su molteplicità algebrica e geometria e diagonalizzabilità. Esercizi sulla diagonalizzazione. Abate - de Fabritiis, Cap. 13, pagg. 284-288. Tredicesima settimana (17 dic - 18 dic - 20 dic) Forme bilineari simmetriche in spazi vettoriali reali. Forme bilineari simmetriche definite positive, non degeneri e degeneri. Esempi, Basi ortogonali e ortonormali. Ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Endomorfismi ortogonali e endomorfismi autoaggiunti in spazi vettoriali euclidei. Loro rappresentazione con matrici in basi ortonormali. Matrici ortogonali e matrici simmetriche. La matrice di rotazione nel piano euclideo reale di angolo theta (diverso da 0 e da 180 gradi): non è diagonalizzabile sui reali, ma è diagonalizzabile sui complessi. Calcolo degli autovalori. Due Autovettori relativi ad autovalori distinti sono linearmento indipendenti (dimostrazione per induzione). Isometrie di R^n rispetto al prodotto scalare canonico (che mandano 0 in 0). Sono lineari (senza dimostrazione). Conservano sia la norma che il prodotto scalare. Isometrie lineari di R^2: possibili matrici. Quelle di determinante 1 sono le rotazioni. Quelle di determinante -1 possiedono gli autovalori 1 e -1. Determinante di un'isometria (reale): può essere solo 1 o -1. Le isometrie dello spazio euclideo n-dimensionale si indicano con O(n); quelle di determinante 1 si indicano con SO(n). SO(3). Un'isometria di determinante 1 dello spazio euclideo tridimensionale ha almeno un autovalore reale (poiché il suo polinomio caratteristico ha grado dispari e coefficienti reali). Se un elemento di SO(3) ammette l'autovalore 1, allora agisce come una rotazione sul piano ortogonale ad un autovettore di autovalore 1; è quindi una rotazione attorno ad una retta passante per l'origine. Se un elemento di SO(3) ammette l'autovalore -1, allora ha anche l'autovalore 1, ed è una rotazione di 180 gradi attorno ad una retta passante per l'origine. Ogni elemento di SO(3) è una rotazione attorno ad una retta passante per l'origine. Automorfismi autoaggiunti, gli autovalori sono necessariamente reali e autovettori corrispondenti ad autovalori distinti sono ortogonali. Teorema spettrale reale e diagonalizzabilità di matrici simmetriche reali mediante matrici ortogonali. Esercizi. Abate- de Fabritiis, Cap. 11, pagg. 224-231, 235-240, 246-249. Cap. 14, pagg. 294-298. Quattordicesima settimana (7 gen - 8 gen - 10 gen) Algebra lineare hermitiana: Forme sesquilineari e sesquilineari hermitiane su uno sopazio vettoriale complesso. Prodiotti scalari hermitiani definiti positivi. Esempi, in particolare il prodotto scalare hermitiano canonico sullo spazio vettoriale numerico C^n. Basi ortonormali e cambiamenti di basi ortonormali. Il gruppo unitario U(n) delle matrici che conservano il prodotto scalare hermitiano canonico. Operatori unitari in spazi vettoriali hermitiani e loro rappresentazione in basi ortonormali mediante matrici unitarie. Teorema spettrale per operatori unitari: Esistenza di una base ortonormale di autovettori e conseguente diagonalizzabilita' di matrici unitarie mediante matrici unitarie. Operatori hermitiani in spazi vettoriali hermitiani e loro rappresentazione in basi ortonormali mediante matrici hermitiane. Esempio: le matrici di Pauli. Realta' degli autovalori delle matrici hermitiane. Teorema spettrale per operatori hermitiani: esistenza di una base ortonormale di autovettori e conseguente diagonalizzabilita' di matrici hermitiane mediante matrici unitarie. Un esercizio numerico di diagonalizzazione. Operatori antihermitiani in spazi vettoriali hermitiani e loro rappresentazione in basi ortonormali mediante matrici antihermitiane. Autovalori puramente immaginari delle matrici antihermitiane. Teorema spettrale per operatori antihermitiani: esistenza di una base ortonormale di autovettori e conseguente diagonalizzabilita' di matrici antihermitiane mediante matrici unitarie. Diagonalizzazione nel campo complesso della rotazione di 90 gradi nel piano. Quindicesima settimana (14 gen - 15 gen) Esercitazione scritta in classe: Foglio n. 6. Correzione in classe. |