Geometria Superiore
Prima settimana (6 mar) Introduzione al corso. Richiami su omologia singolare e coomologia di de Rham, loro computabilita', teoremi di Stokes e di de Rham, teorema egregium e teorema di Gauss- Bonnet. Caratteristica di Eulero. Omologia di un complesso simpliciale: il tetraedro. Complessi di celle e CW-complessi. Esempi: sfere, spazi proiettivi reali e complessi, superfici compatte orientabili. Numeri di Betti e caratteristica di Eulero. Questi argomenti si trovano in [DFN], vol. III, Cap. 1, paragrafi 1,2,3,4. Seconda settimana (11 mar - 13 mar) Omologia di un complesso simpliciale: il tetraedro. Complessi di celle e CW-complessi. Esempi: sfere, spazi proiettivi reali e complessi, superfici compatte orientabili. Numeri di Betti e caratteristica di Eulero. Calcolo dell'omologia. Questi argomenti si trovano ancora in [DFN], vol. III, Cap. 1, paragrafi 1,2,3,4. Per la metrica di Fubini-Study si pu\`o vedere wikipedia: http://en.wikipedia.org/wiki/Fubini%E2%80%93Study_metric Per le coordinate pl\"uckeriane di retta in P^3 e la quadrica di Klein si pu\`o vedere in E. Sernesi, Geometria I, due pagine del Cap. 3. Per le variet\`a di Stiefel e Grassmanniane [DFN], vol. II, Cap. 1, paragrafo 5, o ancora le seguenti due pagine di wikipedia: http://en.wikipedia.org/wiki/Grassmannian Terza settimana (18 mar - 20 mar) Metrica di Fubini-Study di CP^n e sua forma di Kaehler. Suo integrale su CP^1. Omologia e coomologia di CP^n e delle superfici compatte orientabili. Variet\`a di Stiefel e di Grassmann. Descrizione della quadrica di Klein. Struttura differenziabile sulle grassmanniane e loro struttura di CW-complesso. Questi argomenti si trovano in [MS], paragrafi 2, 5, 6, 14, 15, oppure in [BT], Ch. 4. Quarta e quinta settimana (25 mar - 27 mar - 1 apr - 3 apr) Simboli di Schubert e descrizione esplicita delle celle sulle grassmanniane. Grassmanniane infinite. Struttura dell'algebra di coomologia di de Rham delle grassmanniane reali e complesse. Fibrati vettoriali differenziabili reali e complessi, esempi, sezioni. Fibrati tautologici su grassmanniane e varieta' di Stiefel. Funtori di una o piu' variabili nella categoria degli spazi vettoriali. Costruzione di nuovi fibrati vettoriali da vecchi: fibrati duale e fibrati potenze esterne, fibrati somma diretta e prodotto tensoriale. Applicazioni di Gauss su grassmanniane associate a fibrati vettoriali reali, reali orientati e complessi. Dimostrazione della proprieta' di omotopia dei fibrati vettoriali. Banalita' dei fibrati su base contraibile. Grassmanniane infinite e classificazione dei fibrati vettoriali su base paracompatta con le classi di omotopia di funzioni continue a valori nei rispettivi spazi classificanti. Classi caratteristiche universali di Stiefel-Whitney, di Chern, di Pontrjagin e di Eulero. Anello caratteristico di un fibrato vettoriale. Questi argomenti si trovano in [MS], paragrafo 5, oppure in [BT], Ch. 4, paragrafo 23 e Ch. 1, teorema 6.8, corollario 6.9 e precedente breve paragrafo nelle pagine precedenti (Operations on Vector Bundles). Sesta settimana (8 apr - 10 apr) Connessioni e curvatura in fibrati vettoriali reali e complessi. Riferimenti mobili, forme locali di connessione e di curvatura e loro modalita' di trasformazione per cambiamenti di riferimento. Equazioni di struttura. Connessioni metriche. Antisimmetria e antihermitianita' delle matrici di forme associate a riferimenti mobili ortonormali. Questi argomenti si trovano in [MS], Appendice C, oppure in [GH], Ch. 0, par. 5 Settima settimana (15 apr) Polinomi invarianti sulle algebre di Lie gl(k,C), u(k), so(k), forme differenziali costruite con forme di curvatura. Loro proprieta' di chiusura e indipendenza dalla connessione della loro classe di coomologia. Omomorfismo di Weil, caso dei fibrati universali. Strutture delle algebre dei polinomi invarianti. Rappresentazione mediante forme di curvatura delle classi di Chern e di Pontrjagin. Connessioni metriche e rappresentazione della classe di Eulero. Questi argomenti si trovano in [MS], Appendice C, oppure in [GH], Ch. 0, par. 5 Ottava settimana (6 mag - 8 mag) Implicazioni della dualita' di Poincare' sulla caratteristica di Eulero di varieta' compatte orientate. Segnatura e suo confronto con la caratteristica di Eulero. Annullamento della segnatura su varieta' bordo. Classi di cobordismo di varieta' compatte orientate e segnatura. Teorema di struttura dell'anello di cobordismo orientato. Questi argomenti si trovano in [MS], capitoli 16, 17, 18, oppure in T. Weston, An introduction to cobordism theory, capitolo 3, https://www.math.umass.edu/~weston/ep.html , o anche in A. Kupers, Oriented bordism: calculation and application, http://math.stanford.edu/~kupers/ (October 15th, 2012, Kiddie Seminar). Nona settimana (13 mag) Numeri caratteristici di Chern, Pontrjagin, Eulero, Stiefel-Whitney. Annullamento dei numeri di Pontrjagin su varieta' bordo. Successioni moltiplicative e serie formali di potenze. L-genere e teorema della segnatura. Ancora nona settimana (16 mag) Seminario di Amadio, Ardito, Freddi su strutture complesse e quasi complesse. Vedi pagina "Seminari degli studenti" per versioni scritte e indicazioni bibliografiche. Decima settimana (20 mag - 22 mag - 23 mag) Seminario di Catalano, Clementini, Allegra su forme differenziali complesse. Seminario di Zurlo, Durastanti, Casalvieri su fibrati olomorfi e hermitiani. Seminario di Graziani, Giovannini, Bertini su metriche hermitiane e kaehleriane. Vedi pagina "Seminari degli studenti" per versioni scritte e indicazioni bibliografiche. Undicesima settimana (27 mag - 29 mag - 30 mag) Seminario di Troiani - Iovieno su esempi di metriche kaehleriane. Seminari di Fiaschetti - Campo - Gianni su operatori naturali su varieta' di Kahler. Seminario di Dello Schiavo - Manziroli - Bagaglini su Teoria di Hodge e di Dolbeault. Vedi pagina "Seminari degli studenti" per versioni scritte e indicazioni bibliografiche. Dodicesima settimana (3 giu - 5 giu) Seminari di Di Lorenzo, Zucchi, Boni, Amicone su connessioni su curvatura di metriche kaehleriane e classi di Chern. Seminario di Stefanelli, Spadolini, Benedetti, Proietti su forma di Ricci e teorema di Calabi-Yau. Vedi pagina "Seminari degli studenti" per versioni scritte e indicazioni bibliografiche. Bibliografia [DFN] Dubrovin - Fomenko - Novikov, Modern Geometry: vol. I-II-III oppure in italiano: Geometria contemporanea, vol. I-II-III. [BT] Bott - Tu, Differential Forms in Algebraic Topology. [GH] Griffiths - Harris, Principles of Algebraic Geometry. [MS] Milnor - Stasheff, Characteristic classes. |