Prima settimana (30 sett - 1 ott - 3 ott)
Introduzione al corso: l'algebra lineare e la geometria analitica. La dualita' nei poliedri regolari della geometria euclidea. Caratteristica di Eulero dei poliedri e delle superfici compatte. Funzionali lineari su uno spazio vettoriale e spazio duale. Basi duali. Biduale e isomorfismo canonico. Nucleo di un funzionale lineare e funzionali proporzionali per un fattore non nullo. Forme bilineari su uno spazio vettoriale. Forme bilineari simmetriche e forme quadratiche associate. Matrici rappresentanti, cambiamento di base, relazione di congruenza. Il problema della diagonalizzazione.
Sernesi, Geometria I, pp. 134-135, 143-147, 208-213. Foglio 1 nella sezione Esercizi e Altro.
Seconda settimana (6 ott - 7 ott - 8 ott - 10 ott)
Vettori isotropi e non isotropi rispetto a una forma quadratica. Forme quadratiche non degeneri. Nucleo, indice di nullita' e rango di una forma quadratica. Teoremi di diagonalizzazione per un campo qualsiasi e per un campo algebricamente chiuso. Caso reale: teorema di Sylvester, indici di positivita' e di negativita'. Spazi vettoriali reali euclidei e complessi hermitiani. Operatori unitari e autoaggiunti nei due casi. Matrici rappresentanti in basi ortonormali. Matrici ortogonali, speciali ortogonali, unitarie, speciali unitarie. Matrici di Pauli. Matrici simmetriche e antisimmetriche reali e complesse. Matrici hermitiane e antihermitiane. Teoremi di diagonalizzazione.
Sernesi, Geometria I, pp. 213-228, 262-266, 288-300. Foglio 2 nella sezione Esercizi e Altro.
Terza settimana (13 ott - 14 ott - 15 ott - 17 ott)
Riepilogo sulla diagonalizzazione di matrici, per similitudine e per congruenza. Soluzione di esercizi. Definizione di spazio proiettivo associato a uno spazio vettoriale. Spazio proiettivo numerico. Riferimenti proiettivi in uno spazio proiettivo e coordinate proiettive omogenee. Cambiamenti di riferimento proiettivo. Punti linearmente indipendenti e punti combinazione lineare di altri. Esempi ed esercizi.
Sernesi, Geometria I, pp. 301-311. Foglio 3 nella sezione Esercizi e Altro.
Quarta settimana (20 ott - 21 ott - 22 ott - 24 ott)
Sottospazi proiettivi. Loro rappresentazione analitica con equazioni parametriche e equazioni cartesiane. Caso delle rette nel piano, e delle rette e piani nello spazio proiettivo tridimensionale. Formula di Grassmann per sottospazi proiettivi. Spazio proiettivo duale: identificazione delle classi di proporzionalita' di funzionali lineari non nulli con gli iperpiani proiettivi. Fasci e sistemi lineari di iperpiani e loro interpretazione nella dualita'. Spazi affini ampliati, formule di passaggio da coordinate affini a coordinate proiettive omogeneee e viceversa. Esame delle coniche generali reali affini: ellisse, iperbole, parabola in forma canonica e loro equivalenza proiettiva nel caso reale e complesso.
Sernesi, Geometria I, pp. 315-319, 323-337. Foglio 4 nella sezione Esercizi e Altro.
Quinta settimana (27 ott - 28 ott - 29 ott - 31 ott)
Richiami sulle definizioni di spazio affine e spazio euclideo, riferimenti affini e cartesiani ortonormali, sui cambiamenti di riferimento e relative formule di trasformazione di coordinate di punto. Richiami su affinita' e isometrie e relative formule analitiche. Proiettivita' e loro formule analitiche. Ancora cambiamenti di riferimento proiettivo. Esempi ed esercizi. Geometria sulla retta affine: rapporto semplice di tre punti sulla retta affine, birapporto di quattro punti sulla retta proiettiva, modulo j di quattro punti e sua invarianza proiettiva. Caso di fasci di rette nel piano e di fasci di piani sullo spazio proiettivo.
Sernesi, Geometria I, pp. 93-96, 159-160, 193-205; 246-247, 266-269; 337-346. Foglio 5 nella sezione Esercizi e Altro.
Sesta settimana (3 nov - 4 nov - 5 nov - 7 nov)
Coniche proiettive complesse e reali, coniche affini complesse e reali, coniche euclidee. Relativi teoremi di riduzione a forma canonica. coniche generali, semplicemente degeneri, doppiamente degeneri. Coniche a centro, parabole. Ellissi e iperboli.
Sernesi, Geometria I, pp. 355-365, 373-385, 389-393.
Settima settimana (17 nov - 18 nov - 19 nov - 21 nov)
Quadriche proiettive reali e complesse in spazi tridimensionali. Quadriche affini reali e complesse. Quadriche a centro e paraboloidi. Quadriche degeneri. Coni e cilindri quadrici. Teoremi di classificazione e loro forme canoniche. Quadriche euclidee generali: ellissoidi, iperboloidi ellittici e iperbolici, paraboloidi ellittici e iperbolici. Spazi proiettivi rapprentativi delle coniche e delle quadriche. Fasci di coniche e fasci di quadriche. Elementi degeneri di un fascio. Cenni sulle coordinate pluckeriane di retta e quadrica di Klein (*).
Rappresentazioni analitiche delle curve differenziabili: archi di curva regolari nel piano e spazio affine n-dimensionale, grafici nel piano di funzioni differenziabili, curve differenziabili globali nel piano affine. Rette tangenti e loro espressione analitica nei vari tipi di rappresentazione.
Curve algebriche affini e proiettive reali e complesse, loro grado e loro supporto. Curve algebriche riducibili. Punti semplici e punti singolari su una curva algebrica affine e proiettiva. Equazione della retta tangente in un punto semplice.
Sernesi, Geometria I, pp. 375-376; 385-388; 398; p. 422, 427-428 (solo per n=2); pp. 355-370. Foglio 6 nella sezione Esercizi e Altro.
Ottava settimana (24 nov - 25 nov - 26 nov - 28 nov)
Intersezione di una curva algebrica proiettiva con una retta, molteplicita' di intersezione in un punto. Cenni sulle proprieta' di intersezione tra due curve algebriche. Proprieta' locali delle curve algebriche: molteplicita' di un punto, tangenti principali, studio con lo sviluppo di Taylor del polinomio. Esempi e vari tipi di singolarita'. Studio all'infinito di una curva algebrica affine. Flessi di una curva algebrica proiettiva. Curva hessiana e caratterizzazione dei flessi. Esempi.
Sernesi, Geometria I, pp. 399-406 (solo enunciati teor. 33.1 e 33.2); pp. 408-419. Foglio 7 nella sezione Esercizi e Altro.
Nona settimana (1 dic - 2 dic - 3 dic - 5 dic)
Esercizi su studio locale di curve algebriche in punti semplici e singolari. Sistema lineare delle curve algebriche proiettive di grado n, caso delle coniche, cubiche, quartiche,... Riduzione per proiettivita' di una cubica non singolare a una parabola cubica di Newton. Configurazione dei flessi di una cubica non singolare. Le quattro rette tangenti passanti per un punto di flesso. Loro birapporto e modulo. Modulo di una cubica non singolare e relativa classificazione. Cubiche irriducibili con un nodo e con una cuspide. Cubiche riducibili.
Sernesi, Geometria I, pp. 430-435. Foglio 8 nella sezione Esercizi e Altro.
Decima settimana (9 dic - 10 dic - 12 dic)
Introduzione alla Topologia: stessa cardinalita' tra R e R^n, invarianza topologica della dimensione, caratteristica di Eulero. Proprieta' delle operazioni tra insiemi. Richiami su spazi metrici, Dischi aperti, topologia indotta. Applicazioni continue in spazi metrici. Spazi topologici. Definizioni alternative per una topologia. Definizione tramite i chiusi, una base, gli intorni dei punti. Esempi. Proprieta' caratteristiche di una base e degli intorni. Caratterizzazioni delle applicazioni continue mediante chiusi e mediante intorni dei punti. Confronto tra topologie su uno stesso insieme. Esempi di topologie su R. Successioni e loro punti di convergenza.
Sernesi, Geometria II, pp. 3-21; oppure Manetti, Minitopologia, pp. 2-6; 7-12.
Undicesima settimana (15 dic 16 dic - 17 dic - 19 dic)
Applicazioni continue e omeomorfismi. Spazi di Hausdorff. Unicita' del limite di una successione. Topologia immagine inversa e topologia indotta su un sottoinsieme. Sottospazi topologici. Esempi. Ereditarieta' della proprieta' di Hausdorff. Prodotto di due spazi topologici. Topologia immagine diretta mediante un'applicazione e topologia quopziente. Esempi di quoziente: tori, spazi proiettivi reali e complessi. Saturazione di un sottoinsieme e insiemi saturi rispetto alla proiezione sul quoziente. Esempi di quoziente non di Hausdorff di uno spazio di Hausdorff.
Sottoinsiemi di uno spazio topologico, loro parte interna, parte esterna e frontiera. Chiusura di un sottoinsieme, punti di accumulazione e punti isolati. Esempi.
Sernesi, Geometria II, pp. 24-28; 34-39; 42-44; 46-49; 58-59; 61-64; 72-85. Manetti, Minitopologia, pp. 6-9; 12-16; 27-31. Foglio 9 nella Sezione Esercizi e Altro.
Dodicesima settimana (7 gen - 9 gen)
Richiami su spazi di Hausdoff e unicita' del limite. Ricoprimenti aperti e loro raffinamenti in spazi topologici. Spazi topologici compatti. Esempi. Un sottospazio compatto di uno spazio di Hausdorff e' chiuso. Un sottospazio chiuso di uno spazio compatto e' compatto. Comnpattezza degli intervalli chiusi e limitati di R. Compattezza del prodotto di due spazi compatti. Caratterizzazione dei compatti di R^n con i suoi chiusi e limitati. Compattezza del quoziente di spazi compatti. Esistenza del massimo e minimo di una funzione continua a valori reali definita su uno spazio compatto. Compattezza di RP^n, CP^n e dei supporti delle curve algebriche proiettive in RP^2 e CP^2.
Spazi topologici connessi e connessi per archi. Caratterizzazione dei connessi di R con gli intervalli. Connessione del quoziente di spazi connessi. Non esistenza di un omeomorfismo tra R e R^n per n>1. Connessione della chiusura di un sottospazio connesso. Un esempio di spazio connesso ma non connesso per archi. Cenni sulle componenti connesse di uno spazio topologico e su spazi totalmente sconnessi. Varieta' topologiche, coordinate locali, esempi. Una varieta' topologica connessa e' connessa per archi. Enunciato della classificazione delle superfici topologiche connesse e compatte.
Sernesi, Geometria II, pp. 101-110; 125-135; oppure Manetti, Minitopologia, pp. 17-26.