Geometria I (M-Z)
Prima settimana (2 marzo) Introduzione al corso: l'algebra lineare e la geometria analitica. La dualita' nei poliedri regolari e nei politopi della geometria euclidea. Caratteristica di Eulero. Segnalazione del film Link al film "Dimensions" (consigliate parti 1,2,3,4) Seconda settimana (6 mar - 7 mar - 9 mar) Funzionali lineari su uno spazio vettoriale e spazio duale. Basi duali. Biduale e isomorfismo canonico. Nucleo di un funzionale lineare e funzionali proporzionali per un fattore non nullo. Duale di un'applicazione lineare ew matrice trasposta. Forme bilineari su uno spazio vettoriale. Forme bilineari simmetriche e forme quadratiche associate. Matrici rappresentanti, cambiamento di base, relazione di congruenza. Il problema della diagonalizzazione. Vettori isotropi e non isotropi rispetto a una forma quadratica. Forme quadratiche non degeneri. Nucleo, indice di nullita' e rango di una forma quadratica. Teorema di diagonalizzazione per un campo base arbitrario. Sernesi, Geometria I, pp. 134-135, 143-147, 208-223. Foglio 1 nella sezione Esercizi e Altro. Terza settimana (13 mar - 14 mar - 16 mar) Diagonalizzazione di forme bilineari simmetriche e forme quadratiche per un campo algebricamente chiuso. Caso reale: teorema di Sylvester, indici di positivita', di negativita' e di nullita'. Non diagonalizzabilita' delle forme bilineari non simmetriche. Operatori lineari su uno spazio vettoriale, matrici associoate, relazione di similitudine tra matrici. Il problema della diagonalizzazione per operatori: autovalori, autovettori. Indipendenza lineare di autovettori associati ad autovalori distinti. Esame del problema della digonalizzazione per i seguenti esempi: rotazione nel piano, derivazione in spazi di polinomi, trasposizione nello spazio delle matrici. Sernesi, Geometria I, pp. 223-226, 163-169, 208-223, 262-266. Foglio 2 nella sezione Esercizi e Altro. Quarta settimana (20 mar - 21 mar - 22 mar) Autovalori e polinomio caratteristico, molteplicita' algebrica degli autovalori. Autospazi, molteplicita' geometrica e disuguaglianza tra le due molteplicita'. Condizione necessaria e sufficiente per la diagonalizzabilita'. Prodotti scalari in spazi vettoriali reali, basi ortonormali. Esempi. Operatori orogonali e matrici ortogonali. Operatori simmetrici e matrici simmetriche. Realta' degli autovalori degli operatori simmetrici, ortogonalita' tra gli autovettori associati ad autovalori distinti. Teorema spettrale reale. Diagonabilizzabilita' simultanea per congruenza e per similitudine delle matrici simmetriche reali. Sernesi, Geometria I, pp. 163-174,, 262-266, 288-291. Foglio 3 nella sezione Esercizi e Altro. Quinta settimana (27 mar - 28 mar - 31 mar) Spazi vettoriali complessi e forme sesquilineari, prodotti scalari hermitiani, esempi. Operatori unitari e autoaggiunti, matrici rappresentanti in basi ortonormali. Matrici di Pauli. Matrici simmetriche e antisimmetriche reali e complesse. Matrici hermitiane e antihermitiane. Teoremi di diagonalizzazione. Riepilogo sulla diagonalizzazione di matrici, per similitudine e per congruenza. Soluzione di esercizi. Definizione di spazio proiettivo associato a uno spazio vettoriale. Spazio proiettivo numerico. Riferimenti proiettivi in uno spazio proiettivo e coordinate proiettive omogenee. Richiami sulle definizioni di spazio affine e spazio euclideo, riferimenti affini e cartesiani ortonormali. Sernesi, Geometria I, pp. 213-300, 301-312. Fortuna e al., Geometria proiettiva, pp. 1-3. Foglio 4 nella sezione Esercizi e Altro. Sesta settimana (3 apr - 4 apr - 6 apr) Sottospazi proiettivi. Loro rappresentazione analitica con equazioni parametriche e equazioni cartesiane. Caso delle rette nel piano, e delle rette e piani nello spazio proiettivo tridimensionale. Formula di Grassmann per sottospazi proiettivi. Spazio proiettivo duale: identificazione delle classi di proporzionalita' di funzionali lineari non nulli con gli iperpiani proiettivi. Fasci e sistemi lineari di iperpiani e loro interpretazione nella dualita'. Spazi affini ampliati, formule di passaggio da coordinate affini a coordinate proiettive omogeneee e viceversa. Esame delle coniche generali reali affini: ellisse, iperbole, parabola in forma canonica e loro equivalenza proiettiva nel caso reale e complesso. Sernesi, Geometria I, pp. 315-318, 331-337. Fortuna e al., Geometria proiettiva, pp. 9-15. Settima settimana (10 apr - 11 apr) Prima prova in itinere e revisione degli esercizi assegnati. Ottava settimana (24 apr - 26 apr) Ripresa della geometria proiettiva. Ancora rappresentazione analitiche delle rette in P^2 e dei piani e delle rette in P^3. Richiami su affinita' e isometrie e relative formule analitiche. Proiettivita' e loro formule analitiche. Teorema fondamentale sulle proiettivita'. Cambiamenti di riferimento proiettivo. Esempi ed esercizi. Sernesi, Geometria I, pp. 337-342. Foglio 5 nella sezione Esercizi e Altro. Nona settimana (2 mag - 4 mag) Birapporto di quattro punti sulla retta proiettiva, modulo j di quattro punti e sua invarianza proiettiva. Caso di fasci di rette nel piano e di fasci di piani sullo spazio proiettivo. Esercizi conclusivi di geometria analitica proiettiva. Sernesi, Geometria I, pp. 342-346. Fortuna e al., Geometria proiettiva, pp. 16-18. Foglio 6 nella sezione Esercizi e Altro. Decima settimana (8 mag - 9 mag - 11 mag) Curve algebriche affini e proiettive sui campi reale e complesso. Esempi. Significato geometrico del grado per curve algebriche proiettive complesse. Curve algebriche irriducibile e riducibili. Coniche proiettive complesse e reali, coniche affini complesse e reali, coniche euclidee. Relativi teoremi di riduzione a forma canonica. coniche generali, semplicemente degeneri, doppiamente degeneri. Coniche a centro, parabole. Ellissi e iperboli. Sernesi, Geometria I, pp. 355-365, 373-385, 389-398. Fortuna e al., Geometria proiettiva, pp. 20-27, 32-33, 35-37, 45-48. Foglio 7 nella sezione Esercizi e Altro. Undicesima settimana (15 mag - 16 mag - 18 mag) Sistema lineare delle curve algebriche proiettive di grado assegnato, sistema lineare delle coniche proiettive. Fasci di coniche. Esercizi sulla determinazione di una conica soddisfacente opportune condizioni. Esercizi sulla riduzione a forma canonica, proiettiva, affine e euclidea, dell'equazione di una conica. Sernesi, Geometria I, pp. 422-429. Foglio 8 nella sezione Esercizi e Altro. Dodicesima settimana (22 mag - 23 mag - 25 mag) Esercizi relativi a fasci di coniche e alle determinazione di una conica soddisfacente opportune condizioni. Quadriche proiettive reali e complesse in spazi tridimensionali. Quadriche affini reali e complesse. Quadriche a centro e paraboloidi. Quadriche degeneri. Coni e cilindri quadrici. Teoremi di classificazione e loro forme canoniche. Quadriche euclidee generali: ellissoidi, iperboloidi ellittici e iperbolici, paraboloidi ellittici e iperbolici. Spazi proiettivi rapprentativi delle coniche e delle quadriche. Fasci di coniche e fasci di quadriche. Elementi degeneri di un fascio. Cenni sulle ipersuperfici quadriche proiettive e affini in n dimensioni. Sernesi, Geometria I, pp. gia' citate. Fortuna e al., Geometria proiettiva, pp. 20-27, 32-33, 35-43, 45-51, 59-60. Foglio 9 nella sezione Esercizi e Altro. Tredicesima settimana (29 mag - 30 mag - 1 giu) Punti semplici e punti singolari di curve algebriche affini. Molteplicita' di intersezione in un punto con una retta. Studio locale con lo sviluppo di Taylor di un polinomio rappresentante. Equazione della retta tangente in un punto semplice. Molteplicita' di un punto singolare, tangenti principali e loro equazione complessiva. Esempi e vari tipi di singolarita' (nodo, cuspide, punti isolati, ...). Studio all'infinito di una curva algebrica affine. Flessi. Quattordicesima settimana (5 giu) Seconda prova in itinere. |