Prima settimana (22 febbraio)
Introduzione al corso: l'algebra lineare e la geometria analitica. La dualita' nei poliedri regolari e nei politopi della geometria euclidea. Caratteristica di Eulero. Segnalazione del film "Dimensions" e dell'articolo di C. De Lellis (vedi sotto).
Link al film "Dimensions" (consigliate parti 1,2,3,4)
Link all'articolo di C. De Lellis su quarta dimensione, poliedri e politopi regolari.
Seconda settimana (26 feb* - 27 feb* - 1 mar)
La lezione di lunedi' 5 marzo non e' stata impartita in seguito alla sospensione dell'attivita' didattica disposta dal Rettore (giornata successiva alle elezioni politiche). Forme bilineari simmetriche e forme quadratiche associate. Identità di polarizzazione. Matrici associate a una forma bilineare in corrispondenza della scelta di una base e cambiamenti di base. Relazione di congruenza tra matrici. Il problema dell'esistenza di una base diagonalizzante. Vettori isotropi e non isotropi rispetto a una forma quadratica. Forme quadratiche non degeneri. Nucleo, indice di nullita' e rango di una forma quadratica. Teorema di diagonalizzazione per un campo base arbitrario. Diagonalizzazione di forme bilineari simmetriche e forme quadratiche sul campo complesso. Caso reale: enunciato del teorema di Sylvester, indici di positivita', di negativita' e di nullita'. Non diagonalizzabilita' delle forme bilineari non simmetriche.
Sernesi, Geometria I, pp. 212-217, 221-224. Foglio 1 nella sezione Esercizi e Altro.
Quarta settimana (12 mar - 13 mar - 15 mar)
Dimostrazione del teorema di Sylvester. Radicale e rango di una forma bilineare simmetrica. Forme degeneri e non degeneri. Determinazione degli indici in esempi. Prodotti scalari in spazi vettoriali reali, basi ortonormali. Al.gebra lineare in spazi vettoriali euclidei: disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, norma di un vettore e disuguaglianza triangolare. Ortonormalizzazione di Gram-Schmidt, complemento ortogonale di un sottospazio. Esempi: prodotto scalare canonico in R^n, prodotto scalare tra vettori geometrici nello spazio euclideo E^3, prodotto scalare L^2 sullo spazio dei polinomi di grado minore o uguale a 2. Prodotto vettoriale tra vettori geometrici nello spazio euclideo E^3 e prodotto vettoriale numerico in R^3. Significato geometrico di determinanti reali di ordine 2 e 3 come aree e volumi orientati. Operatori ortogonali e matrici ortogonali. Matrici ortogonali di ordine 2 e 3 e considerazioni sui loro autovalori. Operatori simmetrici e matrici simmetriche.
Sernesi, Geometria I, pp. 224-246, 262-266. Tutoraggio del mercoledi': consegna soluzioni del Foglio 1. Esercizi del Foglio 1bis (vedi Sezione "Esercizi e Altro") in aula.
Quinta settimana (19 mar - 20 mar - 22 mar)
Realta' degli autovalori degli operatori simmetrici, ortogonalita' tra gli autovettori associati ad autovalori distinti. Teorema spettrale reale. Diagonabilizzabilita' simultanea per congruenza e per similitudine delle matrici simmetriche reali. Esempi. Spazi vettoriali complessi e forme sesquilineari, prodotti scalari hermitiani, esempi. Operatori unitari e autoaggiunti, matrici rappresentanti in basi ortonormali. Matrici di Pauli. Matrici simmetriche e antisimmetriche reali e complesse. Matrici hermitiane e antihermitiane. Teoremi di diagonalizzazione. Riepilogo sulla diagonalizzazione di matrici, per similitudine e per congruenza. Soluzione di esercizi.
Sernesi, Geometria I, pp. 288-300. Tutoraggio del mercoledi': revisione esercizi del Foglio 1 in aula. Foglio 2 nella sezione Esercizi e Altro.
Sesta settimana (26 mar - 27 mar)
Dimostrazione della diagonalizzabilita' di operatori hermitiani e di operatori unitari. Matrici di Pauli. Teorema fondamentale della geometria affine. Definizione di spazio affine su uno spazio vettoriale. Esempi. Sottospazi affini di uno spazio affine e loro giacitura. Definizione di sottospazi affini paralleli. Riferimenti affini e coordinate affini associate ai punti. Rappresentazione analitica dei sottospazi affini in un riferimento affine: equazioni parametriche e equazioni cartesiane.
Sernesi, Geometria I, ancora pp. 291-300; pp. 93-99, Teorema 8.1 e def. 8.3 alle pp. 104-106. Tutoraggio del mercoledi': consegna soluzioni del Foglio 2. Esercizi del Foglio 2bis (vedi Sezione "Esercizi e Altro") in aula.
Settima settimana (5 apr)
Geometria in un piano affine: equazioni parametriche di una retta, vettori direttori e parametri direttori. Equazione cartesiana di una retta, condizione di parallelismo. Fasci di rette. Geometria nello spazio affine tridimensionale: equazioni parametriche di un piano. Equazione cartesiana, parallelismo tra due piani. Pianp per tre punti non allineati.
Sernesi, Geometria I, pp. 112-116, 121-123. Tutoraggio del mercoledi': revisione esercizi del Foglio 2 in aula. Foglio 3 nella sezione Esercizi e Altro.
Ottava settimana (9 apr - 10 apr - 11 apr - 12 apr)
Geometria nello spazio affine tridimensionale: equazioni parametriche di una retta dello spazio, vettori direttori e parametri direttori. Equazioni cartesiane di una retta e deduzione da esse dei parametri direttori. Condizioni di parallelismo tra due rette e tra una retta e un piano. Rette sghembe, e complanari. Fasci di piani, propri e impropri. Equazioni ridotte di una retta e parametri direttori ridotti. Incidenza tra due rette. Esempi e esercizi. Esercitazione scritta in aula.
Sernesi, Geometria I, pp. 123-131. Tutoraggio del mercoledi: Foglio 3 bis dell'esercitazione scritta in aula (vedi Sezione "Esercizi e Altro")
Nona settimana (16 apr - 17 apr)
Prima prova in itinere. Correzione in aula degli esercizi.
Decima settimana (23 apr - 24 apr - 26 apr)
Definizione di spazio euclideo come spazio affine su uno spazio vettoriale reale euclideo. Distanza tra due punti e proprieta' della distanza. Geometria analitica nel piano euclideo: significato geometrico dei coefficienti dell'equazione cartesiana di una retta, perpendicolarità tra due rette, distanza punto-retta e tra due rette parallele. Geometria analitica nello spazio euclideo tridimensionale: significato geometrico dei coefficienti dell'equazione cartesiana di un piano, perpendicolarita' tra due piani, tra due rette e tra retta e piano. Distanze punto-piano, punto-retta, tra due piani paralleli, tra due rette parallele er tra due rette sghembe. Affinita' negli spazi affini e loro equazioni. Casi particolari: traslazioni, omotetie. Il gruppo delle affinita'. Isometrie negli spazi euclidei e loro equazioni. Rotazioni e riflessioni. Il gruppo delle isometrie. Cambiamenti di riferimento affini in spazi affini e cambiamento di riferimento cartesiani in spazi euclidei. Rispettive formule di cambiamento per le coordinate di punto.
Sernesi, Geometria I, pp. 246-255, 193-207, 159-163, 266-275.
Undicesima settimana (3 mag)
Definizione di spazio proiettivo associato a uno spazio vettoriale. Spazio proiettivo numerico. Riferimenti proiettivi in uno spazio proiettivo e coordinate proiettive omogenee. Richiami sulle definizioni di spazio affine e riferimento affine, spazi affini ampliati, formule di passaggio da coordinate affini a coordinate proiettive omogeneee e viceversa. Riferimento proiettivo associato a un riferimento affine.
Sernesi, Geometria I, pp. 301-307, 315-318. Fortuna e al., Geometria proiettiva, pp. 1-2, 6-7, 10-11. Tutoraggio del mercoledi': Consegna soluzioni del Foglio 4 e esercitazione in aula su Foglio 4bis (vedi sezione "Esercizi e Altro")
Dodicesima settimana (7 mag - 8 mag - 10 mag)
Sottospazi proiettivi. Loro rappresentazione analitica con equazioni parametriche e equazioni cartesiane. Caso delle rette nel piano, e delle rette e piani nello spazio proiettivo tridimensionale. Formula di Grassmann proiettiva. Esempi e esercizi.
Sernesi, Geometria I, pp. 301-308, 315-318. Fortuna e al., Geometria proiettiva, p. 8-9. Tutoraggio del mercoledi': Soluzione esercizi del Foglio 4.
Tredicesima settimana (14 mag - 15 mag - 17 mag)
Proiettivita' e loro formule analitiche. Punti fissi di proiettivita' (in esercizi). Teorema fondamentale sulle proiettivita'. Confronto tra proiettivita' e affinita' negli spazi affini ampliati. Cambiamenti di riferimento proiettivo. Dualita' negli spazi proiettivi, in particolare in P^2 e in P^3. Esempi ed esercizi. Introduzione alle curve algebriche piane: esempi significativi.Definizione di curva algebrica piana affine e priettiva. Grado e supporto. Significato geometrico del grado nel piano proiettivo complesso: il grado e' il numero dei punti di intersezione, contati con opportuna molteplicita', della curva con una retta che non ne sia componente.
Sernesi, Geometria I, pp. 331-342, Fortuna e al., Geometria proiettiva, p. 3-5, 13-15. Tutoraggio del mercoledi': Consegna soluzioni del Foglio 5 e esercitazione in aula su Foglio 5bis (vedi sezione "Esercizi e Altri).
Quattordicesima settimana (21 mag - 22 mag -24 mag)
Coniche proiettive. Loro rappresentazione con punti nello spazio proiettivo rappresentativo P^5. Matrice associata a una conica e suo rango. Coniche generali, semplicemente degeneri e doppiamente degeneri. Riduzione alle equazioni canoniche: i tre tipi di coniche proiettive complesse e i cinque tipi reali.
Sernesi, Geometria I, pp. 373-376. Tutoraggio del mercoledi': Soluzione esercizi del Foglio 5
Quindicesima settimana (28 mag - 29 mag - 31 mag)
Coniche affini complesse e reali, coniche euclidee. Relativi teoremi di riduzione a forma canonica. Coniche a centro, parabole. Ellissi e iperboli. Determinazione dei parametri euclidei usando i tre semi-invarianti lineare, quadratico e cubico. E sempi e esercizi. Quadriche negli spazi tridimensionali: classificazione proiettiva, affine e euclidea. Forme canoniche. Esame della geometria degli ellessoidi, iperboloidi ellittici e iperbolici, paraboloidi ellettici e iperbolici nella spazio euclideo tridimensionale.
Sernesi, Geometria I, pp. 377-398. Tutoraggio del mercoledi': Consegna soluzioni del Foglio 6 e esercitazione in aula su Foglio 6bis (vedi sezione "Esercizi e Altro")
M. Bramanti, Appunti sulle Coniche (si veda in particolare l'uso dei semi-invarianti metrici)
Sedicesima settimana (4 giu - 5 giu - 7 giu)
Punti semplici e singlolari per una curva algebrica affine. Formula di Taylor in due variabili e applicazione allo studio locale delle curve algebriche: molteplicita' di un punto di una curva algebrica come minimo della molteplicita' di intersezione nel punto con una retta da esso uscente. Equazione della retta tangente ad una curva in un suo punto semplice. Tangenti principali in un punto singolare e loro equazione complessiva. Nodi, cuspidi, esempi ed esercizi. Seconda prova in itinere.
Sernesi, Geometria I, pp. 408-416.