Geometria II
Prima e seconda settimana (24 feb - 26 feb - 27 feb - 3 marzo) Introduzione dei problemi realtivi allo studio della Topologia e della Geometria Differenziale. Stessa cardinalita' tra R e R^n, il problema dell'invarianza della dimensione in topologia e in geometria differenziale. Proprieta' delle operazioni tra insiemi: unione, intersezione, complementare. Loro buon comportamento rispetto alle controimmagini di un'applicazione tra insiemi. Meno buon comportamento rispetto alle immagini. Richiami su distanze in un insieme e definizione di spazio metrico, proprieta', esempi. Dischi aperti in uno spazio metrico e topologia indotta. Applicazioni continue tra spazi metrici. Definizione di una topologia su un insieme e di spazio topologico, esempi di spazi topologici. Definizioni alternative per una topologia. Definizione tramite i chiusi, una base, gli intorni dei punti, una base degli intorni dei punti. Proprieta' caratteristiche dei chiusi, degli intorni dei punti, di una base di aperti, di una base degli intorni dei punti. Esempi. La topologia di Zariski su spazi affini su un campo K (per dettagli su cio' si veda la pagina web del Prof. Bravi). Lezioni successive della seconda settimana (5 mar - 6 mar), non impartite a causa della sospensione della didattica per emergenza sanitaria. 5 marzo: Guardate la seguente lezione registrata, Lezione n. 1 del Corso di Topologia del Prof. B. Zimmermann all'International Center for Theoretical Physics (ICTP) di Trieste. La lezione e' in inglese, ma il Prof. Zimmermann lo parla con accento tedesco, molto comprensibile. Lezione n.1 5 marzo, commenti alla lezione n. 1 del Prof. Zimmermann. Vengono date le definizioni di topologia su un insieme e di spazio topologico. Poi le relazioni di maggiore o minore finezza tra due topologie su uno stesso insieme. Esempi: topologia banale, topologia discreta, topologia cofinita ('finite complement topology') su un insieme arbitrario (su R la topologia cofinita coincide con la topologia di Zariski della retta affine R). Basi di una topologia, proprieta' caratteristiche delle basi. Esempio: topologia 'standard' (o euclidea) su R: una base e' data dagli intervalli aperti (a,b). Altro esempio: 'the lower limit topology' su R, una cui base e' data dagli intervalli [a,b); essa e' strettamente piu' fine della topologia euclidea. R con la topologia 'lower limit' e' chiamata retta di Sorgenfrey. 6 marzo: Guardate la seguente lezione registrata, Lezione n.2 del Corso di Topologia del Prof. B. Zimmermann all'ICTP di Trieste. Lezione n.2 6 marzo, commenti alla lezione n. 2 del Prof. Zimmermann. Viene inizialmente data la nozione di sottobase per una topologia. Viene poi descritta la 'order topology' su un insieme totalmente ordinato X, di cui una base e' fornita dagli 'intervalli' (x,y), associati alla relazione d'ordine sull'insieme. Su R la 'order topology' e' chiaramente la topologia standard (o euclidea). Sul piano R^2 e' possibile definire la relazione d'ordine da dizionario: se (a,b), (c,d) sono in R^2, risulta (a,b) < (c,d) se risulta a < c oppure a = c e b < d. E' interessante la descrizione degli 'intervalli' in tale R^2 ordinato e dunque la descrizione degli aperti della relativa 'order topology', ben illustrata nel video. Si parla poi di topologia prodotto, sul prodotto cartesiano di due spazi topologici. Osservato che la 'order topology' sull'R^2 lessicografico e' strettamente piu' fine della topologia standard (o euclidea) di R^2, si riconosce che la 'order topology' di R^2 e' il prodotto di R con la topologia discreta con R stesso ma con la topologia standard. Si parla poi di sottospazi topologici. Quindi si parla di chiusi di uno spazio topologico e delle loro proprieta' caratteristiche. Si passa poi a definire, per un sottoinsieme S di uno spazio topologico X la parte interna e la chiusura, risp. il piu' grande aperto contenuto e il piu' piccolo chiuso contenente. Per caratterizzare i punti della chiusura, si usano gli intorni ('neighborhoods') di tali punti, e a questo riguardo di badi che nelle lezioni del video gli intorni sono per definizione gli intorni aperti del libro di Sernesi e delle nostre prime lezioni. Si da' infine la nozione di punto di accumulazione ('limit point') di un sottoinsieme. 6 marzo, AVVISO. Nella prossima settimana pubblicheremo, oltre ai link delle lezioni 3 e 4 del Prof. Zimmermann (con i consueti commenti), anche un primo foglio di esercizi, che si riferiranno agli argomenti delle nostre prime lezioni nonche' alle prime 4 lezioni del Prof. Zimmermann. Cercate dunque di guardare i video con regolarita' e di leggere poi i commenti su questa pagina! Riferimenti per le prime due settimane: Sernesi, Geometria II: pp. 3-41. c Manetti, Topologia: pp. 1-33, pp. 41-63. Terza settimana (10 mar - 12 mar - 13 mar) 10 marzo: Guardate la seguente lezione registrata, Lezione n. 3 del Corso di Topologia del Prof. B. Zimmermann all'ICTP di Trieste. Lezione n.3 10 marzo, commenti alla lezione n. 3 del Prof. Zimmermann. Viene data la definizione di spazio di Hausdoff (assioma di separazione T_2) e di spazio T_1. Vengono caratterizzati questi ultimi come gli spazi topologici in cui ogni punto e' un chiuso. Esempi: gli spazi metrici sono T_2, la topologia di Zariski e' T_1 ma non T_2. Applicazioni continue tra spazi topologici; definizione di continuita' in un punto usando gli intorni. Equivalenza delle definizioni. Omeomorfismi; esempi: R euclideo e (a,b) sono omeomorfi. Non esistenza di un omeomorfismo tra R euclideo e R di Sorgenfrey. Spazi primo numerabili e secondo numerabili. Caratterizzazione delle applicazioni continue usando la nozione di chiusura di un sottoinsieme. Applicazioni aperte e applicazioni chiuse. Prodotti infiniti di spazi topologici, topologia prodotto definita mediante una sottobase. 12 marzo: Guardate la seguente lezione registrata, Lezione n. 4 del Corso di Topologia del Prof. B. Zimmermann all'ICTP di Trieste. Lezione n.4 12 marzo, commenti alla lezione n. 4 del Prof. Zimmermann. Applicazioni f a valori in uno spazio con topologia prodotto. Equivalenza della continuita' di f con la continuita' delle sue funzioni componenti, a valori negli spazi fattori. Esempio di insieme prodotto cartesiano infinito: prodotto di un infinita' numerabile di copie di R o di un suo intervallo (a,b), e sua identificazione con l'insieme delle successioni in R o in (a,b). Confronto in esso tra topologia prodotto e box topology. Esempio di non validita' dell'equivalenza tra continuita' di una f e delle sua componenti quando nel prodotto si assegni la box topology. Definizioni di spazio metrico. Dischi aperti, qui chiamati 'open balls' e denotat con B(x,r), a differenza della notazione di Sernesi D_r(x). Lemma fondamentale sui dischi: ogni punto di un disco aperto e' centro di un altro disco in esso contenuto. Topologia indotta e spazi topologici metrizzabili. Esempi, in particolare confronto tra distanze in R^n. Proprietà di Hausdoff degli spazi metrizzabili. Distanza indotta sul prodotto di infinite copie di R: distanza euclidea 'tagliata a 1' e metrica uniforme data dal sup sul prodotto. Coincidenza della topologia uniforme con la topologia prodotto nel caso di R^n, e sua maggiore finezza per il prodotto di infinite copie di R. Minore finezza della topologia uniforme rispetto alla box topology. Metrizzabilita' della topologia prodotto su un infinita' numerabile di copie di R. Non metrizzabilita' della topologia prodotto e della box topology su un'infinita' non numerabile di copie di R Quarta settimana (17 mar - 19 mar - 20 mar) In questa settimana vorrei fermarmi sulle nozioni fin qui introdotte, e pertanto vi proporrò due video, n. 3 e n. 4 di un corso, sempre all'ICTP e sempre del Prof. Zimmermann, ma di alcuni anni fa (a.a.2013-14). 17 marzo. Guardate la lezione n.3 (diversa dalla precedente lezione n. 3) tenuta dal Prof. Zimmermann all'ICTP nell'a.a. 2013-14. Lezione n.3, a.a. 2013-14. 17 marzo. In essa si parla ancora di di sottospazi topologici, con vari esempi, di parte interna e chiusura di un sottoinsieme, di punti di accumulazione (chiamati nel video limit points), di spazi di Hausdorff e spazi T_1. Si raccomanda di confrontare gli argomenti trattati in questo video con quelli contenuti nei miei due files 'Topologia su R.pdf' e 'Applicazioni continue.pdf', che vi ho trasmesso con i precedenti post. 19 marzo. Guardate la lezione n.4 (diversa dalla precedente lezione n. 4) tenuta dal Prof. Zimmermann all'ICTP nell'a.a. 2013-14. Lezione n.4, a.a. 2013-14. 19 marzo. Nel video proposto oggi si parla ancora di spazi di Hausdoff e di spazi T_1, esaminando con qualche dettaglio il controesempio della topologia cofinita. Si parla poi di successioni in spazi topologici e della nozione di loro convergenza. Si mostra l'unicità del limite di una successione in uno spazio di Hausdorff. Si dà poi la caratterizzazione delle applicazioni continue usando la nozione di intorno di un punto. Quindi omeomorfismi e uso delle proprietà di numerabilità per riconoscere la non esistenza di un omeomorfismo tra la retta euclidea e da retta di Sorgenfrey ('lower limit topology'). Il video riprende dunque argomenti già trattati, ed è utile il confronto con il contenuto dei miei due files 'Topologia su R.pdf' e "Applicazioni continue.pdf'. Riferimenti per le prime quattro settimane Sernesi: pp. 1-72, pp. 88-90. Manetti: pp. 1-65. Slides 'Topologie su R.pdf', 'Applicazioni continue.pdf', 'Sottospazi.pdf', 'Prodotti.pdf' (vedi sezione 'Didattica a distanza e Altro', oppure piattaforma Classroom). Quinta settimana (24 mar - 26 mar - 27 mar) 24 marzo. Guardate la lezione n. 5 (solo la seconda parte, a partire dal minuto 45 fino alla fine) tenuta dal Prof. Zimmermann all'ICTP: Lezione n. 5. 24 marzo. Sconnessione ('separation') di uno spazio topologico. Spazi connessi. sottospazi connessi. L'unione di una famiglia di sottospazi connessi con un punto in comune è connessa. Connessione della chiusura di un sottoinsieme connesso. Connessione dell'immagine continua di uno spazio connesso. Invarianza della proprietà di connessione per omeomorfismi. Sconnessione della retta di Sorgenfrey e conseguente non esistenza di un omeomorfismo con la retta euclidea. Topologia indotta su un sottospazio come la topologia meno fine che renda continua l'inclusione. Simile proprietà per la topologia prodotto rispetto alla continuità delle proiezioni sui fattori (cfr. miei files 'Sottospazi.pdf' e 'Prodotti.pdf'). Definizione di spazio 'linear continuum': si tratta di una generalizzazione degli intervalli sulla retta euclidea, a spazi ordinati con la 'order topology'. Di questi e della loro proprietà di connessione si parlera' nel video lezione n. 6 (da vedere giovedì 26 marzo). Riferimenti: Sernesi, Cap. 3, par. 11 (pp. 125-128); Manetti, Cap. 4, par. 4.1 (pp. 67-70). 26 marzo. Guardate la lezione n. 6 tenuta dal Prof. Zimmermann all'ICTP: Lezione n.6. 26 marzo. Proprietà di connessione di uno spazio 'linear continuum', in particolare degli intervalli sulla retta euclidea. Teorema del valore intermedio. Esempio, il 'quadrato ordinato', con l'ordinamento lessicografico; determinazione del sup di un suo sottoinsieme. Connessione per archi ('path connectness'). Uno spazio connesso per archi e' connesso. Connessione per archi di un prodotto di spazi connessi per archi. Il quadrato ordinato è connesso, ma non connesso per archi (bella dimostrazione!). Non esistenza di un omeomorfismo da R a R^n, n>1. Componenti connesse e componenti connesse per archi in uno spazio topologico. Ancora l'esempio del quadrato ordinato. Spazi localmente connessi e localmente connessi per archi. Riferimenti: Sernesi, Cap. 3, par. 11 (pp. 125-141); Manetti, Cap. 4, par. 4.1, 4.2 (pp. 67-75). Sesta settimana (31 mar - 2 apr - 3 apr) 31 marzo. Guardate la lezione n. 7 tenuta dal Prof. Zimmermann all'ICTP: Lezione n. 7. 31 marzo. Esame di due esempi relativi alle proprietà di connessione. Il primo esempio e' ancora il quadrato ordinato; si segnalano le sue componenti connesse per archi e la non locale connessione per archi in tutti i suoi punti. Il secondo esempio e' il grafico delle funzione y=sin(1/x), connesso per archi ma con chiusura in R^2 non connessa per archi. La chiusura non e' neanche localmente connessa, ne' localmente connessa per archi. Nozioni di ricoprimento aperto di uno spazio topologico, di sottoricoprimento, e di spazio topologico compatto. Come esempio si evidenzia la non compattezza dell'insieme dei punti {1/n} in R, ma la compattezza della sua chiusura. Si dimostra poi la compattezza di un chiuso in uno spazio compatto e la chiusura di un compatto in uno spazio di Hausdorff. Si mostra poi la compattezza dell'immagine continua di un compatto. Infine il teorema di Tychonoff per due fattori: il prodotto di due spazi compatti è compatto. Riferimenti: Sernesi, Cap. 3, ancora par. 11-12 (pp. 125-141), par. 9 (pp. 101, 106-107); Manetti, Cap. 4, ancora par. 4.1, 4.2 (pp. 67-75), par. 4.3, 4.4 (pp. 76-83). 2 aprile. Guardate la lezione n. 8 tenuta dal Prof. Zimmermann all'ICTP: Lezione n.8. 2 aprile. Compattezza degli intervalli [a,b] di R. Formulazione più generale per spazi ordinati con la order topology. Compattezza del quadrato ordinato; sua prima (ma non seconda) numerabilità, sua non metrizzabilità. Compattezza dell'immagine continua di un compatto. Teorema di Weierstrass: un'applicazione continua da un X compatto a un Y ordinato ammette massimo e minimo. Teorema di Heine-Borel: caratterizzazione dei compatti di R^n come i chiusi e limitati. Definizione di X compatto per punti di accumulazzione (limit points): se ogni sottoinsieme infinito ammette un punto di accumulazione. Definizione di X compatto per successioni: se ogni successione ammette una sottosuccessione convergente. Teorema di Bolzano-Weierstrass: X compatto implica X compatto per punti di accumulazione. Equivalenza di X compatto con X compatto per punti di accumulazione e di X compatto per successioni quando X è uno spazio metrico. Esistenza di un numero di Lebesgue per un ricoprimento aperto di uno spazio metrico compatto. Riferimenti: Sernesi, Cap. 3, par. 9 (pp. 101-109), par. 10 (117-120); Manetti, Cap. 4, ancora par. 4.1, 4.2 (pp. 67-75), par. 4.3, 4.4 (pp. 76-83); Cap.6, par. 6.2 (118-12). Settima settimana (7 apr) 7 aprile. Topologia immagine diretta e topologia quoziente. Insiemi saturi e aperti saturi rispetto a un quoziente. Esempi di quozienti: Sfere, spazi proiettivi reali e complessi, tori. Una breve introduzione alla 'quotient map' e' ai minuti da 23 a 29 del video n. 8 a.a. 2013-14 del Prof. Zimmermann Lezione n. 8 a.a.2013-14 (solo 6 minuti, diverso dal precedente video n.8). Per rivedere le nozioni relative alla compattezza segnalo invece, sempre dell'a. a. 2013-14, il video n. 10 (dal minuto 35 alla fine) Lezione n. 10 a.a.2013-14 (dal minuto 35 alla fine) e anche il video n. 11 (tutto): Lezione n. 11 a.a.2013-14 Riferimenti per le prime sette settimane Sernesi: pp. 1-90, pp. 99-114, pp. 125-141. Manetti: pp. 1-33, pp. 41-90, pp. 93-98, pp. 101-103, p. 113, pp. 147-148, pp. 151-153. Miei files:'Topologie su R.pdf', 'Applicazioni continue.pdf', 'Sottospazi.pdf', 'Prodotti.pdf', 'Hausdorff.pdf', 'Connessione.pdf', 'Compattezza.pdf', 'Quozienti.pdf' (cfr. sezione Didattica a distanza). Ottava settimana (16 apr - 17 apr) Lezioni impartite dal Prof. Bravi. Nona settimana (21 apr - 23 apr -24 apr) Stiamo ora per passare dalla topologia alla geometria differenziale. Da giovedi' proporro' i video di un corso di lezioni, tenute sempre all'ICTP di Trieste e sempre nello scorso semestre. Il titolo del corso e' Differential Geometry e il docente e' il Prof. Claudio Arezzo. Potete intanto vedere l'indice degli argomenti, tenendo conto che useremo solo la prima parte: Indice degli argomenti Vi consiglio ora di studiare il file 'Quozienti.pdf', che trovate nella sezione Didattica a distaznza. Il file e' molto utile per gli esercizi del Foglio 5, e per la relativa consegna, richiesta entro il 30 aprile. Il file contiene anche (nelle ultime slides) una brevissima introduzione alle idee di rivestimento topologico e di gruppo fondamentale. Per queste nozioni, nelle stesse mie slides sui quozienti topologici, ho incluso il consiglio di riprendere in mano e rivedere alcune definizioni (insieme semplicemente connesso, omotopia tra curve) contenute negli Appunti di Analisi Matematica II di A. Garroni e A. Malusa: in particolare del Fascicolo VII le Definizioni VII 2.22, VII.2.23 e VII.2.26. Per prepararsi ai primi argomenti di geometria differenziale (che proporro' a partire da giovedì prossimo con il primo video del Prof. Arezzo) e' invece utile rileggere, negli stessi Appunti di Analisi Matematica II di A. Garroni e A. Malusa, il Fascicolo I su 'Curve in R^n', che contiene tra l'altro anche un'utile discussione della nozione di sottoinsieme connesso per archi dello spazio euclideo R^n. Iniziamo dunque a vedere il corso di Geometria Differenziale del prof. Arezzo all'ICTP di Trieste con la prima lezione: Lezione n. 1 Prof. Arezzo. Commento alla lezione n.1 del Prof. Arezzo. Gli argomenti trattati (in parte già noti dal corso di Analisi II) sono i seguenti. Curve differenziabili (parametrizzate) in R^3, vettore tangente, possibili autointersezioni e angoli. Esempi: re$ i) assumere un contesto di classe C^\infty anziché di classe Cˆ1, ii) considerare curve in R^3 anziché in R^n. Decima settimana (28 apr - 30 apr) Video lezione n.2 del Corso di Geometria Differenziale del Prof. C. Arezzo all'ICTP di Trieste: Lezione n. 2 Prof. Arezzo. Commento alla lezione n.2 del Prof. Arezzo. Rettificabilità delle curve regolari. Esempi di parametrizzazioni mediante ascissa curvilinea: elica circolare, spirali logaritmiche. Versore tangente, curvatura, versore normale principale di una curva di R^3. Versore binormale, torsione. Triedro mobile e formule di Frenet. Calcoli per le eliche circolari. Caratterizzazione delle curve piane come curve a torsione identicamente nulla. Teorema fondamentale della teoria locale (detto anche teorema di rigidità) per le curve di R^3. Riferimenti per la nona e decima settimana Abate - Tovena, Curve e Superfici, ed. Springer: Capitolo 1, paragrafi 1.1,1.2,1.3 (da pagina 1 a pagina 27 inclusa). Sernesi, Geometria II: Capitolo 6, paragrafi 30, 31,32 (da pagina 251 a pagina 274). Undicesima settimana (5 mag - 7 mag - 8 mag) Video lezione n.3 del Corso di Geometria Differenziale del Prof. C. Arezzo all'ICTP di Trieste: Lezione n. 3 Prof. Arezzo. Commento alla lezione n.3 del Prof. Arezzo. Superfici regolari di R^3, parametrizzazioni locali e coordinate locali, differenziale della parametrizzazione, curve sulla superficie. Superfici grafico di funzioni, superfici rappresentate da un'equazione cartesiana, teorema delle funzioni implicite. Esempi: sfera e suoi grafici locali; toro di rotazione e sua equazione cartesiana. Riferimenti: Garroni - Malusa, Appunti di Analisi II; Fascicolo IV (Calcolo differenziale per funzioni a valori vettoriali), da pag. 17 a pag. 22 (in particolare Esempi 8,9,10); Fascicolo IX, per ora solo pp. 1-2. Abate - Tovena, Curve e Superfici, ed. Springer: Capitolo 3, paragrafo 3.1 (da pagina 117 a pagina 132). Sernesi, Geometria II (con un approccio più generale): Capitolo 5, paragrafo 19 (da pagina 173 a pagina 180). Video lezione n.4 del Corso di Geometria Differenziale del Prof. C. Arezzo all'ICTP di Trieste: Lezione n. 4 Prof. Arezzo. Commento alla lezione n.4 del Prof. Arezzo. Funzioni C^\infty su superfici differenziabili e tra superfici differenziabili, esempi. Vettori tangenti a curve sulla superficie, piano tangente e sua equazione cartesiana. Differenziale di un'applicazione differenziabile f: S --> R^k. Riferimenti: Garroni - Malusa, Appunti di Analisi II; Fascicolo IV (Calcolo differenziale per funzioni a valori vettoriali), da pag. 23 a pag. 29; Fascicolo IX, pp. 3-6. Abate - Tovena, Curve e Superfici, ed. Springer: Capitolo 3, paragrafi 3.2 e 3.3 (da pagina 132 a pagina 138). Sernesi, Geometria II (con un approccio più generale): Capitolo 5, paragrafi 21 e 22 (da pagina 180 a pagina 195). Dodicesima settimana (12 mag - 14 mag - 15 mag) Video lezione n. 5 del Corso di Geometria Differenziale del Prof. C. Arezzo all'ICTP di Trieste: Lezione n. 5 Prof. Arezzo. Commento alla lezione n. 5 del Prof. Arezzo. Campi normali a una superficie regolare di R^3, versore normale, orientabilità. Gradiente di una funzione f(x,y,z) e versore normale alla superficie rappresentata. Applicazione di Gauss di una superficie e suo differenziale dN_p; sua proprietà di operatore autoaggiunto. Invarianti: curvature principali, media, gaussiana. Seconda forma fondamentale. Esempi. Incontro con Meet: introduzione alla teoria della curvatura delle superfici di R^3. Riferimenti: Abate - Tovena, Curve e Superfici, ed. Springer: Capitolo 4, introduzione, paragrafi 4.1, 4.3, 4.4 (pp. 165-173, pp. 178-191). Sernesi, Geometria II (con un approccio più generale): Capitolo 5, paragrafi 33, 34 (pp. 275 - 292). Tredicesima settimana (19 mag - 21 mag - 22 mag) Video lezione n. 6 del Corso di Geometria Differenziale del Prof. C. Arezzo all'ICTP di Trieste: Lezione n. 6 Prof. Arezzo. Commento alla lezione n. 6 del Prof. Arezzo. Esempio del cilindro: calcolo seconda forma fondamentale e curvature. Significato geometrico della seconda forma fondamentale, curvatura normale. Punti ellittici, iperbolici, parabolici, planari, ombelicali. Caratterizzazione delle superfici totalmente ombelicali come pezzi di piano o di sfera. Ricette di calcolo per le curvature. Formulario per le curvature H,K, k_1,k_2 a partire da una parametrizzazione della superficie e attraverso i coefficienti E,F,G,e,f,g delle due forme fondamentali. Video lezione n. 7 del Corso di Geometria Differenziale del Prof. C. Arezzo all'ICTP di Trieste: Lezione n. 7 Prof. Arezzo. Commento alla lezione n. 7 del Prof. Arezzo. La prima meta' della lezione e' dedicata al calcolo delle curvature di due esempi interessanti: il paraboloide ellittico e l'elicoide. Quest'ultima superficie e' qui rappresentata con uno dei due parametri (v) che appare linearmente; e' opportuno a questo riguardo un confronto con la rappresentazione dell'elicoide stesso presente nel mio file Curvatura di superfici - Definizioni e formule di calcolo. Si parla poi di hessiano di una funzione definita su una superficie, forma quadratica sui piani tangenti. Viene descritto l'esempio della funzione altezza su una superficie, e la sua relazione con la seconda forma fondamentale, fornendo una descrizione visiva della curvatura gaussiana. Riferimenti: Abate - Tovena, Curve e Superfici, ed. Springer: Capitolo 4, introduzione, paragrafi 4.4 e 4.5 (pp. 183-199). Sernesi, Geometria II: Capitolo 5, paragrafi 34 e 35 (pp. 288 - 308). Quattodicesima settimana (26 mag - 28 mag - 29 mag) Video lezione n. 8 del Corso di Geometria Differenziale del Prof. C. Arezzo all'ICTP di Trieste: Lezione n. 8 Prof. Arezzo Prof. Arezzo. Commento alla lezione n. 8 del Prof. Arezzo. Questa lezione tratta argomenti facoltativi ai fini dell'esame. Gli argomenti sono tuttavia molto interessanti e, come al solito, sono qui brevemente descritti. Ancora sull'interpretazione visiva della curvatura gaussiana: la seconda forma fondamentale come hessiana sul piano tangente della funzione altezza. Esempio di curvatura gaussiana piu' che nulla: il punto planare della sella di scimmia. Hessiana della funzione f distanza al quadrato dei punti p di una superficie S da un punto p_0 fissato in R^3: p e' punto critico per f se e solo se p_0 e' sulla retta normale a S per il punto p. Calcolo dell'hessiana di tale funzione f di distanza al quadrato e corollari della formula ottenuta: i) Non esiste una superficie compatta a punti tutti iperbolici; ii) se S e' compatta, essa ammette un punto ellittico. Teorema di Hilbert: Sia S orientata e sia p un suo punto ellittico tale che le curvature principali k_1 e k_2 abbiano in p risp. un minimo locale e un massimo locale. Allora k_1 (p)=k_2 (p). Video lezione n. 9 (parte prima e seconda) del Corso di Geometria Differenziale del Prof. C. Arezzo all'ICTP di Trieste: Lezione n. 9, parte prima (durata circa 1 ora) Prof. Arezzo Lezione n. 9, parte seconda (durata circa 30 minuti) Prof. Arezzo Commento alla lezione n. 9 del Prof. Arezzo. Questa lezione n. 9 (in due parti) è indipendente dalla precedente lezione n. 8, che avevo segnalato essere facoltativa ai fini dell'esame. Viene inizialmente ricordato l'enunciato del Teorema di Hilbert (dimostrazione nella precedente lezione, dunque facoltativa). Ne vengono dedotti i seguenti due corollari. Corollario 1 (Jellet-Liebmann): la sola superficie S di R^3 compatta, connessa, con curvatura media H costante e gaussiana K>0 e' la sfera. Corollario 2 (Hilbert-Liebmann): la sola S di R^3 compatta, connessa, con K costante e' la sfera. Viene poi data la definizione di isometria tra due superfici S_1 e S_2 di R^3, sia utilizzando la lunghezza della curve che le prime forme fondamentali su S_1 e S_2. Vengono descritte le isometrie locali tra piano e cilindro e tra piano e cono. Riferimenti: Per la lezione n. 8 Abate - Tovena, Curve e Superfici, ed. Springer: Problema 6.1 e Proposizione 7.1.1 (p. 334 e pp. 348-349, rispettivamente). Per la lezione n. 9 Sernesi, Geometria II, Boringhieri, par. 33 (pp. 275-288); Abate - Tovena, Curve e superfici, ed. Springer, par. 7.1 (pp. 348-351) e par. 4.1 (pp. 169-173). Quindicesima e sedicesima settimana (4 giu - 9 giu) Video lezione n. 10 (parte prima e seconda) del Corso di Geometria Differenziale del Prof. C. Arezzo all'ICTP di Trieste: Lezione n. 10, parte prima (durata circa 55 minuti) Prof. Arezzo Lezione n. 10, parte seconda (durata circa 55 minuti) Prof. Arezzo Commento alla lezione n. 10 (in due parti) del Prof. Arezzo. Questa lezione riprende l'idea intuitiva di curvatura gaussiana come limite di aree, deducendola dalla sua definizione come determinante dell'operatore di Weingarten. Si tratta poi della rappresentazione parametrica di una superficie regolare con parametri conformi (E=G, F=0) e con parametri che conservano l'area (EG-F^2 =1). Per il secondo caso, viene trattato l'esempio del cilindro circoscritto a una sfera (teorema e tomba di Archimede): la proiezione radiale orizzontale dalle superficie sferica alla superficie laterale del cilindro circoscritto conserva l'area. La lezione continua enunciando e dimostrando il teorema egregium di Gauss: esiste una formula che esprime la curvatura gaussiana in funzione dei coefficienti E,F,G della prima forma fondamentale e delle loro derivate prime e seconde. La curvatura gaussiana e' dunque 'intrinseca', al pari delle lunghezze e aree sulla superficie, e risulta essere una 'misura' sulla superficie. Per le prospettive che apre, questo teorema e' tra i piu' significativi della storia della matematica. La sua dimostrazione, un calcolo non breve ma certo facile, lascia oscure le ragioni del perche' il calcolo conduce a tale risultato, che Gauss stesso definì 'egregium'. L'approfondimento, in particolare in dimensione più alta, degli aspetti intrinseci della curvatura e' parte centrale della geometria riemanniana. Fu infatti Riemann, a partire dalla sua famosa lezione di abilitazione del 1854, a raccogliere la grande eredita' del teorema egregium, ma la storia continua nel XX secolo con notevolissime applicazioni della teoria intrinseca della curvatura in fisica teorica (p. es. nella teoria della relatività generale) e con gli sviluppi della geometria riemanniana. Solo a scopo informativo, segnalo che il Prof. Arezzo riprendera' questo argomento al termine del suo corso, precisamente nella seconda meta' dell'ultima sua lezione, la n. 20. Riferimenti: Per la lezione n. 10 parte prima: Abate - Tovena, Curve e Superfici, ed. Springer: Osservazione 4.5.6 (pp. 193-194) e Definizioni 4.E.1 e 4.E.2 (pp. 227-228). Per la lezione n. 10 parte seconda: Abate - Tovena, Curve e superfici, ed. Springer: Paragrafo 4.6 (pp. 199-205). Si veda anche Sernesi, Geometria II, par. 37 (pp. 313-318), che tuttavia usa nozioni che ne' il Prof. Arezzo ne' io (nelle mie slides) abbiamo introdotto. Si vedano infine gli ultimi due miei files nella sezione 'Didattica a distanza'. |