Laurea in Matematica, 2018/2019

Geometria 1 (canale 1)

Paolo Bravi

Quinto appello: testi degli esercizi.

Quarto appello: testi degli esercizi.

Terzo appello: testi degli esercizi.

Secondo appello: testi degli esercizi.

Primo appello: testi degli esercizi, soluzioni.

Esercizi da consegnare: foglio 1, foglio 2, foglio 3, foglio 4.

Esercizi: foglio 1, foglio 2, foglio 3, foglio 4, foglio 5, foglio 6.

Esonero: testi degli esercizi.

Testo di riferimento principale: Sernesi, Geometria 1, Bollati Boringhieri.


Diario delle lezioni:

25/02/19: Richiami sui sottospazi vettoriali di K^n (K campo qualsiasi): un sottoinsieme di K^n è un sottospazio vettoriale (di codimensione m) se e solo se è lo spazio delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo (formato da m equazioni linearmente indipendenti, in n incognite e a coefficienti in K).

26/02/19: Sottospazi affini di K^n: definizione, giacitura, dimensione, parallelismo, un sottoinsieme di K^n è un sottospazio affine se e solo se è lo spazio delle soluzioni di un sistema lineare (in n incognite). Equazioni cartesiane ed equazioni parametriche. Punti in posizione generale. Posizione reciproca di due rette in R^3.

28/02/19: Esempi di sottoinsiemi convessi in R^n: semirette, segmenti, punto medio di un segmento, semispazi, triangoli, simplessi, parallelogrammi, iperparallelepipedi.

04/03/19: Esercizi.

05/03/19: Formula di Grassmann affine. Definizione generale di spazio affine. Sistemi di riferimento affini e formula di cambiamento di coordinate.

07/03/19: Il prodotto scalare canonico in R^n: definizione e proprietà. Norma di un vettore. Disugualianza di Cauchy-Schwarz. Angolo tra vettori. Disugualianza triangolare. Basi ortogonali e ortonormali. Matrici ortogonali.

11/03/19: Proiezione ortogonale su un sottospazio. Ortogonalizzazione di Gram-Schmidt.

12/03/19: n-volume di un n-parallelepipedo, significato geometrico del determinante, prodotto vettoriale.

14/03/19: Esercizi.

18/03/19: Lo spazio euclideo: perpendicolarità, distanza, proiezione ortogonale. Esempio: (n-1)-sfere nello spazio euclideo n-dimensionale. Sistemi di riferimento cartesiano. Esercizi.

19/03/19: Esercizi.

21/03/19: Gruppi di trasformazioni: definizione ed esempi. Il gruppo degli automorfismi di uno spazio vettoriale. Il gruppo delle trasformazioni di R^n associate a matrici ortogonali.

25/03/19: Isomorfismi di spazi affini e gruppo delle affinità di uno spazio affine. Stabilizzatore di un punto. Traslazioni. Descrizione esplicita delle affinità.

26/03/19: Esercizi.

28/03/19: Esercizi.

01/04/19: Il gruppo delle trasformazioni di R^n associate a matrici ortogonali. Classificazione in dimensione 2 e dimensione 3. Esempi in dimensione qualsiasi.

02/04/19: Il gruppo delle isometrie dello spazio euclideo n-dimensionale. Le isometrie sono le trasformazioni che fissano la distanza. Esercizi.

04/04/19: Esercizi.

08/04/19: Esercizi.

09/04/19: Esercizi. Forme bilineari: definizione, matrice associata rispetto a una base, cambiamento di base.

11/04/19: Esercizi. Rango di una forma bilineare, caratterizzazioni delle forme bilineari non degeneri.

15/04/19: Esercitazione in aula (esonero).

16/04/19: Esercizi (correzione dell'esonero).

29/04/19: Forme bilineari simmetriche e forme quadratiche: nozione di ortogonalità rispetto a una forma bilineare simmetrica qualsiasi e teorema di esistenza di basi ortogonali.

30/04/19: Classificazione delle forme bilineari simmetriche: il caso a coefficienti in un campo algebricamente chiuso e il caso a coefficienti reali (Teorema di Sylvester). Prodotti scalari qualsiasi. Endomorfismi simmetrici: definizione ed esempi.

02/05/19: Teorema spettrale.

06/05/19: Esercizi.

07/05/19: Esercizi. Forme hermitiane: definizione.

09/05/19: Matrici hermitiane, corrispondenza tra forme hermitiane e matrici hermitiane. Classificazione delle forme hermitiane. Prodotti hermitiani. Operatori unitari: definizione e proprietà.

13/05/19: Matrici unitarie. Descrizione delle matrici unitarie 2x2. Diagonalizzazione degli operatori unitari. Conseguenze per le matrici ortogonali. Esempio: pseudoriflessioni complesse.

14/05/19: Endomorfismi hermitiani: definizione e Teorema spettrale. Esercizi.

16/05/19: Esercizi.

20/05/19: Ipersuperfici algebriche: equivalenza affine e congruenza, cambiamenti di coordinate. Coniche e quadriche.

21/05/19: Classificazione affine delle coniche a coefficienti in un campo algebricamente chiuso e a coefficienti reali.

23/05/19: Classificazione euclidea delle coniche nel piano e delle superfici quadriche nello spazio.

28/05/19: Esercizi.

30/05/19: Esercizi. Spazi proiettivi: definizione, dimensione, coordinate omogenee, sottospazi proiettivi.

03/06/19: Equazioni lineari omogenee di sottospazi proiettivi, intersezioni. Sottospazi proiettivi generati. Formula di Grassmann proiettiva. Punti in posizione generale e equazioni parametriche di sottospazi proiettivi. Punti propri e punti impropri dello spazio proiettivo.

04/06/19: Omogeneizzazione di un'equazione e chiusura proiettiva, chiusura proiettiva delle coniche non degeneri. Modelli geometrici dello spazio proiettivo. Dualità.

06/06/19: Esercizi. Principio di dualità. Punti in posizione generale, sistemi di riferimento nello spazio proiettivo e cambiamenti di coordinate.

10/06/19: Proiettività. Classificazione delle quadriche proiettive. Esercizi.

11/06/19: Esercizi. Grassmanniane: coordinate di Plücker per la Grassmanniana delle rette in P^3.


24 gen 2019 - pb