urla piuttosto e lasciamo di noi un ricordo toccante
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Programma di massima del corso: Omologia simpliciale. Omologia persistente. Campi finiti e residui quadratici. Elementi di crittografia. Crittografia a chiave pubblica e l'algoritmo RSA. Test di primalità e algoritmi di fattorizzazione. Aritmetica delle curve ellittiche. Crittosistemi basati su curve ellittiche. Testi consigliati:
Lezioni:
Martedì 10-12 giovedì 10-12 e venerdì 14-16 in aula E.
Codici OPIS: 1TP4YY3H, 4HKK1XEA, UY03DSCG, X87Q76BF
Lezione 1. Insiemi convessi. (M 1.1)
Lezione 2. Il teorema di Caratheodory. Le regioni di Voronoi. Complessi simpliciali astratti (M 1.2).
Lezione 3. La realizzazione topologica di un complesso simpliciale astratto (M 1.3).
Lezione 4. Il teorema di Radon (M 1.1). Complessi ordinati. (M 1.1, M 3.4)
Lezione 5. Omologia dei complessi simpliciali ordinati (M 2.8, M 3.4).
Lezione 6. Numeri di Betti e caratteristica di Eulero-Poincar\eacute;. H0 e il numero di componenti connesse. I simplessi orientati. (M 3.1,3.5).
Lezione 7. R-moduli ed R-moduli liberi. Z-moduli e gruppi abeliani (M 2.2, M 2.3, M 2.4, M 2.5)
Lezione 8. La forma normale di Smith.
Lezione 10. Complessi di R-moduli e loro omologia. Omotopie. (M 2.8, M 3.1, M 3.2)
Lezione 11. Categorie e funtori. Funtorialità dell'omologia. (M 1.5, M 2.8)
Lezione 12. Omologia dei complessi simpliciali orientati. Moduli di persistenza (M 3.1, M 6.1, M 6.2, M 6.4)
Lezione 13. Moduli di persistenza. Barcode. (M 6.4, M 6.5)
Lezione 14. Moduli filtrati e doppiamente filtrati (a un certo punto scriverò delle note). La dimensione dei moduli di persistenza al tempo t dal barcode. (M 6.4, M 6.5)
Lezione 15. Ancora moduli di persistenza. Il complesso di Vietoris-Rips. Dai dati al barcode. (M 6.3)
Lezione 16. Principi generali di crittografia a chiave privata e a chiave pubblica. I crittosistemi di tipo RSA. Lo scambio di chiavi di Diffie-Hellman. I crittosistemi di Massey-Omura e di El Gamal. (K IV.1, K IV.2, K IV.3)
Lezione 17. Il calcolo del massimo comun divisore con l'algoritmo di Euclide delle divisioni successive. Il teorema cinese dei resti. L'identità di Bezout. La funzione φ di Eulero (K I.2, K I.3)
Lezione 18. Campi finiti. Il gruppo moltiplicativo di un campo finito è ciclico. (K II.1)
Lezione 19. Il test di primalità di Fermat. Numeri pseudoprimi. (K V.1)
Lezione 20. Residui quadratici. Il simbolo di Legendre. (K II.2)
Lezione 21. I simboli di Legendre (-1|p) e (2|p). (K II.2)
Lezione 22. Campi finiti di cardinalità pm. La reciprocità quadratica. (K II.1, K II.2)
Lezione 23. Il simbolo di Jacobi. (K II.2)
Lezione 24. Il test di primalità di Eulero. (K V.1, K II.2 esercizio 21)
Lezione 25. Ancora sul test di primalità di Eulero. Il metodo di fattorizzazione di Fermat e le basi di primi. (K V.3)
Lezione 26. Frazioni continue (K V.4)
Lezione 27.Il metodo di fattorizzazione basato su basi di primi e lo sviluppo in frazione continua di radice di n. (K V.3, K V.4)
Lezione 28. Lo sviluppo in frazione continua della radice di un intero non quadrato. Il metodo di fattorizzazione rho di Pollard (K V.2).
Lezione 29. Il metodo di fattorizzazione p-1 di Pollard. Curve ellittiche (prima parte) (K VI.4, K VI.1).
Lezione 30. Curve ellittiche (seconda parte). Il metodo di fattorizzazione di Lenstra (K VI.1, K VI.4).
Lezione 31. Ancora sul metodo di fattorizzazione di Lenstra (K VI.4).
Lezione 32. Radici quadrate modulo p. Un esempio di calcolo (K II.2).
Lezione 33. Ancora radici quadrate modulo p (K II.2).
Lezione 32. Firme digitali e funzioni hash (K IV.1). La firma digitale mediante curve ellittiche. Blockchain. Secp256k1 e le sue sorelle (le convenzioni in base alle quali punti sulle curve ellittiche vengono scritti come stringe di ottuple di numeri esadecimali vengono spiegate qui).
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