Il corso si divide idealmente in tre parti: topologia generale, algebrica e differenziale.
Per le prime due parti il testo di riferimento è il libro ``Topologia" di M. Manetti, Springer-Verlag Italia.
Per la terza parte si seguiranno queste dispense.
Attenzione: La prima edizione del libro Topologia è fuori commercio. La seconda edizione è disponibile da fine febbraio 2014. Per il corso vanno bene entrambe.
Lezione 1, 5-3-14: richiami di topologia generale, teorema di Wallace, identificazioni.
Lezione 2, 7-2-14: topologia quoziente, esempi di quozienti non Hausdorff e non base numerabile della retta, criteri che garantiscono che il quoziente sia T2 (chiusura della relazione nel prodotto), quozienti per azioni di gruppi. Spazi proiettivi complessi e reali.
Lezione 3, 10-3-14: equivalenza delle diverse definizioni della topologia sullo spazio proiettivo. Connessione del gruppo delle matrici quadrate a determinante positivo. Grassmanniane reali e loro connessione, compattezza e Hausdorffità. Proprietà topologiche delle funzioni simmetriche elementari (sui numeri complessi).
Lezione 4, 12-3-14: Applicazioni dell'assioma della scelta e del Lemma di Zorn: ogni insieme infinito contiene un sottoinsieme infinito numerabile, unione numerabile di numerabili è numerabile, confrontabilità di cardinalità, ogni anello contiene ideali massimali ed ogni spazio vettoriale possiede una base.
Lezione 5, 14-3-14: Il lemma di Zorn implica l'assioma della scelta, esistenza di ordinamenti totali e di buoni ordinamenti (teorema di Zermelo). Spazi topologici irriducibli, componenti irriducibili e loro esistenza. Prebasi e teorema di Alexander.
Lezione 6, 17-3-14: Prodotti infiniti, tre diverse ceratterizzazioni della topologia prodotto. Prodotto di spazi di Hausdorff è Hausdorff, Prodotto di spazi connessi è connesso, Prodotto di spazi compatti è compatto (teorema di Tychonoff).
Lezione 7, 19-3-14: Lemma degli ultrafiltri e seconda dimostrazione del teorema di Tychonoff. Successioni in uno spazio topologico, punti limite, punti di accumulazione e sottosuccessioni. Compattezza per successioni. Compattezza negli spazi a base numerabile.
Lezione 8, 21-3-14: Esempio di spazio compatto ma non compatto per successioni (prodotto più che numerabile di copie di [0,1]), esempio di spazio compatto per successioni ma non compatto (nello spazio di tutte le applicazioni f:[0,1]->[0,1] con la topologia prodotto=della convergenza puntuale, il sottospazio delle applicazioni nulle eccetto un sottoinsieme numerabile di punti). Spazi separabili, ogni spazio metrico separabile è a base numerabile. Spazi metrici totalmente limitati, ogni spazio metrico compatto per successioni è totalmante limitato, ogni spazio metrico totalmente limitato è a base numerabile. Uno spazio metrico è compatto se e solo se è compatto per successioni. Esercizio: ogni isometria in uno spazio metrico compatto è un omeomorfismo.
Lezione 9, 24-3-14: prodotti finiti e numerabili di spazi metrici. Successioni di Cauchy, spazi metrici completi. Uno spazio metrico è compatto se e solo se è completo e totalmente limitato.
Lezione 10, 26-3-14: Spazi localmente compatti. Quozienti di localmante compatti non sono necessariamente localmente compatti. In uno spazio localmante compatto di Hausdorff ogni punto possiede un sistema fondamentale di intorni compatti. Insiemi rari, magri e spazi di Baire. Teorema di Baire. I numeri razionali non sono uno spazio di Baire e nmmeno intersezione numerabile di aperti nei reali.
Lezione 11, 28-3-14: Esercitazione scritta.
Lezione 12, 31-3-14: Grado di trascendenza infinito di R su Q come conseguenza del teorema di Baire. Spazi localmante connessi per archi e pizero. proprietà funtoriali del pizero.
Lezione 13, 2-3-14: omotopia ed equivalenza omotopica di applicazioni continue e spazi topologici. Definizione ed esempi di categorie.
Lezione 14, 4-4-14: discussione degli esercizi del 28 marzo.
Lezione 15, 7-4-14: Definizione ed esempi di funtore. Omotopia di cammini. Il prodotto di giunzione è associativo a meno di omotopia.
Lezione 16, 9-4-14: Definizione e prime proprietà del gruppo fondamentale. La classe di isomorfismo del gruppo fondamentale di uno spazio connesso per achi non dipende dal punto base. Spazi semplicemente connessi. Effetto delle applicazioni continue sul gruppo fondamentale.
Lezione 17, 11-4-14: Retratti e retratti per deformazione, effetto delle retrazioni sul gruppo fondamentale. ``dimostrazione teologica'' del fatto che la circonferenza non è semplicemente connessa. Esempi *ogni albero finito è contrattile, tipo di omotopia del complementare di un sottospazio vettoriale.
Lezione 18, 14-4-14: teorema del numero di Lebesgue, ogni cammino è omotopo alla giunzione dei suoi pezzi. Prima parte del teorema di Van Kampen, semplice connessione delle sfere di dimensione almeno due. Esercitazione scritta.
Lezione 19, 16-4-14: discussione degli esercizi del 14 aprile.
2-5-2014: Esonero.
Lezione 20, 5-5-2014: Discussione degli esercizi dell'esonero. Definizione e primi esempi di rivestimenti.
Lezione 21, 7-5-14: le fibre di un rivestimento hanno la stessa cardinalità richiami su esponenziale complesso e logaritmo. Esempio: il rivestimento S^n->P^n non ammette sezioni continue. Problema del sollevamento e teorema di unicità .
Lezione 22, 9-5-14: sollevamento di cammini e dell'omotopia. Dimostrazione dei teoremi di Borsuk e del punto fisso di Brouwer.
Lezione 23, 12-5-14: I rivestimenti inducono applicazioni iniettive tra i rispettivi gruppi fondamentali. Bigezione tra le fibre e l'insieme dei laterali destri del gruppo fondamentale (teorema 13.1 del libro). Ogni rivestimento connesso per archi di uno spazio semplicemente connesso è un omeomorfismo. Gruppo fondamentele degli spazi proiettivi reali.
Lezione 24, 14-5-14: Quozienti per azioni propriamente discontinue. Rivestimenti Galoisiani, isomorfismo tra il gruppo di Galois del rivestimento ed il quoz`iente dei gruppi fondamentali. Gruppo fondamentale della circonferenza. Esempi di rivestimenti del bouquet di due circonferenze.
Lezione 25, 16-5-15: Sollevamento di applicazioni qualsiasi. Calcolo del gruppo fondamentale del bouquet di una circonferenza ed una sfera. Brevissimi cenni sui gruppi di omotopia superiori. Esercitazione scritta.
lezione 26, 19-5-14: Varietà topologiche, esempio di spazio localmente euclideo ma non di Hausdorff. Carte, atlanti e definizione di atlante di classe C^k. Esistenza delle bump functions. Link al libro di Dundas
lezione 27, 21-5-14: Funzioni differenziabili ( classe C^infinito) su aperti di R^n, operatori locali, derivazioni e campi di vettori. Formula di Taylor e dimostrazione che ogni derivazione è un campo di vettori.
lezione 28, 23-5-14: Germi di funzioni differenziabili, proprietà algebriche dell'anello dei germi (anello locale), Spazio tangente in un punto, differenziale di un'applicazione C^infinito.
lezione 29, 26-5-14: La matrice Jacobiana rappresenta il differenziale nella base canonica. Teorema di invertibilità locale (solo enunciato), teorema delle funzioni implicite (linearizzazione locale delle applicazioni con differenziale surgettivo. Varietà differenziabili, primi esempi: aperti di R^n, sfere, spazi proiettivi.
lezione 30, 28-5-14: equivalenza di atlanti differenziabili, atlanti massimali. Definizione di struttura differenziabile come classe di equivalenza di atlanti differenziabili. Funzioni differenziabili su aperti di una varietà
lezione 31, 30-5-14: sottovarietà differenziabili, sfere, gruppo speciale lineare e gruppo ortogonale.
lezione 31, 4-6-14: sistemi di coordinate locali, applicazioni differenziabili e diffeomorfismi.
lezione 32, 6-6-14: germi di funzioni differenziabili su variet&arave; spazio tangente, differenziale in un punto di un'applicazione differenziabile. Punti e valori critici, punti e valori regolari. La controimmagine di un valore regolare è una sottovarietà, enunciato del teorema di Sard.
lezione 33, 9-6-14: Struttura di alegbra di Lie sui campi di vettori, definizione di algebra di Lie ed esempi classici. Definizione e primi esempi di gruppo di Lie.