Foglio di esercizi del 25 marzo 2010
24-2-2010 (2h): Cardinalità, assioma della scelta, lemma di Zorn ed applicazioni.
25-2-2010 (1h): La cardinalità del prodotto.
1-3-2010 (2h): Insiemi bene ordinati, dimostrazione del teorema di Zermelo, esistenza ed equicardinalità di basi in uno spazio vettoriale, esistenza di ideali massimali in un anello commutativo con unità
3-3-2010 (2h): Richiami di topologia generale: spazi topologici, basi, chiusura e parte interna, intorni, applicazioni continue.
4-3-2010 (1h): Richiami di topologia generale: spazi metrici e spazi di Hausdorff.
8-3-2010 (2h): Richiami di topologia generale: prodotti topologici, connessione e connessione per archi.
10-3-2010 (2h): Richiami di topologia generale: componenti connesse, unione ed intersezione di sottospazi connessi e connessi per archi.
11-3-2010 (1h): Richiami di topologia generale: ricoprimenti e compattezza.
15-3-2010 (2h): Richiami di topologia generale: prodotto di spazi compatti ed applicazioni.
17-3-2010 (2h): Identificazioni e topologie quoziente, quozienti per gruppi di omeomorfismi. Proprietà topologiche dello spazio proiettivo: connessione, compattezza, Hausdorff.
18-3-2010 (1h): Esercizi sulla topologia dello spazio proiettivo.
22-3-2010 (2h): Spazi localmente compatti e compattificazione di Alexandroff.
24-3-2010 (2h): Applicazioni proprie, dimostrazione del teorema fondamentale dell'algebra, proprietà di numerabilità.
25-3-2010 (1h): Successioni, sottosuccessioni, limiti, punti di accumulazione.
7-4-2010 (2h): Compattezza e compattezza per successioni. Compattezza negli spazi metrici. Spazi metrici completi.
8-4-2010 (1h): Spazi di Baire e teorema di Baire.
19-4-2010 (2h): Prebasi e teorema di Alexander.
21-4-2010 (2h): Prodotti infiniti e teorema di Tychonoff.
22-4-2010 (1h): Equivalenza omotopica di applicazioni continue.
26-4-2010 (2h): Equivalenza omotopica di spazi topologici, retrazioni, retrazioni per deformazione.
28-4-2010 (2h): Categorie e funtori.
29-4-2010 (1h): Il gruppo fondamentale (definizione).
3-5-2010 (2h): Proprietà del gruppo fondamentale, dipendenza dal punto base ed invarianza omotopica.
5-5-2010 (2h): Il teorema di Van Kampen (prima parte), numero di Lebesgue, semplice connessione delle sfere e degli spazi proiettivi complessi.
6-5-2010 (1h): Applicazioni del teorema di Van Kampen.
10-5-2010 (2h): Rivestimenti: definizione, esempi, sollevamenti di cammini e dell'omotopia.
12-5-2010 (2h): Rivestimenti di spazi semplicemente connessi, non semplice connessione della circonferenza e degli spazi proiettivi reali. Il teorema del punto fisso di Brouwer. Teoremi di Borsuk e del cocomero.
13-5-2010 (1h): Bigezione tra il gruppo fondamentale e fibra di un rivestimento con spazio totale semplicemente connesso. Calcolo del gruppo fondamentale degli spazi proiettivi. Il gruppo fondamentale della circonferenza è infinito.
17-5-2010 (2h): Spazi localmante connessi per archi. Iniettività e del morfismo tra gruppi fondamentali indotto da un rivestimento. Automorfismi dei rivestimenti.
19-5-2010 (2h): Monodromia del rivestimento. compatibilità dell'azione destra di monodromia con l'azione sinistra del gruppo degli automorfismi di un rivestimento. Calcolo del gruppo fondamentale della circonferenza.
20-5-2010 (1h): La bottiglia di Klein ed il suo gruppo fondamentale.
24-5-2010 (2h): Non-relazioni tra i generatori del gruppo fondamentale del bouquet di due circonferenze ed esempi di rivestimenti non banali dello stesso.
26-5-2010 (2h): Definizione e principali proprietà dei gruppi liberi. Dimostrazione che il gruppo fondamentale di un bouquet di n circonferenze è libero ad n generatori
27-5-2010 (1h): Esistenza dei gruppi liberi. Descrizione come insieme delle parole modulo le relazioni tautologiche.
30-5-2010 (2h): Automorfismi di rivestimenti, sollevamento di applicazioni qualsiasi, automorfismi del rivestimento universale.