Prima settimana (30 sett - 2 ott - 3 ott)
Introduzione al corso: l'algebra lineare e la geometria analitica. Esempi di sistemi lineari quadrati di ordine 2 e 3. Interpretazione geometrica delle equazioni e delle soluzioni. Eliminazione di Gauss, pivots, riduzione a scala. Rango di una matrice come numero di pivots in una riduzione a scala. Criterio di risolubilita' di un sistema lineare (Teorema di Rouche'-Capelli) e sua applicazione in esempi e esercizi. Proiezione delle prima quattro sezioni del film "Dimension" (link dalla sezione "Altro" di questa pagina)
Seconda settimana (7 ott - 9 ott - 10 ott)
Sistemi lineari non omogenei e omogenei: le soluzioni di un sistema non omogeneo si ottengono sommando a una sua soluzione tutte le soluzioni del sistema omogeneo associato. Interpretazione geometrica. Operazioni sugli insiemi di numeri: i numeri naturali, interi, razionali, reali. Numeri complessi: motivazioni per la loro introduzione e la loro struttura di campo. Rappresentazione trigonometrica, radici n-esime dell'unita'. Enunciato del teorema fondamentale dell'algebra. Operazioni tra matrici: somma di matrici mxn e prodotto di una matrice per uno scalare. Proprieta' delle operazioni. Prodotto righe per colonne di matrici e sua interpretazione in termini di composizione della trasformazioni lineari associate alle due matrici fattore. Applicazione alla scrittura di un sistema lineare con simbolismo matriciale. Matrice unita' e definizione di matrice invertibile. Esercitazione sugli argomenti delle prime due settimane.
Terza settimana (14 ott - 16 ott - 17 ott)
Determinanti, definizione e caratterizzazione assiomatica. Altre proprieta' del determinante. Sua invarianza per riduzioni a scala e confronto con il prodotto dei pivot nel caso non singolare. Complementi algebrici. Sviluppi di Laplace di determinanti secondo una riga e una colonna. Matrici quadrate invertibili e loro caratterizzazione come matrici di rango massimo. Calcolo dell'inversa, teorema di Cramer.
Quarta settimana (21 ott - 23 ott - 24 ott)
Esempi di calcolo dell'inversa di una matrice invertibile e di soluzione di un sistema lineare con le formule di Cramer. Rango di una matrice come massimo numero di righe linearmente indipendenti e come ordine massimo dei minori non nulli. Definizione di spazio vettoriale su un campo K. Primi esempi: i campi, gli spazi dei vettori geometrici, gli spazi vettoriali numerici, i polinomi in una indeterminata e i polinomi di grado non maggiore di n, le matrici mxn a coefficienti in K. Combinazioni lineari, vettori linermente indipendenti, sistemi di generatori, basi. Sottospazi vettoriali, esempi.
Quinta settimana (28 ott - 30 ott - 31 ott)
Definizioni equivalenti di base (insieme di genaratori linearmente indipendenti, insieme di generatori minimale, insieme di vettori linearmente indipendenti massimale). Completamento di un insieme di vettori linearmente indipendenti a una base. Ogni base finita ha lo stesso numero di elementi. Base canonica dello spazio vettoriale numerico, dello spazio delle matrici e dello spazio dei polinomi. Intersezione e somma di sottospazi vettoriali. Somma diretta. Formula di Grassmann per le dimensioni. Esempio: decomposizione dello spazio delle matrici quadrate nella somma diretta dei sottospazi delle matrici simmetriche e antisimmetriche. Sottospazi vettoriali e sottospazi affini di uno spazio vettoriale numerico. Ancora teorema di struttura relativo alle soluzioni di un sistema lineare e del sistema lineare omogeneo associato.
Sesta settimana (4 nov - 6 nov - 7 nov)
Teorema di Rouche'-Capelli sulla risolubilita' e infinita' della soluzioni di un sistema lineare. Diverse definizioni di rango: massimo numero di righe o di colonne linearmente indipendenti, ordine massimo dei minori non nulli. Risoluzione generale dei sistemi lineari utilizzando la regola di Cramer e un minore di ordine massimo non nullo nella matrice dei coefficienti. Osservazioni sulle soluzioni di un sistema lineare omogeneo e determinazione di una base delle soluzioni. Applicazioni lineari tra spazi vettoriali. Esempi. Trasformazione lineare associata a una matrice. Isomorfismi. Nucleo e immagine di un'applicazione lineare. Teorema della dimensione per applicazioni lineari. Matrice associata a un operatore lineare. Esame di tre esempi di operatori lineari: la rotazione nel piano dei vettori geometrici applicati, la derivazione nella spazio dei polinomi di grado minore o uguale e 3, la trasposizione nello spazio delle matrici quadrate di ordine 3. Spazio vettoriale delle applivcazioni lineari tra due spazi vettoriali. Composizione di due applicazioni lineari. Caso delle trasformazioni lineari. Considerazioni sull'algebra delle matrici quadrate. Esercitazione scritta in classe e sua revisione.
Settima settimana (18 nov - 20 nov - 21 nov)
Definizione di spazio affine, di riferimento affine e coordinate di punto. Geometria affine piana: equazioni parametriche e equazione cartesiana di una retta. Parametri direttori, condizione analitica di parallelismo di due rette. Equazioni parametriche e equazione cartesiana di un piano dello spazio. Equazioni parametriche e cartesiane di rette nello spazio a tre dimensioni. Parametri direttori delle rette e loro determinazione dalle equazioni cartesiana. Equazioni ridotte di una retta e parametri direttori ridotti. Condizione di parallelismo tra due piani, tra due rette e tra retta e piano.
Ottava settimana (25 nov - 27 nov - 28 nov)
Forme bilineari e prodotti scalari in spazi vettoriali reali. Norma di un vettore. Spazi vettoriali metrici, basi ortogonali e basi ortonormali. Prodotto scalare standard in R^n. Ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Complemento ortogonale di un sottospazio vettoriale. Definizione di spazio euclideo. Distanza tra due punti. Ortogonalita' del vettore di giacitura rispetto a un piano. Condizione di perpendicolarita' tra due rette, tra due piani e tra retta e piano. Distanza di un punto da un piano, di un punto da una retta (procedimento). Proiezioni ortogonali.
Nona settimana (2 dic - 4 dic - 5 dic)
Esercizi di riepilogo di geometria analitica affine e euclidea. Applicazioni lineari tra spazi vettoriali. Esempi. Trasformazione lineare associata a una matrice. Isomorfismi. Operatori lineari su uno spazio vettoriale. Matrici rappresentanti e loro potenze. Considerazioni sull'algebra delle matrici quadrate. Matrici non singloari come cambiamento di basi in spazi vettoriali. Comportamento delle coordinate di vettore rispetto a cambiamento di base. Comportamento della matrice associata a un operatore lineare per cambiamento di base. Relazione di similitudine tra matrici e invarianza del rango e del determinante. Autovalori e autovettori di un operatore lineare, autospazi e molteplicita' geometrica di un autovalore. Polinomio caratteristico di un operatore lineare e molteplicita' algebrica degli autovalori. Descrizione esplicita degli operatori di rotazione in un piano, di derivazione nello spazio dei polinomi di grado minore o uguale a 2 in una indeterminata, di trasposizione nello spazio delle matrici quadrate. Operatori diagonalizzabili e non diagonalizzabili. Matrici rappresentanti e loro potenze. Considerazioni sull'algebra delle matrici quadrate.
Decima settimana (9 dic - 11 dic - 12 dic)
Indipendenza lineare degli autovettori corrispondenti ad autovalori distinti. Descrizione dei coefficienti del polinomio caratteristico come somme dei minori principali di ordine fissato, traccia e determinanti come invarianti e loro relazione con gli autovalori. Condizione necessaria e sufficiente di diagonalizzablita', in termini di appartenenza al campo degli zeri del polinomio caratteristico e di coincidenza tra molteplicita' algebriche e molteplicita' geometriche. Esempi di diagonalizzazioni e di matrici non diagonalizzabili.
Undicesima settimana (16 dic - 18 dic - 19 dic)
Affinita' in spazi affini e isometrie in spazi euclidei, e loro espressioni analitiche in termini di coordinate. Operatori notevoli in spazi vettoriali metrici: operatori ortogonali e operatori autoaggiunti. Gruppo ortogonale. Autovalori e autovettori di operatori autoaggiunti. Teorema spettrale per operatori autoaggiunti in spazi vettoriali metrici. Diagonalizzabilita' delle matrici simmetriche reali mediante matrici ortogonali.
Dodicesima settimana (8 gen - 9 gen)
Forme bilineari e prodotti scalari in spazi vettoriali reali. Matrici associate in una base. Esempi di prodotti scalari definiti positivi, e di forme bilineari simmetriche non degeneri e degeneri. Relazione di congruenza tra matrici simmetriche e il problema della diagonalizzazione per congruenza. Teorema di Sylvester. Basi ortogonali rispetto a una forma bilineare simmetrica e ortonormali rispetto a un prodotto scalare. Esempi di diagonalizzazione.