Geometria II

Prima settimana (1 mar - 2 mar - 3 mar)

Introduzione dei problemi realtivi allo studio della Topologia. Stessa cardinalita' tra R e R^n, invarianza topologica della dimensione, caratteristica di Eulero. Proprieta' delle operazioni tra insiemi.
Distanze su un insieme, definizione di uno spazio metrico, proprietà, esempi. Dischi aperti in uno spazio metrico e topologia indotta. Applicazioni continue tra spazi metrici.
Definizione di una topologia su un insieme e di spazio topologico, definizione di funzione continua e di omeomorfismo, esempi. Esempi di topologie su R. Successioni e loro limiti. Spazi di Hausdoff, unicita' del limite. Ogni spazio metrico e' di Hausdorff.

Seconda settimana (8 mar - 9 mar - 10 mar)

Definizioni alternative per una topologia. Definizione tramite i chiusi, una base, gli intorni dei punti. Esempi. Proprieta' caratteristiche di una base e degli intorni. Sistemi fondamentali di intorni e proprieta'. Caratterizzazioni delle applicazioni continue mediante chiusi e mediante intorni dei punti. Confronto tra topologie su uno stesso insieme. Basi di intorni, proprieta' caratteristiche. Sottoinsiemi di uno spazio topologico. Parte interna, esterna e frontiera di un sottoinsieme. Chiusura di un sottoinsieme e sue proprieta', punti isolati e di accumulazione. Esempi.

Terza settimana (15 mar - 16 mar - 17 mar)

Revisione del foglio 1 di esercizi. Costruzione di nuovi spazi da vecchi: Topologia immagine inversa, sottospazi. Prodotti finiti e infiniti, esempi. Topologia immagine diretta e spazi quozienti. Esempi: sfere, tori, spazi proiettivi reali e complessi.

Quarta settimana (22 mar - 23 mar)

Revisione foglio 2 di esercizi. Varieta' topologiche e gruppi topologici, esempi. Spazi topologici compatti. Un sottospazio compatto di uno spazio di Hausdoff e' chiuso. Un sottospazio compatto di R^n e' chiuso e limitato. Compattezza del quoziente di uno spazio compatto.

Riferimenti per le prime quattro settimane

Manetti: pp. 1-65, pp. 76-78, pp. 85-86, pp. 93-98, pp. 101-103, p. 113, pp. 147-148.
Nacinovich: pp. 1-31, pp. 39-42 (solo Hausdoff), p. 54, pp. 59-62, p. 133, pp. 155-159.
Sernesi: pp. 1-90, pp. 99-106.

Quinta settimana (30 mar - 31 mar)

Compattezza di chiusi in compatti, Teorema di Heine-Borel e caratterizzazione dei compatti nella retta euclidea. Compattezza del prodotto di due spazi compatti, Caratterizzarione dei compatti in R^n, compattezza dell'immagine dei compatti mediante funzioni continue e dei quozienti. Compattezza degli spazi proiettivi reali e complessi e delle curve algebriche proiettive. Teoremi di Weierstrass e di Bolzano-Weierstrass, Compattificazione di Alexandroff. Compattezza per successioni: punti di accumulazione di successioni, sottosuccessioni convergenti. Propriet\`a di separazione: T_0,T_1,T_2,T_3,T_4. Compattezza per successioni. Primo e secondo assioma di numerabilita', esistenza di sottoricoprimenti aperti numerabili in spazi a base numerable, relazione tra la compattezza e la compattezza per successioni.

Sesta settimana (5 apr - 6 apr - 7 apr)

Revisione foglio 3 di esercizi. Spazi connessi e connessi per archi. Connessione degli intervalli di R, dei prodotti e quozienti di spazi connessi. Relazione di connessione tra i punti di uno spazio topologico. Componenti connesse, spazi totalmente sconnessi, esempi. Varieta' topologiche connesse.

Settima settimana (12 apr - 13 apr - 14 apr)

Omotopie di cammini e cappi su spazi topologici, composizione. Costruzione del gruppo fondamentale in un punto. Spazi connessi per archi e semplicemente connessi. Omomorfismo indotto da un'applicazione continua, funtorialita'. Invarianza topologica del gruppo fondamentale. Omotopia di applicazioni continue tra spazi topologici, spazi omotopicamente equivalenti. Invarianza omotopica del gruppo fondamentale.

Riferimenti per le prime sette settimane

Manetti: pp. 1-65, pp. 76-78, pp. 85-86, pp. 93-98, pp. 101-103, p. 113, pp. 147-148, pp. 151-153, pp. 67-81, pp. 89-90, pp. 175-195, pp. 197-207.

Nacinovich: pp. 1-31, pp. 39-42 (solo Hausdoff), p. 54, pp. 59-62, p. 133, pp. 155-159, pp. 39-42 (tutto), pp. 59-65, pp. 85-92, pp. 173-177, pp. 195-199.

Sernesi: pp. 1-90, pp. 99-106, pp. 106-113, pp. 125-141, pp. 142-154.

Ottava settimana (26 apr - 27 apr - 28 apr)

Esempi di retratti di deformazione e di spazi contraibili. Definizione di rivestimento topologico. Esempi. Sollevamento di cammini e di classi di omotopia di cammini. Iniettivita' dell'indotta della proiezione sui gruppi fondamentali. Il problema della classificazione degli spazi che rivestono e di quelli rivestiti.

Nona settimana (3 mag - 4 mag - 5 mag)

Revisione esercizi dell'esonero. Corrispondenza tra rivestimenti di X e classi di sottogruppi coniugati del suo gruppo fondamentale. Teorema di esistenza di un rivestimento assegnato sottogruppo del gruppo fondamentale. Rivestimento universale. Esempi. Gruppi di omeomorfismi che operano in modo propriamente discontinuo. Proiezione sullo spazio delle orbite e gruppo fondamentale della circonferenza e del toro n-dimensionale.

Decima settimana (10 mag - 11 mag - 12 mag)

Parole generate da un alfabeto. Gruppi liberi, relazioni e presentazioni di gruppi. Enunciato del teorema di van Kampen e sua dimostrazione relativamente ai generatori, con cenni sulle relazioni. Semplice connessione delle sfere e degli spazi proiettivi complessi. Gruppo fondamentale delle superfici compatte orientabili e non orientabili. Struttura dell'abelianizzato del gruppo fondamentale per le superfici compatte.

Undicesima settimana (17 mag - 18 mag - 19 mag)

Superfici topologiche, triangolazioni, orientabilit\`a, caratteristica di Eulero. Poligoni topologici con identificazioni dei lati. Classificazione delle superfici compatte. Gruppo fondamentale della tomba di Archimede.

Riferimenti per le prime undici settimane

Manetti: pp. 1-65, pp. 76-78, pp. 85-86, pp. 93-98, pp. 101-103, p. 113, pp. 147-148, pp. 151-153, pp. 67-81, pp. 89-90, pp. 175-195, pp. 197-212, pp. 215-271.

Nacinovich: pp. 1-31, pp. 39-42 (solo Hausdoff), p. 54, pp. 59-62, p. 133, pp. 155-159, pp. 39-42 (tutto), pp. 59-65, pp. 85-92, pp. 173-177, pp. 195-199, 209-214.

Sernesi: pp. 1-90, pp. 99-106, pp. 106-113, pp. 125-141, pp. 142-172.

Sernesi: Classificazione delle Superfici topologiche compatte (13 pp.), http://www.mat.uniroma3.it/users/sernesi/GE30809/superfici.pdf

Dodicesima settimana (24 mag - 25 mag - 26 mag)

Revisione esercizi foglio 7. Argomenti fuori programma: motivazioni e idee alla base delle teorie dell'omologia e coomologia.

Tredicesima settimana (31 mag - 1 giu)

Esercitazione in classe e sua revisione.