Geometria II
Programma di massima del corso


Si illustreranno alcuni concetti fondamentali di topologia generale e verra` data un'introduzione alla topologia algebrica. L'approccio alla materia non sara` esclusivamente astratto e saranno dedicati ampi spazi allo studio di esempi concreti ed allo svolgimento di esercizi (di tutti i livelli di difficolta`). I corsi di Algebra, Geometria I e Analisi 2 sono i prerequisiti consigliati per comprendere i contenuti del corso. Gli argomenti svolti saranno, in linea di massima, i seguenti:

Richiami di teoria degli insiemi, aritmetica cardinale. Spazi topologici, spazi metrici, funzioni continue, omeomorfismi, spazi di Hausdorff, sottospazi, prodotti topologici, quozienti. Spazi connessi e componenti connesse, spazi compatti e localmente compatti, teorema di Wallace e sue conseguenze, esaustioni in compatti e compattificazione di Alexandroff. Gruppi topologici e topologia dei gruppi classici. Identificazioni e topologia quoziente, topologia degli spazi proiettivi. Assiomi di numerabilita`, successioni, compattezza negli spazi metrici. Prebasi, teoremi di Alexander e Tyconoff. Omotopia, connessione per archi, gruppo fondamentale, teorema di Van Kampen e semplice connessione delle sfere. Rivestimenti, sollevamento dell'omotopia e azione di monodromia. Classificazione delle superfici topologiche compatte. Calcolo dei gruppi fondamentali. Cenni sui gruppi di omologia singolare.