Programma di massima del corso
Si illustreranno alcuni concetti fondamentali di topologia generale e verra` data un'introduzione alla topologia algebrica.
L'approccio alla materia non sara` esclusivamente astratto e saranno dedicati ampi spazi allo studio di esempi concreti ed allo svolgimento di esercizi
(di tutti i livelli di difficolta`). I corsi di Algebra, Geometria I e Analisi 2 sono i prerequisiti consigliati per comprendere i contenuti del corso.
Gli argomenti svolti saranno, in linea di massima, i seguenti:
Richiami di teoria degli insiemi, aritmetica cardinale. Spazi topologici, spazi metrici, funzioni continue, omeomorfismi, spazi di Hausdorff, sottospazi, prodotti topologici, quozienti. Spazi connessi e componenti
connesse, spazi compatti e localmente compatti, teorema di Wallace e sue conseguenze, esaustioni in compatti e compattificazione di Alexandroff. Gruppi topologici e topologia dei gruppi classici.
Identificazioni e topologia quoziente, topologia degli spazi proiettivi. Assiomi di numerabilita`,
successioni, compattezza negli spazi metrici. Prebasi, teoremi di Alexander e Tyconoff. Omotopia, connessione per archi, gruppo fondamentale, teorema di
Van Kampen e semplice connessione delle sfere. Rivestimenti, sollevamento dell'omotopia e azione di monodromia. Classificazione delle superfici topologiche compatte. Calcolo dei gruppi fondamentali. Cenni sui gruppi di omologia singolare.