Geometria II
Prima settimana (26 feb - 27 feb - 28 feb) Introduzione dei problemi realtivi allo studio della Topologia e della Geometria Differenziale. Stessa cardinalita' tra R e R^n, il problema dell'invarianza della dimensione in topologia e in geometria differenziale, caratteristica di Eulero. Proprieta' delle operazioni tra insiemi. Richiami su distanze in un insieme e definizione di spazio metrico, proprieta', esempi. Dischi aperti in uno spazio metrico e topologia indotta. Applicazioni continue tra spazi metrici. Definizione di una topologia su un insieme e di spazio topologico, esempi di spazi topologici. Definizioni alternative per una topologia. Definizione tramite i chiusi, una base, gli intorni dei punti. Esempi. Topologia di Zariski su spazi affini e su spazi proiettivi su un campo arbitrario. Proprieta' caratteristiche di una base e degli intorni. Sistemi fondamentali di intorni e proprieta'. Successioni di punti e loro limiti. Spazi di Hausdoff e unicita' del limite. Seconda settimana (5 mar - 6 mar - 7 mar) Definizione di applicazione continua tra spazi topologici e di omeomorfismo, spazi topologici omeomorfi. Esempi, omeomorfismo tera R^n e un suo disco aperto. Caratterizzazione delle applicazioni continue in termini di chiusi, di intorni, di una base di aperti, di una base di intorni. Confronto tra topologie su uno stesso insieme. Esempi di topologie su R. Sottoinsiemi di uno spazio topologico. Parte interna, esterna e frontiera di un sottoinsieme. Chiusura di un sottoinsieme e sue proprieta'. Esempi. Curve parametrizzate regolari in R^3, vettore velocita'. Lunghezza di un arco di curva e parametrizzazione tramite l'ascissa curvilinea. Versore tangente come vettore velocita' rispetto all'ascissa curvilinea. Curvatura e esempi di calcolo: elica cilindrica in R^3, spirale loigaritmica. Formula della curvatura in funzione di un parametro arbitrario. Versore normale e binormale. Triedro mobile su una curva differenziabile regolare di R^3 con curvatura non nulla. Riferimenti per le prime due settimane: Sernesi: pp. 3-41 (omettendo per ora da meta' di p. 27 a p. 30). Manetti: pp. 1-33, pp. 41-58. Abate-Tovena: pp. 1-17 e osservazione 1.3.24 a p. 22. Terza settimana (12 mar - 13 mar - 14 mar) Punti di accumulazione e punti isolati per un sottoinsieme di uno spazio topologico. Costruzione di nuovi spazi da vecchi: topologia immagine inversa, sottospazi topologici, topologia indotta definibile anche tramite chiusi e tramite basi. Incollamento di applicazioni continue definite su sottospazi. Esempi di sottospazi di R^N: n-cubi e n-simplessi, dischi aperti e chiusi, sfere. Sottospazi di matrici: GL(n,R), SL(n,R), O(n), SO(n), U(n) e rispettive proprieta' topologiche. Definizione di topologia prodotto sul prodotto cartesiano di due spazi topologici. Spazi metrici prodotto. Ancora sul triedro e sull'apparato di Frenet: definizione di torsione. Formule di Frenet. Teorema di rigidita' per curve regolari di R^3 con curvatura non nulla. Formula della torsione in funzione di un parametro arbitrario. Calcolo dell'apparato di Frenet per un'elica cilindrica. Quarta settimana (19 mar - 20 mar - 21 mar) Definizione di topologia prodotto mediante basi degli spazi fattori. Le proiezioni sui fattori sono applicazioni aperte. Prodotti infiniti. Topologia immagine diretta e topologia quoziente. Insiemi saturi e aperti saturi rispetto a un quoziente. Esempi di quozienti: Sfere, spazi proiettivi reali e complessi, toro. Gruppi che agiscono in modo propriamente discontinuo su uno spazio topologico. Rappresentazioni analitica di curve piane: equazioni parametriche, grafico di funzioni, rappresentazione cartesiana. Rappresentazione analitica della retta tangente nei tre casi. Rappresentazione parametrica di una superficie in R^3: linee u e linee v, condizione di regolarità. Definizione di piano tangente e sua rappresentazione analitica. Altre rappresentazioni analitiche di superfici in R^3: grafico di funzioni, rappresentazione cartesiana, rispettive rappresentazioni analitica del piano tangente. Quinta settimana (26 mar - 27 mar - 28 mar) Somma connessa di tori e di piani proiettivi. Rappresentazione come quozienti di poligoni con identificazioni a coppie dei lati. Per questi ultimi due argomenti si veda il file Sernesi: Classificazione delle Superfici topologiche compatte (13 pp.): http://www.mat.uniroma3.it/users/sernesi/GE30809/superfici.pdf Spazi topologici primo numerabili e secondo numerabili. Proprieta' di separazione: spazi T0,T1,T2,T3,T4, spazi regolari e normali. Esempi e controesempi. Spazi topologici compatti. Un sottospazio compatto di uno spazio di Hausdoff e' chiuso. Compattezza di chiusi in compatti, Teorema di Heine-Borel e caratterizzazione dei compatti nella retta euclidea. Compattezza del prodotto di due spazi compatti (dimostrazione rinviata alla prossima settimana), caratterizzarione dei compatti in R^n. Classi notevoli di superfici: superfici rigate, cilindri, coni, sperfici di rotazione. Esempi: deduzione delle equazioni parametriche per il cilindro rotondo, la sfera, il toro. Curve su superfici: uso delle equazioni parametriche 'interne' u=u(t), v=v(t). Calcolo delle lunghezza di una spira dell'elica circolare e della lossodromica di assegnato angolo sulla sfera. Riferimenti per le prime cinque settimane: Sernesi: pp. 3-41 (ora anche da meta' di p. 27 a p. 30), pp. 42-87, pp. 88-90 (omesse dimostrazioni 8.7, 8.8, 8.9, 8.10 e esempi successivi), pp. 101-103. Manetti: pp. 1-33, pp. 41-65, pp. 78-82, pp. 93-105, 113-117. Abate-Tovena: pp. 1-35, pp. 117-127, 135-138. Sesta settimana (2 apr - 3 apr - 4 apr) Dimostrazione del teorema di Tychonoff (due fattori). Compattezza dell'immagine dei compatti mediante funzioni continue e dei quozienti. Compattezza degli spazi proiettivi reali e complessi e delle curve algebriche proiettive. Teoremi di Weierstrass e di Bolzano-Weierstrass, compattificazione di Alexandroff. Compattezza per successioni: punti di accumulazione di successioni, sottosuccessioni convergenti. Relazione tra compattezza e compattezza per successioni in spazi che verificano il primo e il secondo assioma di numerabilità. Spazi topologici connessi e proprietà equivalenti. Connessione degli intervalli di R e loro caratterizzazioni come unici sottospazi comnnessi di R. Relazione di connessione tra i punti di uno spazio topologico. Componenti connesse, spazi totalmente sconnessi, esempi. Prima forma fondamentale di una superficie di R^3 e suoi coefficienti E,F,G. Formula della lunghezza di un arco di curva su una superficie. Area di regioni limitate su una superficie. Settima settimana (9 apr - 10 apr - 11 apr) Connessione del prodotto di due spazi connessi e del quoziente di uno spazio connesso. Connessione delle sfere e degli spazi proiettivi reali e complessi. Spazi connessi per archi e loro connessione. Esempio di uno spazio connesso ma non connesso per archi. Varieta' topologiche. Una varieta' topologica connessa e' connessa per archi. Superfici topologiche connesse, definizione di somma connessa. Somme connesse di superfici compatte e connesse: superfici di genere g, bottiglia di Klein, somma connesse di piani proiettivi. Triangolazioni di superfici compatte. Modello di una superficie compatta triangolata come poligono topologico con identificazioni. Operazioni di taglia e cuci sui poligoni topologici con identificazioni. Forma normale. Teorema di classificazione delle superfici topologiche compatte e connesse (dimostrazione da completare). Caratteristica di Eulero. Calcolo con la prima forma fondamentale, delle aree della sfera e del toro. Applicazione di Gauss di una curva piana e di una superficie parametrizzata dello spazio. Definizione intutiva di curvatura gaussiana come limite del rapporto tra aree. Conseguente stima della curvatura gaussiana del piano, del cilindro e della sfera di raggio r. Opportunita' di linearizzare. Riferimenti per le prime sette settimane Sernesi: pp. 1-90, pp. 99-114, pp. 125-141. Manetti: pp. 1-33, pp. 41-90, pp. 93-98, pp. 101-103, p. 113, pp. 147-148, pp. 151-153. Abate-Tovena: pp. 1-35, pp. 117-127, 135-138, 166-178. Sernesi: Classificazione delle Superfici topologiche compatte (13 pp.): http://www.mat.uniroma3.it/users/sernesi/GE30809/superfici.pdf Ottava settimana (16 apr - 17 apr) Prima prova in itinere. Fine della dimostrazione del teorema di classificazione delle superfici compatte. Caratteristica di Eulero di somme connesse. Introduzione alla topologia algebrica. Nona settimana (24 apr) Revisione della prima prova in itinere. Decima settimana (30 apr - 2 mag) Applicazione di Gauss di una superficie orientata di R^3. Applicazioni differenziabili in parametri locali e differenziale. Differenziale dell'applicazione di Gauss e operatore di forma. sua rappresentazione con matrice nella base di T_pS associata a una parametrizzazione. L'operatore forma e' autoaggiunto. Seconda forma fondamentale e suo significato geometrico: curvatura normale di una direzione tangente. Teorema di Meusnier e formula di Eulero. Curvature principali. Undicesima settimana (7 mag - 8 mag - 9 mag) Omotopie di cammini e cappi su spazi topologici, composizione. Costruzione del gruppo fondamentale in un punto. Spazi connessi per archi e semplicemente connessi. Omomorfismo indotto da un'applicazione continua, funtorialita'. Invarianza topologica del gruppo fondamentale. Formule di calcolo per le curvature di superfici: E,F,G,L,M,N; curvatura media, curvatura gaussiana, curvature principali. Punti ellittici, iperbolici, parabolici, planari. Esempi: cilindro, sfera, catenoide, elicoide. Coordinate isoterme e rappresentazione di superfici minime mediante funzioni armoniche. Dodicesima settimana (14 mag - 15 mag - 16 mag) Omotopia di applicazioni continue tra spazi topologici, spazi omotopicamente equivalenti. Invarianza omotopica del gruppo fondamentale. Esempi di retratti di deformazione e di spazi contraibili. Definizione di rivestimento topologico. Esempi. Sollevamento di cammini e di classi di omotopia di cammini. Iniettivita' dell'indotta della proiezione sui gruppi fondamentali. Il problema della classificazione degli spazi che rivestono e di quelli rivestiti. Corrispondenza tra rivestimenti di X e classi di sottogruppi coniugati del suo gruppo fondamentale. Riferimenti per le prime dodici settimane Sernesi: pp. 1-90, pp. 99-114, pp. 125-157, pp. 162-167, pp.263-308. Manetti: pp. 1-33, pp. 41-90, pp. 93-98, pp. 101-103, p. 113, pp. 147-148, pp. 151-153, pp. 179-208, pp.217-220, pp. 224-229. Abate-Tovena: pp. 1-35, pp. 117-127, 135-138, 166-178, pp. 183-199. Sernesi: Classificazione delle Superfici topologiche compatte (13 pp.): http://www.mat.uniroma3.it/users/sernesi/GE30809/superfici.pdf Tredicesima settimana (21 mag - 22 mag - 23 mag) Ancora sulla corrispondenza tra rivestimenti di X e classi di sottogruppi coniugati del suo gruppo fondamentale. Teorema di esistenza di un rivestimento assegnato sottogruppo del gruppo fondamentale. Rivestimento universale. Esempi. Equazioni di Gauss-Weingarten di una superficio di R^3. Simboli di Christoffel e loro espressioni in termini di E,F,G e loro derivate. Condizioni di compatibilita'. Deduzione dell'equazione di Gauss. Teorema egregium. Caso di parametri conformi. Deduzione della curvatura gaussiana del disco di Poincare'. Calcolo delle curvature del toro di rotazione. Cenni sul teorema di Gauss-Bonnet. Quattodicesima settimana (28 mag - 29 mag - 30 mag) Lezione del 28 maggio impartita dal Prof. G. Pezzini. Argomenti svolti: Il teorema del punto fisso di Brower, osservando che la circonferenza non è un retratto del disco. Teorema di Borsuk e due sue dimostrazioni. Conseguenze: ogni applicazione continua da S^2 in R^2 manda almeno due punti antipodali nello stesso punto; nessuna applicazione continua da un aperto non vuoto di R^n in R^2 è iniettiva, se n>2; per ogni n>2, lo spazio R^n non è omeomorfo a R^2. Equazioni di compatibilita' per superfici (equazione di Gauss e equazioni di Codazzi-Mainardi). Enunciato del teorema di rigidita' per superfici di R^3. Parole generate da un alfabeto. Gruppi liberi, relazioni e presentazioni di gruppi. Enunciato del teorema di van Kampen e sua dimostrazione relativamente ai generatori, con cenni sulle relazioni. Semplice connessione delle sfere e degli spazi proiettivi complessi. Quindicesima settimana (4 giu - 5 giu - 6 giu) Applicazione del teorema di van Kampen: presentazione del gruppo fondamentale delle superfici compatte orientabili e non orientabili. Abelianizzazione di un gruppo e primo gruppo di omologia. Dimostrazione del teorema fondamentale dell'algebra usando il gruppo fondamentale di S^1. Il gruppo fodamentale della tomba di Archimede. Esercizi di fine corso. Quindicesima settimana (11 giu - 12 giu) |