Programma di massima del corso
Si illustreranno alcuni concetti fondamentali di topologia generale, di argomenti di base di topologia algebrica,
e della geometria differenziale delle curve e superfici nello spazio euclideo di dimensione 3.
L'approccio alla materia non sara` esclusivamente astratto e saranno dedicati ampi spazi allo studio di esempi concreti ed allo svolgimento di esercizi
(di tutti i livelli di difficolta`). I corsi di Algebra, Geometria I e Analisi 2 sono i prerequisiti consigliati per comprendere i contenuti del corso.
Gli argomenti svolti saranno, in linea di massima, i seguenti:
Richiami di teoria degli insiemi, aritmetica cardinale. Spazi topologici, spazi metrici, funzioni continue, omeomorfismi, spazi di Hausdorff, sottospazi, prodotti topologici, quozienti.
Spazi connessi e componenti connesse, spazi compatti, compattificazione di Alexandroff. Gruppi topologici e topologia dei gruppi classici.
Identificazioni e topologia quoziente, topologia degli spazi proiettivi. Assiomi di numerabilita`,
successioni, compattezza negli spazi metrici. Omotopia, connessione per archi, gruppo fondamentale, teorema di
Van Kampen e semplice connessione delle sfere.
Rivestimenti, sollevamento dell'omotopia e azione di monodromia. Classificazione delle superfici topologiche compatte. Calcolo dei gruppi fondamentali.
Curve differenziabili in E^3, retta tangente, piano osculatore, ascissa curvilinea, curvatura, torsione, formule di Frenet, teorema di rigidità. Superfici differenziabili, piano tangente.
Prima forma fondamentale e struttura intrinseca di spazio metrico. Area di regioni limitate. Applicazione di Gauss, operatore di Weingarten e seconda forma fondamentale. Invarianti: curvature
principali, media e gaussiana. Curvatura normale di curve su una superficie, teorema di Meusnier e formula di Eulero. Cenni sulle superfici minime. Triedro mobile su una superficie,
formule di Gauss- Weingarten. Equazioni di Gauss e di Codazzi-Mainardi. Teorema egregium, isometrie locali. Curvatura gaussiana del disco iperbolico.