| LEZIONE N. | ARGOMENTI DELLA LEZIONE | FONTI |
| Lezione 1 4 marzo 2013 |
Introduzione. Esemplificazione della rilevanza dell'assioma di completezza attraverso la definizione della misura di un insieme (metodo di esaustione). Richiamo della definizione assiomatica dei reali. Esempi di campi non ordinati. Proprietà dell'estremo superiore. Enunciato dell'unicità dei campi ordinati completi. Richiamo della proprietà archimedea. Esempio di un campo ordinato non archimedeo (alla base dell'analisi non standard - dettagli per esercizio). Proprietà degli intervalli incapsulati (per esercizio: un campo ordinato archimdeo che verifica la proprietà degli intervalli incapsulati è completo). Teorema di Bolzano-Weierstrass per le successioni (con dimostrazione). | Appunti di
D'Ancona-Nesi-Mascia-Orsina Giusti Cecconi-Stampacchia |
| Lezione 2 6 marzo 2013 |
Successioni di Cauchy. Le successioni convergenti sono di Cauchy. Le succesioni di Cauchy in R sono convergenti. Contruzione di Cantor dei reali come completamento dei razionali. Densità dei razionali in R. | Giusti Cecconi-Stampacchia |
| Lezione 3 7 marzo 2013 |
Verifiche
finali sul completamento. Confronto con gli allineamenti decimali.
Spazi euclidei: richiamo di prodotto scalare e norma. Definizione di
distanza e di spazio metrico. Distanza euclidea in Rn Distanza discreta. Definizione di convergenza in uno spazio metrico. Sfere in uno spazio metrico, intorni sferici. |
Allineamenti decimali:
Cecconi-Stampacchia Spazi metrici: Rudin |
| Lezione 4 11 marzo 2013 |
Metrica di Manahttan (d1).
Metriche equivalenti. La metrica di Manahttan è equivalente
alla metrica euclidea. Generalità sui numeri complessi. Richiamo della definizione, della rappresentazione cartesiana e della rappresentazione polare, prodotto scale e norma. Formula di Eulero per i numeri complessi. Potenze e radici di numeri complessi. Esempi. Definizione di punto interno, punto esterno e punto di frontiera. Molti esempi in R e in R2 |
Rudin |
| Lezione 5 13 marzo 2013 |
Punto isolato, punto di
accumulazione di un insieme, derivato, insieme discreto, insieme
perfetto. Esempi. Convergenza di successioni in Rn
e in C.
Convergenza per componenti. La successione zn al
variare di z. Metriche equivalenti inducono la stessa convergenza.
Caratterizzazione dei punti di accumulazione usando le successioni.
Insiemi apert e insiemi chiusi. La chiusura di un insieme. Insiemi
densi. Esempi (densità degli irrazionali nei reali). Unione
numerabile di aperti è un aperto, intersezione finita di
aperti è un aperto. |
Rudin Pagani-Salsa |
| Lezione 6 14 marzo 2013 |
Teorema di
caratterizzazione della chiusura di un insieme. Caratterizzazione della
chiusura con le successioni. Introduzione alla compattezza. Compattezza
seuqnziale: esempi. Per essere compatti per successioni gli insiemi
devono essere chiusi e limitati. Teorema di Bolzano-Weierstrass in Rn
con cenni di dimostrazione (la dimostrazione completa è
lasciata
per esercizio e verra consegnata entro mercoledì 20 marzo. Definizione di ricoprimento di aperti, definizione di compatti e esempi. Ogni compatto è chiuso e limitato. |
Rudin |
| Lezione 7 18 marzo 2013 |
Insiemi sequenzialmente compatti. Equivalenza tra sequenzialmente compatti e compatti in spazi metrici (solo enunciato). Esempio di spazio metrico di dimensione infinita (l2) in cui non vale il teorema di Heine-Borel. Dimostrazione del teorema di Heine-Borel. Teorema sull'intersezione di compatti. Completezza alla Cauchy di uno spazio metrico. Gli spazi metrici compatti sono completi. Gli insiemi perfetti sono non numerabili, conseguenze. L'insieme di Cantor. | Rudin Dimostrazione di Heine-Borel: Pagani-Salsa |
| Lezione 8 20 marzo 2013 |
Classe limite di una successione (insieme di tutti i limite delle sottosuccessioni), esempi. La classe limite e' un insieme chiuso. Esempi di classe limite in R. Definizione di liminf e limsup, come estremo inferiore e superiore della classe limite. Osservazioni varie. La retta reale ampliata. Il liminf e il limsup sono nella classe limite. Esempi. Teorema di caratterizzazione del liminf e limsup (con dimostrazione per il limsup e l'altra lasciata per esercizio). Esercizio sul liminf e limsup dei rapporti di due termini successivi di una successione di termini positivi e della loro radice ennesima. | Rudin |
| Lezione 9 21 marzo 2013 |
Esercizio su liminf e
limsup.
Osservazioni sul criterio della radice e del rapporto per le serie a
termini positivi. Medie di Cesaro. Caratterizzazione della classe
limite della successione sen(n). Serie in campo complesso. Convergenza e criterio di convergenza di Cauchy. Condizione necessaria per la convergenza. Esempi. La serie geometrica in campo complesso. Osservazioni sui riordinamenti delle serie. Richiamo del criterio di Leibniz. Esempio in campo complesso. Convergenza assoluta. La convergenza assoluta implica la convergenza semplice. |
Principalmente: Rudin Per gli esempi di serie complesse: Conti |
| Lezione 10 25 marzo 2013 |
Serie di potenze nei complessi. Cerchio di convergenza e raggio di convergenza. Caratterizzazione del raggio di convergenza. Esempi. L'esponenziale complesso definito tramite la serie esponenziale. Richiami sugli sviluppi di Taylor. Esercizi: la serie di potenze con coefficienti i numeri di Fibonacci (cenni sulla strategia generale per l'analisi delle successioni definite per ricorrenza, le successioni definite per ricorrenza tramite una legge crescente sono monotone, punti fissi); serie che e' asintoticamente equivalente a una serie di potenze. | Rudin |
| Lezione 11 27 marzo |
Formula di sommatoria per parti. Teorema che generalizza il teorema di Leibniz per le serie complesse. Convergenza al bordo delle serie di potenze con raggio di convergenza 1. Operazioni tra serie: somma e prodotto per un numero. Prodotto di Cauchy tra serie. Esempi di non convergenza di prodotto di serie. Teorema di Mertens sulla convergenza di prodotti di serie (senza dimostrazione). Osservazioni sulla proprieta' associativa nelle serie convergenti. Riordinamenti di serie. Teorema sul riordinamento di serie assolutamente convergenti. | Rudin Appunti di D'Ancona-Nesi-Mascia-Orsina |
| Lezione 12 3 aprile 2013 |
Esercizio sul prodotto di serie: serie esponenziale. Teorema di Riemann sui riordinamenti di serie semplicente convergenti (dimostrazione nel caso di un riordinamento che fa convergere la serie a zero). Esempio di riordinamento per le serie complesse. Serie reali semplicemente convergenti, ma non assolutamente convergenti hanno la serie delle parti positive e quella delle parti negative divergente. Esempio esplicito di riordinamento della serie che converge a log 2. | Rudin Appunti di D'Ancona-Nesi-Mascia-Orsina |
| Lezione 13 4 aprile 2013 |
Introduzione agli
integrali impropri, confronto con le serie. Integrabilità
impropria sull'insieme [a,
+∞). Esempi. L'integrabilità impropria di 1/xα . Criterio integrale per le serie. Applicazione a varianti della serie armonica generalizzata. Integrabilità su tutta la retta, esempio della funzione segno (o varianti) e osservazioni sul collegamento con le serie. Integrale improprio in (a,b]. Esercizio da consegnare la settimana prossima: mostrare che se f è limitata in (a,b] e Riemann integrabile in [c,b], per ogni c>a, allora è Riemann integrabile in [a,b]. |
Appunti di D'Ancona-Nesi-Mascia-Orsina |
| Lezione 14 8 aprile 2013 |
Altri esempi di integrali impropri. Gli infiniti e gli infinitesimi campione. Osservazioni sulla necessità di controllare l'integrabilità in senso improprio separatamente in ogni punto in cui non c'e' integrabilità secondo Riemann. L'esempio di 1/x e il valore principale. L'integrale improprio delle funzioni positive o converge o diverge. Il criterio del confronto. Il criterio del confronto asintotico. Funzioni asintoticamente equivalenti. Esempi. L'integrale della funzione Gaussiana. La funzione Gamma: definizione. Interpolazione del fattoriale. Comportamento asintotico (senza dimostrazione) della funzione Gamma: la formula di Stirling. | Appunti di
D'Ancona-Nesi-Mascia-Orsina Funzione Gamma: Rudin |
| Lezione 15 10 aprile 2013 |
Ulteriori osservazioni sulla funzione Gamma, derivabilità e caratterizzazione della derivata (per esercizio). Esercizio sull'integrabilità in [1,+∞) della funzione f(1/x). Se una funzione ha limite all'infinito diverso da zero non è integrabile. Funzioni di segno variabile, esempi di integrali convergenti. Osservazioni sulla dipendenza dell'integrale dal modo di ricoprire il dominio di integrazione. Integrali assolutamente convergenti. Integrali assolutamente convergenti sono convergenti. Integrale di Dirichlet e sue generalizzazioni. | Appunti di D'Ancona-Nesi-Mascia-Orsina |
| Lezione 16 11 aprile 2013 |
Integrale di Fresnel.
Esempio di una
funzione integrabile assolutamente che non tende a zero all'infinito.
Esercizio sul decadimanto a zero delle code di un integrale convergente
(tipo proprietà di Cauchy). Studio di una funzione integrale. Funzioni tra spazi metrici. Vari esempi di funzioni tra spazi metrici finito dimensionali: funzioni di due variabili, funzioni vettoriali, curve parametriche del piano e dello spazio, funzioni complesse. |
Appunti di
D'Ancona-Nesi-Mascia-Orsina Rudin Pagani-Salsa |
| Lezione 17 15 aprile 2013 |
Limite di funzioni tra
spazi metrici.
Osservazioni sul limite. Esempi di limiti di funzioni di due variabili.
Teorema ponte. Unicità del limite e operazioni con i limiti.
Funzioni continue in un punto, funzioni continue in un insieme.
Continuità delle funzioni lineari tra spazi euclidei. Altri
esempi di funzioni di due variabili. Continuità della
funzione
composta. Topologia relativa di E in X. Esempi. Teorema sulla caratterizzazione della continuità tramite la controimmagine degli aperti. Analogo teorema per i chiusi (lasciato per esercizio). Applicazioni ed esempi. |
Rudin |
| Lezione 18 17 aprile 2013 |
L'immagine tramite
funzioni continue
di un compatto è compatta (per esercizio da consegnare il 29
aprile la dimostrazione che fa uso della nozione di compattezza
sequenziale). Conseguenze: teorema di Weierstrass per le funzioni reali
continue da un compatto (dimostrazione). Esempio per determinare il
minimo di una funzione definita su tutto R.
Nozione di coercività. Funzioni semicontinue inferiormente e
superiormente. Esempi. Versione debole del teorema di Weierstrass: una
funzione reale coerciva, semicontinua inferiormente ammette minimo. Il problema dell'estensione delle funzioni continue. Estensione di funzioni Lipschitziane. Definizione di uniforme continuità. Osservazioni: differenze con la sola continuità, modulo di continuità. Le funzioni Lipschitziane sono uniformemente continue. Esempi. |
Rudin (teoria e esercizi) |
| Lezione 19 18 aprile 2013 |
Teorema di Heine-Cantor (le funzioni continue definite in un compatto sono uniformemente continue), dimostrazione per successioni. Esempi e applicazioni. Se f e g sono due funzioni asintotiche all'infinito, allora se g è uniformemente continua in [a, +∞) allora lo è anche f; applicazioni. Le funzioni uniformemente continue in R sono sublineari, ma non è vero il viceversa. Esercizi teorici sulle funzioni uniformemente continue. | Rudin |
| Esercitazione 19 aprile 2013 |
Esercitazione di riepilogo per l'esonero. | Questi sono gli esercizi svolti con le soluzioni |
| Lezione 20 29 aprile 2013 |
Estendibilità delle funzioni uniformemente continue. Integrabilità secondo Riemann delle funzioni continue. Omeomorfismi. Insiemi separati. Connessione. Esempi. Cenni di connessione per spezzate e per archi. Esercizio:un insieme commesso di Rn è connesso. Caratterizzazione dei connessi di R. L'immagine dei connessi secondo una funzione continua è un insieme connesso. | Rudin |
| Lezione 21 30 aprile 2013 |
Successioni e serie di funzioni. Molti esempi. Convergenza puntuale. Il problema di scambiare due limiti. Esempio di una successione a due indici. Proprietà che si mantengono al limite con la convergenza puntuale: segno, monotonia, convessità. Difetti della convergenza puntuale: proprietà che non si mantengono al limite con la sola convergenza puntuale: limitatezza, continuità, derivabilità, integrabilità, passaggio al limite sotto il segno di integrale (controesempi). Convergenza uniforme. Osservazioni e esempi. | Rudin Appunti di D'Ancona-Nesi-Mascia-Orsina |
| Lezione 22 6 maggio 2013 |
Definizione di convergenza uniforme. Esempi e osservazioni. Caratterizzazione della convergenza uniforme con il sup. Osservazioni sul criterio dell'estremo superiore, esempi di utilizzo. Criterio di Cauchy per la convergenza uniforme. Applicazione al criterio di convergenza uniforme per le serie di funzioni. Esempio della serie di termine generico xn/n2. Esempio della serie geometrica. Proprietà della convergenza uniforme. una successione di funzioni limitate che convergono uniformemente convergono a una funzione limitata, i sup convergono al sup del limite e gli inf convergono all'inf del limite (fare quest'ultima cosa per esercizio). Teorema di inversione dei limiti. Conseguenza: funzioni continue che convergono uniformemmente hanno come limite una funzione continua. Osservazioni e esempi. Enunciato del teorema che garantisce la convergenza uniforme di successioni monotone di funzioni continue in un compatto che convergono a una funzione continua. | Rudin Appunti di D'Ancona-Nesi-Mascia-Orsina |
| Lezione 23 8 maggio 2013 |
Teorema sulla convergenza uniforme delle successioni monotone di funzioni. Esercizio: provare che se una successione di funzioni uniformemente continue converge uniformemente, allora il limite è uniformemente continuo. Norma del sup sullo spazione delle funzioni continue e limitate. Metrica uniforme, intorni e convergenza. Completezza dello spazio delle funzioni continue con la metrica uniforme. Lo spazio delle funzioni continue non ha dimensione finita. Integrale e convergenza uniforme. Integrali impropri (attenzione in generale non basta la convergenza unifome per passare al limite sotto il segno di integrale, esempio). Convergenza dominata. Applicxazione alla derivata della funzione Gamma. Convergenza uniforme e derivabilità. | Rudin |
| Lezione 24 9 maggio 2013 |
Teorema sulla convergenza delle derivate (con dimostrazione semplificata nel caso in cui la successione sia data da funzioni derivabili con derivate continue). Esempio di una funzione non derivabile in tutti i punti (senza dimostrazione). Convergenza totale delle serie. Esempio di una serie convergente uniformemente ma non totalmente. Funzioni equilipschitziane. Dimostrazione del fatto che una successione di funzioni equilipschitziane, convergenti puntualmente in un compatto, convergono uniformemente. Stesso risultato per funzioni solo equicontinue. Esempi di successioni limitate nella norma del sup ma da cui non si puo' estrarre una sottosuccessione convergente uniformemente. Il problema della caratterizzazione dei compatti negli spazi che non hanno dimensione finita. Teorema di Ascoli-Arzelà (con dettagli per il procedimento diagonale che permette di estrarre una sottosuccessione convergente puntualmente in un denso, e cenni sulle conclusioni). | Rudin |
| Lezione 25 13 maggio 2013 |
Alcune precisazioni sulla
dimostrazione di Ascoli-Arzelà. Teorema di Weiestrass sulla
densità dei polinomi. Convergenza uniforme delle serie di potenze e convergenza della serie delle derivate. Caratterizzazione dei coefficienti della serie di potenze. Le somme di serie di potenze sono derivabili infinite volte. Funzioni analitiche. Criterio di sviluppabilità in serie di Taylor. Esempi di funzioni derivabili infinite volte e non analitiche. Analiticità delle serie di potenze. Esempi. Osservazioni sul raggio di convergenza. |
Rudin Courant-John |
| Lezione 26 15 maggio 2013 |
Osservazioni sul raggio di
convergenza e sull'importanza di considerarlo in campo complesso.
Esempi. Teorema sull'identita' delle serie di potenze: se l'insieme
dove due serie di potenze ammette un punto di accumulazione allora
queste coincidono ovunque, ossia hanno gli stessi coefficienti. Esempi.
Enunciato del teorema di Abel (senza dimostrazione) che garantisce la
continuità fin sul bordo delle serie di potenze quando la
serie calcolata sul punto del bordo in questione sia convergente.
Applicazioni: la serie del logaritmo. La serie dell'arco tangente. Ricapitolazione con esempi di funzioni analitiche: la funzione esponenziale e le sue proprietà, l'esponenziale complesso, la formula di Eulero. La serie delle funzioni trigonometriche, le funzioni trigonometriche complesse. Le funzioni iperboliche. Per esercizio: la serie binomiale. |
Rudin |
| Lezione 27 16 maggio 2013 |
Introduzione. Osservazioni
sul teorema di Stone Weierstrass (algebre che separano i punti). I
polinomi trigonometrici. Derivata e integrale di un polinomio
trigonometrico. Forma esponenziale di un polinomio trigonometrico.
Ortonormalità dei polinomi trigonometrici (ossia l'integrale
su un periodo di eikx). Caratterizzazione dei
coefficienti di un polinomio trigonometrico. Serie di Fourier, coefficienti di Fourier. Osservazioni sulla corda vibrante: i suoni come sovrapposizione di più arminiche (eventualmente infinite). Osservazioni varie: criterio sufficiente di convergenza uniforme, periodicità diverse, la serie di Fourier di una funzione definita in un intervallo ma non periodica (estendendola per periodicità), le serie di Fourier delle funzioni pari e delle funzioni dispari. Esempio: la serie di Fourier della funzione 1 periodica x-[x] (osservazione sul fatto che non puo' convergere in tutti i punti). |
Rudin Pagani-Salsa, Analisi 2 Appunti sulle serie di Fourier |
| Lezione 28 20 maggio 2013 |
Serie di Fourier della funzione x2 nell'intervallo [-π,π]. Teorema sullo scarto quadratico medio: le somme di Fourier tra tutti i polinomi trigonometrici minimizzano lo scarto quadratico medio con f. Osservazioni sull'ortonormalità dei polinomi trigonometrici. Disuguaglianza di bessel e Lemma di Riemann-Lebesgue. Per esercizio lemma di Riemann Lebesgue. Nucleo di Dirichlet, convoluzione. Osservazioni (per esercizio) la convoluzione ha un effetto regolarizzante. | Rudin Pagani-Salsa, Analisi 2 Appunti sulle serie di Fourier |
| Lezione 29 22 maggio 2013 |
Teorema sulla convergenza puntuale della serie di Fourier. Località della serie di Fourier. Esercizio sulla serie di Fourier di una funzione costante a tratti. Convergenza della serie di Fourier nei punti di discontinuità. Osservazioni sulla convergenza uniforme della serie di Fourier per funzioni C1 a tratti. Identita' di Parseval per funzioni C1 a tratti e conseguenze (osservazioni sulla sua validità più in generale). Cenni sul fenomeno di Gibbs e sulle somme di Cesaro (polinomi di Frejèr). | Rudin Appunti sulle serie di Fourier Approfondimenti sul fenomeno di Gibbs |
| Lezione 30 23 maggio 2013 |
Introduzione alle equazioni
differenziali attraverso gli esempi: 1) Esempi matematici già
incontrati fino ad ora: la ricerca della primitiva, la
caratterizzazione della somma della serie binomiale, la
caratteriziazione diffenziale dell'esponenziale. 2) Atri esempi in vari
campi (dalla fisica alla meccanica alla biologia e economia, alla
geometria): a) La legge di Netwon e la caduta di un grave b) Legge con
cui evolve una popolazione che cresce a tasso costante c) La catenaria,
curva della catena sottoposta al proprio peso d) L'oscillazione di una
molla, oscillatore arminico, pendolo. Gli elementi di equazioni differenziali che tratteremo nelle prossime lezioni posso essere trovati in vari testi (alcuni elencati qui accanto) |
Possibili testi: Conti (molti esempi) Fusco-Marcellini-Sbordone (teoria generale) Giusti Pagani-Salsa (anche troppo ricco per i nostri scopi) Oppure i seguenti appunti del Prof. D'Ancona. |
| Lezione 31 27 maggio 2013 |
Generalità sulle equazioni differenziali ordinarie. Equazioni di ordine n in forma normale. Riduzione a sistemi di ordine 1. Definizione di soluzione di un'equazione differenziale di ordine 1, integrale generale. Problema di Cauchy, condizioni iniziali. Equazioni differenziali lineari del primo ordine: a coefficienti costanti (omogenee e non omogenee). Struttura di spazio vettoriale dell'integrale generale dell'equazione omogenea, struttura di spazio affine dell'equazione non omogenea; Soluzione particolare; formula di risoluzione delle equazioni lineari del primo ordine (con coefficienti continui); esempi. Esempi di esistenza locale per equazioni diffenziali non linaeri. Equazioni a variabili separabili. | Conti |
| Lezione 32 29 maggio 2013 |
Definizione di soluzione locale al problema di Cauchy per un sistema del primo ordine. Lipshitzianità locale. Teorema di Cauchy sull'esistenza di un unica soluzione locale per il prblema di Cauchy per un sistema del primo ordine. Dimostrazione del teorema: caratterizzazione integrale della soluzione, approssimazioni successive. Esempio delle delle approssimazioni successive. Esempio di problema in cui non c'è unicità della soluzione (pennello di Peano). Cenni sull'enunciato sul teorema di Peano sull'esistenza delle soluzioni per dati continui. | Conti Fusco-Marcellini-Sbordone Appunti del Prof. D'Ancona. |
| Lezione 33 30 maggio 2013 |
Prolungabilità delle soluzioni. Teorema di prolungabilità. Soluzioni massimali. Definizione di soluzione globale. Teorema di esistenza di una soluzione globale (con cenni di dimostrazione) sottto l'ipotesi di lipschitzianità globale in y. Esempio di non soluzione globale. Esempio di un problema senza lipschitzianità globale per il quale esiste soluzione globale (che chiarisce che la lipschitzianità globale è una condizione solo sufficiente per l'esistenza della soluzione globale). Specializzazione dei risultati generali appena visti al caso dei sistemi lineari del primo ordine (esistenza globale per coefficienti continui). Formulazione di un'equazione differenziale lineare di ordine n in termini di un sistema di ordine uno. Problema di Cauchy per equazioni di ordine n (esitenza e unicità). Teorema sulla caratterizzazione dell'integrale generale di un sistema lineare omogeneo di ordine n, come uno spazione vettoriale di dimensione n (specializzzaione di questi risultati alle equazioni lineari omogenee di ordine 2). | Conti Fusco-Marcellini-Sbordone Appunti del Prof. D'Ancona. |
| Lezione
34 3 giugno 2013 |
Struttura dell'insieme delle soluzioni di un sistema lineare non omogeneo di ordine 1 (analogamente per equazioni lineari non omogenee di ordine n), spazio affine. Soluzione particolare. Metodo di variazione delle costanti. Wronswkiano. Esempi. Specializzazione al caso delle equazioni lineari a coefficienti costanti. Fattorizzazione dell'operatore lineare di ordine n. Equazione caratteristica, soluzioni indipendenti. Determinazione degli integrali generali delle equazioni lineari omogenee del secondo ordine a coefficienti costanti. | Appunti del Prof. D'Ancona. Conti |
| Lezione 35 5 giugno 2013 |
Alcuni esempi di soluzioni di equazioni non omogenee a coefficienti costanti. Risonanza. Esercizi sulle equazioni differenziali a coefficienti costanti del secondo ordine. | Appunti del Prof. D'Ancona. Conti |
| Lezione
36 6 giugno 2013 |
Esercitazione di riepilogo per l'esonero (aperta a tutti) | Testo dell'esrcitazione |