Geometria Superiore
Prima settimana (5 mar - 7 mar) Introduzione al corso. Richiami sul teorema egregium e teorema di Gauss- Bonnet. Caratteristica di Eulero. Omologia di un complesso simpliciale: il tetraedro. Complessi di celle e CW-complessi. Esempi: sfere, spazi proiettivi reali e complessi, superfici compatte orientabili. Numeri di Betti e caratteristica di Eulero. Questi argomenti si trovano in [DFN], vol. III, Cap. 1, paragrafi 1,2,3,4. Seconda settimana (12 mar - 14 mar) Metrica di Fubini-Study di CP^n e sua forma di Kaehler. Suo integrale su CP^1, forma di Kaehler del disco di Poincar\'e. Omologia e coomologia di CP^n e delle superfici compatte orientabili. Variet\`a di Stiefel e di Grassmann. Descrizione della quadrica di Klein. Questi argomenti si trovano ancora in [DFN], vol. III, Cap. 1, paragrafi 1,2,3,4. Per la metrica di Fubini-Study si pu\`o vedere wikipedia: http://en.wikipedia.org/wiki/Fubini%E2%80%93Study_metric Per le coordinate pl\"uckeriane di retta in P^3 e la quadrica di Klein si pu\`o vedere in E. Sernesi, Geometria I, due pagine del Cap. 3. Per le variet\`a di Stiefel e Grassmanniane [DFN], vol. II, Cap. 1, paragrafo 5, o ancora le seguenti due pagine di wikipedia: http://en.wikipedia.org/wiki/Stiefel_manifold http://en.wikipedia.org/wiki/Grassmannian Terza settimana (19 mar - 21 mar) Struttura differenziabile sulle grassmanniane e loro struttura di CW-complesso. Simboli di Schubert e descrizione esplicita delle celle sulla quadrica di Klein. Struttura dell'algebra di coomologia di de Rham delle grassmanniane reali e complesse. Fibrati vettoriali differenziabili reali e complessi, esempi, sezioni, fibrati indotti e fibrati tautologici sulle grassmanniane. Questi argomenti si trovano in [MS], paragrafi 2, 5, 6, 14, 15, oppure in [BT], Ch. 4. Quarta settimana (26 mar) Applicazioni di Gauss su grassmanniane associate a fibrati vettoriali reali, reali orientati e complessi. Grassmanniane infinite e classificazione dei fibrati vettoriali su base paracompatta con le classi di omotopia di funzioni continue a valori nei rispettivi spazi classificanti. Classi caratteristiche universali di Stiefel-Whitney, di Chern, di Pontrjagin e di Eulero. Questi argomenti si trovano in [MS], paragrafo 5, oppure in [BT], Ch. 4, paragrafo 23 e Ch. 1, teorema 6.8. Quinta settimana (4 apr) Dimostrazione della proprieta' di omotopia dei fibrati vettoriali. Banalita' dei fibrati su base contraibile. Cenno alla classificazione dei fibrati con assegnato gruppo strutturale, loro spazio classificante. Fibrati tautologici su grassmanniane e varieta' di Stiefel. Funtori di una o piu' variabili nella categoria degli spazi vettoriali. Costruzione di nuovi fibrati vettoriali da vecchi: fibrati duale e fibrati potenze esterne, fibrati somma diretta e prodotto tensoriale. Questi argomenti si trovano in [BT], Ch. 1, Thm 6.8 e Cor. 6.9 e precedente breve paragrafo nelle pagine precedenti (Operations on Vector Bundles). Sesta settimana (9 apr - 11 apr) Connessioni e curvatura in fibrati vettoriali reali e complessi. Riferimenti mobili, forme locali di connessione e di curvatura e loro modalita' di trasformazione per cambiamenti di riferimento. Equazioni di struttura. Connessioni metriche. Antisimmetria e antihermitianita' delle matrici di forme associate a riferimenti mobili ortonormali. Questi argomenti si trovano in [MS], Appendice C, oppure in [GH], Ch. 0, par. 5 Settima settimana (16 apr - 18 apr) Polinomi invarianti sulle algebre di Lie gl(k,C), u(k), so(k), forme differenziali costruite con forme di curvatura. Loro proprieta' di chiusura e indipendenza dalla connessione della loro classe di coomologia. Omomorfismo di Weil, caso dei fibrati universali. Strutture delle algebre dei polinomi invarianti. Rappresentazione mediante forme di curvatura delle classi di Chern e di Pontrjagin. Connessioni metriche e rappresentazione della classe di Eulero. Questi argomenti si trovano in [MS], Appendice C, oppure in [GH], Ch. 0, par. 5 Settimana delle prove in itinere (22 apr, ore 9-13) Seminari di Vallocchia, Giacomelli, Prestipino, Toffoli su strutture complesse e quasi complesse. Seminari di Fedele, Tripoli, Martone su forme differenziali e olomorfe. Vedi pagina "Seminari degli studenti" per versioni scritte e indicazioni bibliografiche. Ottava settimana (30 apr - 2 mag) Seminari di Rinaldi, Gravina, Ghinassi, Braghiroli su fibrati olomorfi e hermitiani, fibrati in rette e divisori. Seminari di Cuzzucoli, Cipriani, Federici, Onorati su metriche hermitiane e kaehleriane. Vedi pagina "Seminari degli studenti" per versioni scritte e indicazioni bibliografiche. Nona settimana (7 mag - 9 mag) Numeri caratteristici di Chern, Pontrjagin, Eulero, Stiefel-Whitney. Implicazioni della dualita' di Poincere' sulla caratteristica di Eulero di varieta' compatte orientate. Segnatura e suo confronto con la caratteristica di Eulero. Annullamento della segnatura su varieta' bordo. Classi di cobordismo di varieta' compatte orientate e segnatura. Teorema di struttura dell'anello di cobordismo orientato. Questi argomenti si trovano in [MS], capitoli 16, 17, 18, oppure in T. Weston, An introduction to cobordism theory, capitolo 3, https://www.math.umass.edu/~weston/ep.html , o anche in A. Kupers, Oriented bordism: calculation and application, http://math.stanford.edu/~kupers/ (October 15th, 2012, Kiddie Seminar). Decima settimana (14 mag - 16 mag) Seminari di De Biase, Alese, Carocci, Fatighenti su operatori naturali su varieta' riemanniane e kaehleriane. Seminari di Bertini, Meazzini, Dolce, Zaccanelli su teoria di Hodge e di Dolbeault. Vedi pagina "Seminari degli studenti" per versioni scritte e indicazioni bibliografiche. Undicesima settimana (21 mag - 23 mag) Seminario di Romano su aspetti fisico-matematici. Seminari di Roberti, Marchetti si esempi di metriche kaehleriane. Seminari di Maltempi, Perrotti, Rico, Montelucci su gruppi di Lie, fibrati principali e fibrati associati. Vedi pagina "Seminari degli studenti" per versioni scritte e indicazioni bibliografiche. Dodicesima settimana (28 mag) Seminari di Vignoli, D'Ambra, Tucci, Magagnoli su connessioni su fibrati principali, trasporto parallelo, olonomia riemanniana e olonomie kaehleriane. Vedi pagina "Seminari degli studenti" per versioni scritte e indicazioni bibliografiche. Ancora dodicesima settimana (30 mag) Annullamento dei numeri di Pontrjagin su varieta' bordo. Successioni moltiplicative, L-genere e formula della segnatura di Hirzebruch. Questi argomenti si trovano in [MS], capitolo 19. Tredicesima settimana (4 giu) Seminari di Dimonte, Mele, Masullo, Inguscio su coomologia e classi caratteristiche di spazi proiettivi reali e complessi, classi di Stiefel-Whitney e fibrati principali universali. Vedi pagina "Seminari degli studenti" per versioni scritte e indicazioni bibliografiche. Bibliografia [DFN] Dubrovin - Fomenko - Novikov, Modern Geometry: vol. I-II-III oppure in italiano: Geometria contemporanea, vol. I-II-III. [BT] Bott - Tu, Differential Forms in Algebraic Topology. [GH] Griffiths - Harris, Principles of Algebraic Geometry. [MS] Milnor - Stasheff, Characteristic classes. |