Corso di Geometria Algebrica 2015/16 - Laurea Magistrale in Matematica

II semestre

Lunedì e mercoledì 11-13 in aula C. Inizio 2 marzo 2016.

Programma: L'obiettivo del corso è quello di dare alcuni concetti base di geometria algebrica mediante tecniche ed argomenti tipici del corso di variabile complessa, che deve pertanto essere considerato come prerequisito essenziale. Gli argomenti trattati saranno, in linea di massima, i seguenti:
  • Fasci e coomologia di Cech.
  • Successioni spettrali e teorema di Leray dei rivestimenti aciclici.
  • Funzioni olomorfe di più variabili complesse, teoremi di Hartogs e Vitali.
  • Fattorizzazione unica nell'anello locale delle funzioni olomorfe.
  • Varietà complesse.
  • Coomologia di Dolbeault.
  • Coomologia dello spazio proiettivo.
  • Funzioni meromorfe e divisori.
  • Teorema di Siegel e dimensione algebrica.
  • Dimensione di Kodaira.
  • Teorema di finitezza coomologica per fibrati olomorfi su varietà complesse compatte.

    • Dispense e riferimenti bibliografici:

  • Dispense di Aldo Andreotti.
  • Coomologia dei fasci.
  • Appunti del corso 2012-13 (Salvatore Dolce).
  • Tesi triennale di Sara Pirozzi.
  • Dispense del corso 2003-2004.
  • From Sheaf Cohomology to the Algebraic de Rham Theorem.
  • Capitoli 1,2,3 del libro di K. Kodaira "Complex manifolds and deformations of complex structures"
  • Alcune parti del libro di S.S. Chern ``Complex manifolds without potential theory''
  • Alcuni paragrafi del libro di Fritzsche e Grauert "From holomorphic functions to complex manifolds"
  • Alcune parti del Libro di Gunning e Rossi ''Analytic functions of several complex variables."
  • P. Griffiths: "Topics in algebraic and analytic geometry" Princeton University Press (1974)

    • Diario delle lezioni


    2-3-2016: fasci e prefasci, esempi, morfismi e spighe.
    7-3-2016: nucleo ed immagine di un morfismo di fasci, successioni esatte e risoluzione canonica.
    9-3-2016: conucleo di un morfismo di fasci, proprietà della risoluzione canonica. Coomologia. Fasci fiacchi. Ogni fiacco è aciclico. Teorema di de Rham delle risoluzioni acicliche.
    14-3-16: i fasci delle forme differenziali su una varietà sono aciclici. Cocatene di Cech, coomologia di Cech relativa ad un ricoprimento aperto. Le cocatene di Cech alternanti danno la medesima coomologia (senza dimostrazione). I fasci fiacchi sono Cech-aciclici.
    16-3-16: Teorema di Leray dei ricoprimenti aciclici. Immagine diretta ed inversa di fasci. Immagini dirette di immersioni chiuse non cambiano la coomologia.
    21-3-16: Proprietà universale del fascio immagine inversa. Morfismo in coomologia indotto da un'applicazione continua. La coomologia dei fasci localmente costanti è un invariante omotopico. Calcolo della coomologia intera delle sfere.
    23-3-16: Caratterizzazione dell'H^1 in termini di cocicli di Cech. Fibrati vettoriali (di classe C^infinito), prima classe di Chern dei line bundles. Classificazione topologica dei line bundles sulla sfera di Riemann.
    4-4-2016: Funzioni olomorfe in più variabili, funzioni separatamente olomorfe e formula di Cauchy per i polidischi. Il teorema di Vitali.
    6-4-16: principio di identità, principio del massimo, lemma di Schwarz e teorema di Hartogs. Anello dei germi e suo ideale massimale. Serie di potenze convergenti come colimite di algebre di Banach.
    11-4-16: teoremi di divisione e preparazione di Weierstrass. Pseudopolinomi, polinomi di Weierstrass e fattorizzazione unica nell'anello dei germi.
    13-4-16: Forme differenziali, operatori de e debar, complesso di Dolbeault su un aperto di C^n, dimostrazione del lemma di Dolbeault.
    (lezione 12) 27-4-16: applicazioni olomorfe, biolomorfismi, varietà complesse, teorema di invertibilità locale, principii di identità e del massimo. Esempi: spazio proiettivo, ipersuperfici, tori complessi, varietà di Hopf e Iwasawa.
    2-5-16: fibrati vettoriali olomorfi e fasci delle loro sezioni. Line bundles sullo spazio proiettivo e loro sezioni. Gruppo di Picard. Teorema di finitezza per le sezioni globali di un line bundle su una varietà compatta.
    4-5-16: coomologia dei line bundles sullo spazio proiettivo. Basi di trascendenza.
    9-5-16: fibrato canonico e plurigeneri, il fibrato canonico nello spazio proiettivo. Anello canonico e dimensione di Iitaka-Kodaira. Il campo delle funzioni meromorfe.
    11-5-16: chiusura algebrica dei campi Q(X,L) nel campo delle funzioni meromorfe. Ogni funzione meromorfa è quoziente di due sezioni di un line bundle. Dimensione algebrica. Chiusi analitici e connessione del complementare. Teorema di estensione di Riemann.
    16-5-16: indipendenza analitica di funzioni meromorfe. Indipendenza analitica implica indipendenza algebrica ed il viceversa nel caso compatto.
    18-5-16: Teorema di Siegel. Sistemi lineari e morfismi nello spazio proiettivo. Dimensione di Iitaka-Kodaira del line bundle L come massimo rango delle applicazioni associati a sistemi lineari completi delle potenze di L.
    23-5-2016: Divisori di Cartier e line bundles associati, divisori effettivi, divisore di una sezione di line bundle, sezioni di line bundle come funzioni meromorfe con poli assegnati. Divisori di Weil ridotti e loro luogo singolare.
    25-5-2016: equazioni locali, teorema degli zeri per ipersuperfici analitiche, luogo discriminante.
    30-5-2016: Connessione del luogo regolare di un germe irriducibile di ipersuperfice, divisori primi, gruppo dei divisori di Weil e isomorfismo con il gruppo dei divisori di Cartier. Formula di aggiunzione per sottovarietà.