Soprattutto 2 (con dimostrazioni un po' diverse) 5 (note del Professor Orsina)

Esempio dello spazio normato delle funzioni continue in un intervallo chiuso e limitato. Norma uniforme e norma L¹ . Prova che le due norme non sono uniformi.

Definizione di punto interno, punto esterno, frontiera, punti di accumulazione di un insieme. Insiemi discreti e punti isolati. Esempi. Dimostrazione che un insieme con un punto di accumulazione contiene infiniti punti. Esempi di varie successioni. 

Teorema di caratterizzazione della chiusura in termini sequenziali: un punti x appartiente alla chiusura di E se e soltanto se esite una successione in E che converge a x. Definizione di ricoprimento di aperti. Definizione di compatto in uno spazio metrico. Esempi in R. Teorema: Un compatto è chiuso. Teorema di Weierstrass, un sottoinsieme infinito di un compatto ha un punto di accumulazione. Richiamo sulla proprietà degli intervalli incapsulati in R e analoga proprietà per famiglie di compatti. La proprietà di intersezione non vuota per successioni di N-celle incapsulate (lasiata per esercizio da consegnare lunedì 16). Enunciato del teorema di Heine Borel per i compatti di R^N. Esempio di un insieme infinito di l² contentuto nella palla unitaria che non sia compatto. Come conseguenza si ha che in l² la palla unitaria non è compatta.

Dimostrazione del Teorema di Heine-Borel e caratterizzazione dei compatti di R^N. Teorema di Bolzano-Weierstrass in R^N. La compattezza sequenziale è equivalente alla compattezza (senza dimostrazione). Come esercizio la prova che i compatti negli spazi metrici sono limitati. Esempio infinito dimensionale in cui la palla unitaria non è compatta: lo spazio l². Compattezza del cubo di Hilbert delle successioni il l² con il termine j-esimo stimato da 1/j. Generalizzazione. Lasciato in sospeso l'argomento diagonale per estrarre una sottosuccessione che faccia convergere tutte le componenti di una successine di successioni, ossia che garantisca la convergenza puntuale. L'argomento verrà ripreso in futuro.

Definizione della classe limite di una successione. Enunciato del teorema che garantisce che la classe limite di una successione è un insieme chiuso. Esempi di classe limite. Definizione della retta reale estesa. Mostrare per esercizio che la metrica dell'arctan definisce una metrica in R estesa.

Ancora sulla classe limite di una successione in uno spazio metrico. Dimostrazione della chiusura della classe limite. Esercizio: mostrare che la retta reale estesa con la metrica dell'arco tangente è compatta (esercizio 25). Definizione di liminf e limsup di una successione reale. Esempi. Caratterizzazione del liminf e del limsup. Esercizi difficili: 30, 34, 35 del foglio di esercizi. Successioni di Cauchy negli spazi metrici. Richiamo sulla caratterizzazione di Cauchy delle successioni di Cauchy in R. Estensione al caso di R^N. Cenni sul fatto che un campo ordinato in cui vale la proprietà Archimedea, verifica la proprietà dell'estremo superiore (lasciato per esercizio). 

Definizione di completezza alla Cauchy per uno spazio metrico. Teorema: Ogni spazio metrico compatto è completo. Esempi di spazio metrici non completi: I razionali con la metrica indotta dal modulo; lo spazio delle funzioni continue con la metrica d₁ (esempio di una successione di funzioni che è di Cauchy rispetto a tale metrica ma converge a una funzione non continua). Completamento di uno spazio metrico (teorema generale con cenni sui passi della dimostrazione - alcuni punti lasciati per esercizio). Applicazione dello schema generale alla costruzione dei reali come completamento dei razionali.

1 (in un esercizio i passi principali del completamento)

5 e 7 (per i dettagli del completamento dei razionali)

Funzioni tra spazi metrici. Esempi di funzioni scalari di più variabili reali, di funzioni vettoriali, di funzioni complesse. Grafici di alcune funzioni (superfici e curve nello spazio). Definizione di limite per funzioni tra spazi metrici. Unicità del limite (dimostrazione lasciata per esercizio). Esempi di limiti di funzioni di due variabili. Teorema ponte. Operazioni con i limiti di funzioni a valori reali e a valori complessi. Definizione di funzione continua. Continuità delle funzioni affini da Rⁿ a R^m. Altri esempi. Continuità della funzione composta. Rapporto tra topologia e continuità. Una funzione tra spazi metrici è continua se e solo se la contr immagine di un aperto `´un aperto. Enunciato analogo con i chiusi (per esercizio). Osservazioni sulle topologie relative.

Conseguenze della caratterizzazione topologica delle funzioni continue. L'insieme degli zeri di una funzione continua è un chiuso; due funzioni continue che coincidono in un denso coincidono ovunque. Esercizi. Ancora su continuità e topologia: l'immagine di un compatto è compatta (lasciata per esercizio la dimostrazione alternativa con la compattezza sequenziale - da consegnare a gruppi di 2-4 persone l'8 aprile). Teorema di Weierstrass per funzioni continue tra spazi metrici (dimostrazione con le successioni). Generalizzazione per il caso di funzioni da Rⁿ a R^m alle funzioni coercive (in sostituzione della compattezza) e semicontinue inferiormente. Definizione di semi-continuità inferiore. Caratterizzazione con la chiusura dei sottolivelli (per esercizio). Come applicazione del teorema di Weierstrass: tutte le norme in Rⁿ sono equivalenti. Definizione di uniforme continuità.

Teorema sulla continuità dell'inversa di una funzione continua sul compatto. Esercizio: la funzione distanza è continua. Come conseguenza si ha che gli intorni sono aperti. Definizione di funzione Lipschtz. Teorema di estensione delle funzioni Lipschitz alla chiusura del dominio. Per esercizio: formula di estensione delle funzioni Lipschitz al complementare del dominio. Funzioni uniformemente continue: esempi. Per esercizio: estendibilità delle funzioni uniformemente continue. Caratterizzazione delle funzioni uniformemente continue attraverso il modulo di continuità. Calcolo del modulo di continuità in alcuni esempi. Funzioni Holderiane. Teorema di Heine Cantor (con dimostrazione sequenziale). Esempi e controesempi. Esercizio: se due funzioni reali sono asintotiche all'infinito, allora se una è uniformemente continua lo è anche l'altra (per esercizio). Conseguenza: le funzioni continue in R che hanno asintoti all'infinito sono unifomemente continue.

Applicazione dell'uniforme continuità: integrabilità delle funzioni continue. Esercizi sulle funzioni uniformemente continue. Introduzione al problema di punto fisso. Esempi: Ricerca degli zeri, algoritmo di Newton, cenni sui sistemi dinamici, esempi di equazioni differenziali. Definizione di contrazione. Il teorema delle contrazioni (di Banach-Caccioppoli).

Esercizi sul teorema delle contrazioni. Esercizi sulle funzioni uniformemente continue: una funzione uniformemente continua in R è sublineare. Introduzione agli integrali impropri. Esempi. Definizione di integrale improprio in una semiretta. Definizione di integrale improprio di una funzione non limitata in un intervallo. Esempi: le potenze di x. Esercizi.

Ripasso sulla definizione di integrale improprio. Esercizi di integrali impropri in cui si calcola esplicitamente la primitiva. Integrabilità della funzione Gaussiana su R. Criterio del confronto per funzioni positive. Criterio del confronto asintotico. Applicazioni ed esempi. Esempio di una funzione integrabile in senso improprio su tutta la retta ma che non tende a zero all'infinito. Integrale delle funzioni a segno variabile. Integrabilità assoluta. Le funzioni integrabili assolutamente sono integrabili semplicemente. Esercizi.

Criterio integrale per le serie. Esercizi. Integrale di Dirichlet. Funzione Gamma. Altri esempi. Introduzione alle successioni di funzioni. Esempi. Convergenza puntuale di una successione di funzioni e di una serie di funzioni.

Proprietà che si mantengono con la convergenza puntuale: segno, monotonia, convessità. Esempi. Esempio di una successione a due indici in cui non si può scambiare l'ordine dei limiti. Esempi di successioni convergenti puntualmente che non mantengono le proprietà degli elementi della successione: limitatezza, continuità, integrabilità, passaggio al limite sotto il segno di integrale. Definizione di convergenza uniforme. Caratterizzazione della convergenza uniforme con la norma del sup. Esercizi. Criterio di Cauchy per la convergenza uniforme di una successione di funzioni a valori in uno spazio metrico completo. Conseguenza: l'insieme delle funzioni continue con la metrica del sup è uno spazio metrico completo.

Criterio di Cauchy per la convergenza uniforme delle serie di funzioni. Esempi. Proprietà della convergenza uniforme. Limite uniforme di una successione di funzioni limitate è una funzione limitata. Teorema sull'inversione dei limiti. Esempi e conseguenze. Limite uniforme di funzioni continue e una funzione continua. Esempi e controesempi. Teorema di Dini per la convergenza uniforme di successioni monotone di funzioni. Esempi e esercizi. Altre condizioni necessarie per la convergenza uniforme.

Convergenza uniforme e integrabilità. Passaggio al limite sotto il segno di integrale. Il teorema di convergenza dominata per gli integrali impropri in ipotesi di convergenza uniforme. Esempi e controesempi. Convergenza uniforme e derivate. Esercizi vari sulle successioni di funzioni.

Discussione e correzione esonero. Procedimento diagonale di Cantor per estrarre una successione convergente puntualmente su un insieme numerabile da una successione di funzioni limitata. Teorema di Ascoli Arzelà. Enunciato del teorema di Weierstrass sulla densità dei polinomi nelle funzioni continue.

Serie di funzioni. Richiami sulla convergenza uniforme e totale delle serie di funzioni. Criterio di Cauchy. Esempi ed esercizi. Serie di funzioni e continuità. Integrazione e derivazione termine a termine delle serie di funzioni e rapporto con la convergenza uniforme. Richiami sul criterio del rapporto e criterio della radice per la convergenza delle serie. Esercizi sulle serie.

Serie di potenze reali e complesse, definizione. Raggio di convergenza delle serie di potenze. Convergenza uniforme delle serie di potenze. Esempi. Richiamo del teorema di Leibniz generalizzato alle serie complesse per valutare la convergenza al bordo di alcune serie di potenze. Esempi e esercizi. Derivabilità delle serie di potenze e caratterizzazione dei coefficienti tramite le derivate della somma. Definizione di funzione analitica in un insieme. Sviluppabilità in serie di Taylor. Esempi ed esercizi.

Criterio di sviluppabilità in serie di Taylor e caratterizzazione dell'analisicità attraverso stime dlle derivate di ordine n. Serie di Taylor dell'esponenziale e delle funzioni trigonometriche. Esempio di una funzione analitica in R ma la cui serie di potenze ha raggio di convergenza 1.

Esercizi vari sulle serie di funzioni e le serie di potenze. Enunciato del teorema di Abel per la convergenza al bordo della serie di potenze. Commenti e conseguente.

Dimostrazione del teorema di Abel. Esempi di applicazione del teorema di Abel. Principio di identità delle funzioni analitiche (se l'insieme in cui due funzioni analitiche coincidono ha un punto di accumulazione le due funzioni sono coincidenti nel dominio di analiticità. Definizione della funzione esponenziale nei complessi. Enunciato del teorema di Mertens per la convergenza del prodotto di Cauchy tra serie.

Le funzioni speciali definite attraverso le serie di potenze. La serie esponenziale. Proprietà dell'esponenziale complesso e relazione con le funzioni trigonometriche complesse. La serie binomiale. Introduzione alle serie di Fourier. Polinomi trigonometrici. Coefficienti di Fourier per funzioni integrabili. Serie di Fourier. Relazione tra i coefficienti della serie in forma di esponenziali complessi e la serie con seni e coseni e coefficienti reali. Ossevazioni sull'ortogonalità delle funzioni trigonometriche. Armoniche.

Osservazioni generali sulla serie di Fourier: 1) La somma della serie di Fourier è una funzione periodica; 2) Condizioni sufficienti per la convergenza uniforme; 3) Serie di Fourier per funzioni di qualsiasi periodo. Esempio: La mantissa; la funzione x² in un intervallo simmetrico rispetto all'origine e prolungata per periodicità.

Convergenza uniforme della serie di Fourier per funzioni continue e C¹ a tratti. Convergenza della serie di Fourier nei punti di discontinuità. Integrabilità termine a termine della serie di Fourier. Fenomeno di Gibbs. Cenni sulle somme di Frejer.

Introduzione alle equazioni differenziali. Definizione di equazione differenziale di ordine n e di soluzione. Equazioni in forma normale. Esempi: il problema della primitiva, la caduta di un grave, la crescita a tasso costante e la funzione esponenziale, l'equazione logistica, la curva catenaria, l'oscillatore armonico, il sistema preda/predatore.

Come trasformare un'equazione differenziale di ordine n in un sistema differenziale di ordine 1. 

Il piano delle fasi per equazioni del secondo ordine (autonome) e per sistemi di due equazioni del primo ordine. Il ritratto di fase: esempi dell'oscillatore armonico e di Lotka Volterra.

Il problema di Cauchy.  Definizione di soluzione unica locale. Definizione di prolungamento di una soluzione, di soluzione massimale e di integrale generale. Esempio di non unicità. Equazioni a variabili separabili (strategia generale). Applicazione al caso delle equazioni lineari del primo ordine omogenee. Esempio di integrale generale di una equazione a variabili separate.

Sistemi lineari. Struttura dell'integrale generale del sistema omogeneo e del sistema non omogeneo. Matrice fondamentale del sistema. Metodo di variazione delle costanti (formula di Duhamel) per i sistemi.

Sistemi a coefficienti costanti. Costruzione della matrice fondamentale. Esponenziale di matrice. Convergenza della serie esponenziale di matrice.

Esercizi sulle equazioni differenziali.

Caso delle equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti. Applicazione all'oscillatore armonico smorzato. Integrale generale dell'equazione omogenea. Caratterizzazione dell'integrale generale a seconda di quali sono le soluzioni dell'equazione caratteristica (ossia gli autovalori della matrice dei coefficienti del sistema del primo ordine associato). Esempi. Integrale generale delle equazioni non omogenee. Metodo di variazione delle costanti (cenni). Metodo della somiglianza. Il caso della risonanza. Fine corso!