Inizio lezioni: 26 settembre 2024.
Programma Nozioni di base. Insiemi, funzioni, campi, polinomi. Il campo dei numeri complessi. Sistemi lineari. Eliminazione di Gauss, struttura delle soluzioni. Spazi vettoriali. Combinazioni lineari, sottospazi e sottospazi affini, indipendenza lineare, basi e generatori, dimensione, somma e intersezione, formula di Grassmann. Applicazioni lineari. Nucleo, immagine, Teorema della dimensione. Matrici. Algebra della matrici, matrici associate ad applicazioni lineari, rango, matrici invertibili, cambiamento di coordinate, determinanti. Diagonalizzazione. Autovalori ed autovettori, polinomio caratteristico. Forme bilineari. Prodotti scalari, prodotti hermitiani, basi ortogonali, Teorema di Sylvester, spazi vettoriali euclidei e hermitiani. Operatori autoaggiunti, isometrie lineari, Teorema Spettrale.
Testo di riferimento Abate, de Fabritiis: Geometria analitica con elementi di algebra lineare.
Altri testi di utile consultazione
Algebra lineare, per matematici
Materiale didattico a cura di Samuele Molcho.
Capitoli su spazi euclidei e forme bilieari (con molto pi\`u materiale rispetto a quanto fatto a lezione)
Exercises in linear algebra.
Gi 26-9-24 (2): il linguaggio degli insiemi, unione, intersezione, insieme delle parti. Applicazioni.
Ve 27-9-24 (4): composizione di applicazioni, immagine e restrizioni. Applicazione inversa. Prodotto cartesiano di insiemi. Estensioni quadratiche dei razionali.
Foglio di esercizi del 30 settembre 2024
Ma 01-10-24 (6): Forma cartesiana dei numeri complessi, coniugio e norma. Esistenza di radici quadrate.
Gi 03-10-24 (8): Forma polare dei numeri complessi, potenze e radici dei numeri complessi.
Ma 08-10-24 (10): Spazi vettoriali numerici; richiami sui sistemi lineari. Sistemi triangolari.
Gi 10-10-24 (12): Spazi vettoriali, esempi.
Ma 15-10-24 (14): sottospazi vettoriali, esempi, unione (che, tranne casi ovvvi, non e' un sottospazio) ed intersezione, Span, spazi vettoriali di dimensione finita.
Gi 17-10-24 (16): vettori linearmente indipendenti, lemma di estensione, basi, teorema di scambio, dimensione di uno spazio vettoriale.
Gi 24-10-24 (18): criteri per la costruzione di basi. Dimensione di sottospazi, esempi ed esercizi.
Ve 25-10-24 (20): somma e somma diretta di sottospazi. Applicazioni lineari. Matrici ed applicazioni lineari tra spazi vettoriali numerici.
Ma 29-10-24 (22): nucleo ed immagine, teorema del rango. Applicazione iniettiva se e solo se nucleo banale.
Gi 31-10-24 (24): rango di applicazioni composte, rango di matrici, matrici associate ad applicazioni lineari.
Ma 5-11-24 (26): Matrici a scala, pivot e rango. Riduzione a scala di matrici.
Gi 7-11-24 (28): Teorema di Rouche'-Capelli, riduzione di Gauss-Jordan e calcolo della matrice inversa.
Ma 12-11-24 (30): minori, rango della trasposta. Matrici diagonali. Brevi cenni su matrici simmetriche ed antisimmetriche.
Gi 14-11-24 (32): Definizione del determinante come sviluppo di Laplace rispetto alla prima riga. Matrici con una colonna o riga nulla hanno determinante 0. Matrici con due colonne adiacenti uguali hanno determinante nullo. Propriet\`a di multilinearit\`a rispetto alle colonne.
Ma 19-11-24 (34): Esercitazione scritta di allenamento ed autovalutazione. Testo della prova
Me 20-11-24 (36): Teorema di Binet e sviluppi di Laplace. Determinante della matrice di Vandermonde.
Gi 21-11-24 (38): Matrice aggiunta e calcolo della matrice inversa. Teorema di Cramer.
Ma 26-11-24 (40): matrici simili, condizioni necessarie per la similitudine, polinomio caratteristico ed autovalori.
Me 27-11-24 (42): similitudine di matrici diagonali e diagonalizzabili. Endomorfismi, detereminante e polinomio caratteristico di un endomorfismo.
Gi 28-11-24 (44): polinomio caratteristico di matrici triangolari a blocchi. Molteplicita' di una radice di un polinomio. Molteplicita' algebrica e geometrica di un autovalore. La molteplicita' algebrica e' maggiore od uguale a quella geometrica.
Ma 3-12-24 (46): un endomorfismo e' triangolabile se e solo se la somma delle molteplicita' algebriche e' uguale alla dimensione dello spazio. Esempi ed applicazioni. Sui numeri complessi ogni endomorfismo e' triangolabile. Autospazi, autovettori e sottospazi invarianti.
Me 4-12-24 (48): un endomorfismo e' diagonalizzabile se e solo se la somma delle molteplicita' geometriche e' uguale alla dimensione dello spazio. Esempi ed applicazioni.
Gi 5-12-24 (50): prova che le matrici simmetriche reali sono diagonalizzabili mediante una base ortogonale di autovettori.
Me 11-12-24 (52): spazi vettoriali euclidei, basi ortogonali, basi ortonormali, processo di Gram-Schmidt.
Gi 12-12-24 (54): operatori autoaggiunti in spazi vettoriali euclidei, teorema spetrare reale. Prodotto hermitiano canonico, basi unitarie e teorema spettrale per operatori hermitiani.
Me 18-12-24 (56): matrici simmetriche definite positive. Criterio degli autovalori, criterio di Sylvester e criterio di Cartesio.
Gi 19-12-24 (58): segnatura di matrici simmetriche reali, matrici congruenti hanno la stessa segnatura, segnatura di forme bilineari simmetriche. Esistenza di basi ortogonali e teorema di Sylvester per forme bilineari simmetriche reali (senza dimostrazione).
Testo di riferimento Abate, de Fabritiis: Geometria analitica con elementi di algebra lineare.
Altri testi di utile consultazione Algebra lineare, per matematici
Per chiedere di accettare il voto dello scritto (tra 18 e 25) senza orale, lo studente deve inviare una mail dal proprio indirizzo email istituzionale (...@studenti.uniroma1.it) a (cognome del docente verbalizzante)@mat.uniroma1.it mettendo sul subject ``accettazione voto (data dello scritto)''; non è necessario inserire testo, anche se formule di saluto e cortesia sono sicuramente ben accolte. Il docente può accettare la richiesta senza ulteriori verifiche oppure chiedere una breve discussione dell'elaborato.
22-9-22 (1): il linguaggio degli insiemi, prodotto cartesiano.
23-9-22 (3): unione, intersezione ed insieme delle parti. Applicazioni. Polinomi ed estensioni quadratiche.
28-9-22 (5): numeri complessi, rappresentazione cartesiana. Esistenza e unicità di radici quadrate di numeri complessi.
29-9-22 (6): esercizi sui numeri complessi.
30-9-22 (8): proprietà del modulo. Forma polare dei numeri complessi, formula di De Moivre.
3-10-22 (10): radici n-esime dell'unità e di numeri complessi. Ogni polinomio di grado n possiene al piu' n radici distinte. Spazio dei vettori colonna, sottospazi lineari di vettori colonna.
5-10-22 (12): sistemi lineari, terminologia, sistemi triagolari e sistemi a scala. Teorema di Rouch&eacutre;-Capelli per matrici a scala.
6-10-22 (13): esercizi sui numeri complessi.
7-10-22 (15): Sistemi lineari. Eliminazione di Gauss, struttura delle soluzioni.
10-10-22 (17): spazi e sottospazi vettoriali. Esempi. Span di una successione finita di vettori.
12-10-22 (19): indipendenza lineare e teorema di scambio.
13-10-22 (20): esercizi su indipendenza lineare e generatori.
14-10-22 (22): basi e dimensione di spazi e sottospazi vettoriali.
17-10-22 (24): somme ed intersezioni di sottospazi vettoriali, formula di Grassmann.
19-10-22 (26): applicazioni lineari, applicazioni lineari associate a matrici, nucleo, isomorfismi lineari.
21-10-22 (28): immagine e rango. Teorema del rango. Riduzione a scala per il calcolo del rango.
24-10-22 (30): Teorema di Rouche'-Capelli. Nella riduzione a scala le colonne che contengono i pivot sono uniche. Matrice associata ad un'applicazione lineare rispetto a due basi. Prodotto di matrici.
26-10-22 (dalle 10 alle 12) (32): Matrici trasposte, traccia, associativita' del prodotti di matrici, matrici inverse, calcolo della matrice inversa tramite riduzione di Gauss-Jordan.
27-10-22 (34): esercizi svolti di algebra lineare.
28-10-22 (36): rango della matrice trasposta, rango come massimo ordine si sottomatrice invertibile.
2-11-22 (38): Determinante, definizione come sviluppo rispetto prima riga. Determinante e' multilineare alternante sulle colonne. Determinante di matrici non invertibili uguale a 0.
4-11-22 (40): teorema di unicita' del determinante, permutazioni, trasposizioni e segnatura. Teorema di Binet.
7-11-22 (42): applicazioni del teorema di Binet, rango e minori di una matrice. Definizione del numero di incroci di una permutazione.
9-11-22 (44): parita' degli incroci uguale alla parita' della permutazione. Determiante della trasposta, sviluppi di Laplace, determinante ed eliminazione di Gauss, determinante di Vandermonde.
10-11-22 (46): pratica esercizi testo
11-10-22 (48): Matrice dei cofattori, inversa di una matrice tramite cofattori, regi=ola di Cramer.
16-11-22 (50): esercizi svolti su determinante e polinomio caratteristico.
23-11-22 (52): esercitazione su autovettori e diagonalizzazione.
30-11-22 (54): esercizi su condizioni necessarie e sufficienti su matrici simmetriche reali per essere definite positive.
7-12-22 (56): esercizi su basi ortonormali ed operatori autoaggiunti rispetto a prodotti scalari.
14-12-22 (58): esercizi su forme bilineari simmetriche reali, calcolo di segnatura e basi ortogonali.
21-12-22 (60): esercizi e commenti su matrici ortogonali e unitarie.