Inizio lezioni: 26 settembre 2024.
Programma Nozioni di base. Insiemi, funzioni, campi, polinomi. Il campo dei numeri complessi. Sistemi lineari. Eliminazione di Gauss, struttura delle soluzioni. Spazi vettoriali. Combinazioni lineari, sottospazi e sottospazi affini, indipendenza lineare, basi e generatori, dimensione, somma e intersezione, formula di Grassmann. Applicazioni lineari. Nucleo, immagine, Teorema della dimensione. Matrici. Algebra della matrici, matrici associate ad applicazioni lineari, rango, matrici invertibili, cambiamento di coordinate, determinanti. Diagonalizzazione. Autovalori ed autovettori, polinomio caratteristico. Forme bilineari. Prodotti scalari, prodotti hermitiani, basi ortogonali, Teorema di Sylvester, spazi vettoriali euclidei e hermitiani. Operatori autoaggiunti, isometrie lineari, Teorema Spettrale.
Testo di riferimento Abate, de Fabritiis: Geometria analitica con elementi di algebra lineare.
Altri testi di utile consultazione Algebra lineare, per matematici
Testo di riferimento Abate, de Fabritiis: Geometria analitica con elementi di algebra lineare.
Altri testi di utile consultazione Algebra lineare, per matematici
Per chiedere di accettare il voto dello scritto (tra 18 e 25) senza orale, lo studente deve inviare una mail dal proprio indirizzo email istituzionale (...@studenti.uniroma1.it) a (cognome del docente verbalizzante)@mat.uniroma1.it mettendo sul subject ``accettazione voto (data dello scritto)''; non è necessario inserire testo, anche se formule di saluto e cortesia sono sicuramente ben accolte. Il docente può accettare la richiesta senza ulteriori verifiche oppure chiedere una breve discussione dell'elaborato.
22-9-22 (1): il linguaggio degli insiemi, prodotto cartesiano.
23-9-22 (3): unione, intersezione ed insieme delle parti. Applicazioni. Polinomi ed estensioni quadratiche.
28-9-22 (5): numeri complessi, rappresentazione cartesiana. Esistenza e unicità di radici quadrate di numeri complessi.
29-9-22 (6): esercizi sui numeri complessi.
30-9-22 (8): proprietà del modulo. Forma polare dei numeri complessi, formula di De Moivre.
3-10-22 (10): radici n-esime dell'unità e di numeri complessi. Ogni polinomio di grado n possiene al piu' n radici distinte. Spazio dei vettori colonna, sottospazi lineari di vettori colonna.
5-10-22 (12): sistemi lineari, terminologia, sistemi triagolari e sistemi a scala. Teorema di Rouch&eacutre;-Capelli per matrici a scala.
6-10-22 (13): esercizi sui numeri complessi.
7-10-22 (15): Sistemi lineari. Eliminazione di Gauss, struttura delle soluzioni.
10-10-22 (17): spazi e sottospazi vettoriali. Esempi. Span di una successione finita di vettori.
12-10-22 (19): indipendenza lineare e teorema di scambio.
13-10-22 (20): esercizi su indipendenza lineare e generatori.
14-10-22 (22): basi e dimensione di spazi e sottospazi vettoriali.
17-10-22 (24): somme ed intersezioni di sottospazi vettoriali, formula di Grassmann.
19-10-22 (26): applicazioni lineari, applicazioni lineari associate a matrici, nucleo, isomorfismi lineari.
21-10-22 (28): immagine e rango. Teorema del rango. Riduzione a scala per il calcolo del rango.
24-10-22 (30): Teorema di Rouche'-Capelli. Nella riduzione a scala le colonne che contengono i pivot sono uniche. Matrice associata ad un'applicazione lineare rispetto a due basi. Prodotto di matrici.
26-10-22 (dalle 10 alle 12) (32): Matrici trasposte, traccia, associativita' del prodotti di matrici, matrici inverse, calcolo della matrice inversa tramite riduzione di Gauss-Jordan.
27-10-22 (34): esercizi svolti di algebra lineare.
28-10-22 (36): rango della matrice trasposta, rango come massimo ordine si sottomatrice invertibile.
2-11-22 (38): Determinante, definizione come sviluppo rispetto prima riga. Determinante e' multilineare alternante sulle colonne. Determinante di matrici non invertibili uguale a 0.
4-11-22 (40): teorema di unicita' del determinante, permutazioni, trasposizioni e segnatura. Teorema di Binet.
7-11-22 (42): applicazioni del teorema di Binet, rango e minori di una matrice. Definizione del numero di incroci di una permutazione.
9-11-22 (44): parita' degli incroci uguale alla parita' della permutazione. Determiante della trasposta, sviluppi di Laplace, determinante ed eliminazione di Gauss, determinante di Vandermonde.
10-11-22 (46): pratica esercizi testo
11-10-22 (48): Matrice dei cofattori, inversa di una matrice tramite cofattori, regi=ola di Cramer.
16-11-22 (50): esercizi svolti su determinante e polinomio caratteristico.
23-11-22 (52): esercitazione su autovettori e diagonalizzazione.
30-11-22 (54): esercizi su condizioni necessarie e sufficienti su matrici simmetriche reali per essere definite positive.
7-12-22 (56): esercizi su basi ortonormali ed operatori autoaggiunti rispetto a prodotti scalari.
14-12-22 (58): esercizi su forme bilineari simmetriche reali, calcolo di segnatura e basi ortogonali.
21-12-22 (60): esercizi e commenti su matrici ortogonali e unitarie.