Le lezioni non seguono alcun testo in maniera dettagliata. È tuttavia utile per lo studente integrare il contenuto delle lezioni e delle dispense con un libro di testo di buona qualità, quale ad esempio il libro Geometria di Marco Abate.
IMPORTANTE Affinché l'insegnamento di algebra lineare realizzi i propri obiettivi, la lettura di dispense o di testi scritti va affiancata e non sostituita, nemmeno parzialmente, alla frequenza delle lezioni da parte degli studenti.Dispense del corso propedeutico di matematica; - Raccolta delle dispense, dei tutoraggi e delle prove d'esame del corso di algebra lineare 2006-07; - Introduzione all'algebra lineare; - Introduzione ai numeri complessi (versione preliminare); - Esercizi sul principio di induzione e sui numeri di Fibonacci; - Esercizi sui campi di numeri; - Basi e dimensione; - Matrici invertibili e rango (teoria); - Spazi duali; - Determinanti (prima parte); - Esercizi Natalizi 2010; - Determinanti (seconda parte); - Endomorfismi nilpotenti e teorema di Cayley-Hamilton - Polinomio minimo ed autovalori -
18-10-2010: Introduzione alle estensioni quadratiche dei numeri razionali ed ai numeri complessi.
20-10-2010: Proprietà dei numeri complessi, del coniugio e del modulo. Radici quadrate di numeri complessi, radici dell'unità, forma polare, notazione esponenziale e formula di De Moivre.
21-10-2010: Piano di Gauss-Argand, richiami sulle applicazioni iniettive, surgettive e bigettive. Esempio della bigezione conforme tra il semipiano ed il disco. Campi di numeri, esempi, polinomi, teorema fondamentale dell'algebra. Formula di Cardano (fuori programa).
25-10-2010: Principio di induzione: enunciato ed esempi. Scomposizione di polinomi sul campo complesso. Sistemi lineari, terminologia. Teorema: ogni sistema lineare omogeneo con più variabili che equazioni possiede soluzioni non banali. Cenni sul metodo di sostituzione e sul metodo di eliminazione di Gauss.
27-10-2010: Spazi e sottospazi vettoriali. Esempi.
28-10-2010: Chiusura lineare di un insieme finito di vettori, insiemi di generatori, spazi di dimensione finita. Dipendenza lineare di vettori in uno spazio vettoriale: esempi numerici.
3-11-2010: Teorema di scambio. Definizione di base. Da ogni insieme finito di generatori si può estrarre una base. Due basi hanno la stessa cardinalità. Dimensione di uno spazio vettoriale. Esempi.
4-11-2010: Seconda dimostrazione (non costruttiva) del teorema di scambio. Base come insieme minimale di generatori e/o massimale di vettori linearmente indipendenti. Ogni sottospazio vettoriale proprio di uno spazio vettoriale di dimensione finita n ha dimensione minore di n. Iperpiani. Spazio vettoriale numerico dei vettori riga (K^n)*, prodotto riga per colonna, iperpiani di K^n.
8-11-2010: Equazione cartesiana di un iperpiano. Coordinate rispetto ad una base. Somma di sottospazi, formula di Grassmann, intersezione con iperpiani.
10-11-2010: Matrici, struttura di spazio vettoriale e dimensione. Trasposta di una matrice, matrici diagonali, triangolari simmetriche ed antisimmetriche. Prodotto righe per colonne, associatività e matrice identità, trasposta del prodotto.
11-11-2010: Matrici invertibili, matrice inversa. Una matrice è invertibile se e solo se è quadrata e le colonne formano una base. Applicazioni lineari, definizione ed esempi.
15-11-2010: Nucleo ed immagine di un'applicazione lineare. Se il nucleo si annulla l'applicazione è iniettiva, Rango, formula di Grassmann. Le applicazioni lineari sono univocamente determinate dai valori assunti in una base. Matrice associata ad un'applicazione lineare rispetto a basi prefissate.
17-11-2010: Esempi di matrici associate ad applicazioni lineari. Uguaglianza dei ranghi. Esempi. Soluzione di alcuni esercizi dei tutoraggi.
18-11-2010: Metodi di calcolo del rango e dell'inversa. Operazioni sulle righe e riduzione a scala di una matrice. Le matrici triangolari sono invertibili se e solo se i coefficienrti sulla diagonale non si annullano. Calcolo dell'inversa di una matrice con il metodo di eliminazione.
Testo dell'esonero del 25-11-1029-11-2010: Il rango di una matrice è uguale a quello della trasposta. Spazi di applicazioni lineari, spazio e base duale.
1-12-2010: Funzionali lineari sono indipendenti (risp.: generano il duale) se e solo se l'applicazione di cui sono componenti è surgettiva (risp.: iniettiva). Trasposta di un'applicazione lineare. Il doppio duale. Discussione informale su isomorfismi naturali e non naturali.
2-12-2010: Annullatori. L'annullatore dell'immagine è uguale al nucleo della trasposta. Rango della trasposta. Doppio annullatore. Lo spazio dei vettori riga è canonicamente isomorfo al duale dello spazio dei vettori colonna.
6-12-2010: Il determinante come sviluppo di Laplace rispetto alla prima riga. Proprietà di multilinearità ed alternanza rispetto alle colonne. Permutazioni, trasposizioni e segnatura. Unicità del determinante.
9-12-2010: Teorema di Binet. Sviluppo di Laplace rispetto a righe e colonne qualunque. Determinante della trasposta. Matrice aggiunta. Le matrici invertibili sono quelle con il determinante non nullo, calcolo dell'inversa. Determinante delle matrici diagonali e triangolari. Cenni sul determinante delle matrici a blocchi.
13-12-2010: Teorema degli orlati, Teorema di Cramer. Effetto sul determinante delle operazioni elementari sulle righe. Il determinante della matrice di Vandermonde; applicazione: n numeri complessi si annullano se e solo se si annulla la somma delle loro potenze k-esime, k=1,...,n. Matrici coniugate, invarianza per coniugio della traccia e del determinante.
15-12-2010: Proprietà del coniugio ed invarianti algebrici. Polinomio caratteristico. Esempi di matrici non coniugate con lo stesso polinomio caratteristico. Matrici diagonali sono coniugate se e solo se hanno lo stesso polinomio caratteristico. Il polinomio caratteristico della trasposta e dell'inversa.
16-12-2010: Determinante, traccia e polinomio caratteristico di un endomorfismo. Autovalori ed autovettori. Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore. Endomorfismi diagonalizzabili. Indipendenza lineare degli autovettori relativi ad autovalori distinti.
10-1-2011: Potenze di un endomorfismo e filtrazione dei nuclei, radicale, endomorfismi nilpotenti. Il teoremino di struttura degli endomorfismi, polinomio caratteristico e teorema di Cayley-Hamilton per endomorfismi nilpotenti. La molteplicità algebrica di un autovalore è uguale alla dimensione dell'autospazio generalizzato (ossia il radicale di f-\lambda I).
12-1-2011: Matrici di Frobenius e loro polinomio caratteristico. Polinomi in un endomorfismo. Teorema di Cayley-Hamilton. Le potenze di una matrice hanno traccia nulla se e solo se la matrice è nilpotente. Polinomio caratteristico degli endomorfismi di rango 1.
13-1-2011: Somma diretta di sottospazi vettoriali. Un endomorfismo è triangolarizzabile se e solo se ha tutti gli autovalori nel campo base. Cenni su metodi di calcolo delle molteplicità algebriche e geometriche degli autovalori. Esempi numerici.
17-1-2011: Un endomorfismo è diagonalizzabile se e solo se ha tutti gli autovalori nel campo base e le molteplicità algebriche e geometriche coincidono, esempi numerici. Definizione di polinomio minimo, il polinomio minimo divide il polinomio caratteristico. Le radici del polinomio minimo sono tutti e soli gli autovalori. Regole per il calcolo del polinomio minimo, esempi numerici.
19-1-2011: L'unica matrice nilpotente diegonalizzabile è quella nulla. Le matrici simmetriche reali sono diagonalizzabili. Esempi di matrici simmetriche complesse non diagonalizzabili. Un endomorfismo è diagonalizzabile se e solo se ha tutti gli autovalori nel campo base ed il polinomio minimo ha solo radici semplici. Calcolo del polinomio minimo.
20-1-2011: Caratterizzazione delle molteplicità delle radici del polinomio minimo. Esercizi di riepilogo. Un endomorfismo diagonalizzabile ristretto ad un sottospazio invariante è ancora diagonalizzabile.
Testo dell'esonero del 26-01-11 - Testo dello scritto del 03-02-11 - Testo dello scritto del 17-02-11 - Testo dello scritto del 22-06-11 - Testo dello scritto del 6-07-11 - Testo dello scritto del 16-09-11Si trovano in rete, scaricabili gratuitamente, molti testi di algebra lineare che possono risultare di utile consultazione. Eccone alcuni:
Libro di Ruslan Sharipov - Libro di Jim Hefferon - Libro di Sergei Treil - Libro di Andrew Baker - Libro di Kenneth Kuttler -