Laurea in Ingegneria Aerospaziale, 2015/2016

Geometria (secondo canale)

Paolo Bravi

Secondo appello straordinario: prova scritta.

Sessione autunnale: prova scritta.

Sessione estiva, secondo appello: prova scritta.

Sessione estiva, primo appello: prova scritta.

Primo appello straordinario: prova scritta.

Sessione invernale, secondo appello: prova scritta.

Sessione invernale, primo appello: prova scritta.

Fogli di esercizi: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7


Diario delle lezioni:

28/09/15: Vettori del piano applicati all'origine.

29/09/15: Vettori dello spazio applicati all'origine. L'insieme delle n-ple reali con somma e prodotto per scalari. Sistemi lineari: primi esempi.

30/09/15: L'insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo è chiuso rispetto alla somma e al prodotto per scalari. Base dell'insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo, dimensione. Struttura dell'insieme delle soluzioni di un sistema lineare qualsiasi. Matrici, prodotto righe per colonne.

01/10/15: Metodo di eliminazione di Gauss. Rango di una matrice come numero di pivot di una sua forma a gradini. Risoluzione per sostituzione a ritroso di un sistema lineare a gradini. Enunciato del Teorema di Rouché-Capelli.

05/10/15: Esercizi sui sistemi lineari e sull'eliminazione di Gauss.

06/10/15: Proprietà del prodotto righe per colonne, matrice identità, matrici invertibili, metodo di calcolo dell'inversa con l'eliminazione di Gauss.

07/10/15: Determinante: definizione e prime proprietà. Caratterizzazione delle matrici non singolari (con dimostrazione). Teorema di Binet, Formula dello sviluppo di Laplace.

08/10/15: Formula dei cofattori per la matrice inversa, Formula di Cramer, Teorema degli orlati.

12/10/15: Esercizi sul calcolo della matrice inversa e sul determinante. Definizione di campo: esempi.

13/10/15: Definizione di spazio vettoriale su un campo. Sottospazi vettoriali e insiemi di generatori: esempi.

14/10/15: Insiemi di vettori linearmente indipendenti. Basi.

15/10/15: Teorema del completamento (con dimostrazione), dimensione di uno spazio vettoriale. Estrazione di una base da un insieme di generatori con il metodo di eliminazione di Gauss.

19/10/15: Esercizi su sottospazi generati, lineare dipendenza, coordinate di un vettore rispetto a una base, dimensione, completamento a una base.

20/10/15: Somma e intersezione di sottospazi vettoriali. Calcolo dell'intersezione di due sottospazi con il metodo di eliminazione di Gauss.

21/10/15: Formula di Grassmann (con dimostrazione). Somma diretta. Definizione di applicazione lineare, primi esempi.

22/10/15: Nucleo e immagine di un'applicazione lineare: principali proprietà, applicazioni lineari iniettive, suriettive e biettive.

26/10/15: Esercizi su completamento di basi, somma e intersezione di sottospazi vettoriali, e Formula di Grassmann.

27/10/15: Teorema della dimensione (con dimostrazione).

28/10/15: Forme lineari. Teorema della codimensione dello spazio delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo (con dimostrazione). Matrici come applicazioni lineari. Definizioni equivalenti di rango di una matrice come dimensione del sottospazio generato dalle colonne e come dimensione del sottospazio generato dalle righe. Dimostrazione del Teorema di Rouché-Capelli.

29/10/15: Matrici associate a un'applicazione lineare rispetto a basi qualsiasi, matrici di cambiamento di base.

02/11/15: Esercizi su: nucleo, immagine e controimmagine di applicazioni lineari; esistenza e unicità di applicazioni lineari; forme lineari.

03/11/15: Esercizi su forme lineari, composizione di applicazioni lineari, matrici associate ad applicazioni lineari.

04/11/15: Autovalori e autovettori di un endomorfismo, polinomio caratteristico, diagonalizzazione: primi esempi.

05/11/15: Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore. Condizioni necessarie e sufficienti per la diagonalizzazione: il caso reale e il caso complesso.

09/11/15: Esercizi sulle matrici associate a un'applicazione lineare e sulle matrici di cambiamento di base.

10/11/15: Numeri complessi.

11/11/15: Geometria affine: spazio affine reale di dimensione n, sistema di riferimento affine. Sottospazi affini: giacitura e dimensione.

12/11/15: Equazioni parametriche ed equazioni cartesiane. Punti in posizione generale. Posizione reciproca di due rette nello spazio.

16/11/15: Esercizi sulla diagonalizzazione.

17/11/15: Esercizi di geometria affine.

18/11/15: Forme bilineari su spazi vettoriali reali. Matrice associata a una forma bilineare. Forme bilineari simmetriche. Forme quadratiche. Forme bilineari simmetriche non degeneri e forme bilineari simmetriche definite positive.

19/11/15: Enunciato del Teorema di Sylvester e definizione di segnatura. Primi esempi di forme bilineari simmetriche e calcolo della segnatura.

23/11/15: Esercizi di geometria affine.

24/11/15: Prodotto scalare canonico. Norma di un vettore, angolo tra due vettori, Disugualianza di Cauchy-Schwarz (con dimostrazione), Disugualianza triangolare (con dimostrazione).

25/11/15: Basi ortonormali. Matrici ortogonali. Proiezione ortogonale.

26/11/15: Ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Significato geometrico del determinante. Prodotto vettoriale.

30/11/15: Esercizi su prodotto scalare, basi ortogonali, matrici ortogonali, proiezioni ortogonali.

01/12/15: Endomorfismi simmetrici. Teorema spettrale (con dimostrazione).

02/12/15: Esercizi: diagonalizzazione di endomorfismi simmetrici.

03/12/15: Geometria euclidea: sistemi di riferimento cartesiano, perpendicolarità, distanza, proiezione ortogonale.

09/12/15: Esercizi: area di un parallelogramma, endomorfisimi simmetrici, forme bilineari simmetriche.

10/12/15: Cambiamenti di sistema di riferimento.

14/12/15: Esercizi di geometria euclidea.

15/12/15: Classificazione delle coniche, procedimento di riduzione in forma canonica.

16/12/15: Descrizione delle coniche non degeneri: ellisse, iperbole e parabola. Per la classificazione delle quadriche nello spazio vedi: riassunto delle lezioni su coniche e quadriche.

17/12/15: Isometrie: rotazioni e riflessioni.

21/12/15: Esercizi su coniche e quadriche.

22/12/15: Esercizi sulle isometrie.


11 nov 2016 - pb