Calcolo I a.a. 06/07

Corso di Laurea in Matematica

Orario ricevimento: Mar e Ven 11-12, IL RICEVIMENTO DI MARTEDI' 1-6 E' SPOSTATO A GIOVEDI 3-6 (nello studio locali ex-falegnameria) IL RICEVIMENTO DI MARTEDI 1-06 E' SPOSTATO A GIOVEDI 3-06 .


Libro di testo: Marcellini-Sbordone, Analisi Matematica uno, Liguori editore


Il programma consiste negli argomenti trattati nel corso e che sono elencati nel breve riassunto delle lezioni che trovate su questa pagina web.

ARGOMENTI DELLE LEZIONI

  • Gio, 28-9: Cenni di teoria degli insiemi, cenni di logica. Insiemi numerici: i naturali, gli interi, i razionali. Proprieta' dei razionali
  • Ven, 29-9: Idea di numero reale a partire dalla retta. Scrittura decimale. Definizione assiomatica dei reali. Funzioni di variabile reale, iniettivita' e suriettivita'.
  • Mar, 3-10:Immagine e Controimmagine di una funzione, invertibilita'. Funzioni monotone, rappresentazione di una funzione di variabile reale sul piano cartesiano. Simmetrie: funzioni pari e funzioni dispari. Funzioni lineari e funzioni potenza, invertibilita' di tali funzioni
  • Gio, 5-10: Composizione di funzioni. Insieme di definizione. Ulteriori proprieta' delle funzione potenza e definizione della funzione esponenziale. Proprieta' di tale funzione. Funzione logaritmo.
  • Ven, 6-10: Funzioni periodiche. Funzioni trigonometriche cos(x), sin(x), tan(x), cotan(x) problema dell'invertibilita' di tali funzioni. Funzioni arcos(x), arcsin(x), arctan(x) e loro uso per la risoluzione di equazioni e disequazioni.
  • Mar,10-10: Massimo, minimo, estremo superiore ed inferiore. Esistenza di sup ed inf per sottoinsiemi dei numeri reali.Proprieta'. Estremi di funzioni di variabile reale. Principio di induzione.
  • Gio,12-10: Successioni. Convergenza e divergenza. Successioni monotone. Operazioni sui limiti. Forme indeterminate.
  • Ven,13-10: Permanenza del segno, teorema dei carabinieri, limite di a^n al variare di a. Regolarita' delle successioni monotone. Limiti del tipo a_n^{b^n}.
  • Mar, 17-10: Dimostrazione della regolarita' delle successioni monotone, coefficienti binomiali e sviluppo del binomio. Numero di Nepero e ottenuto come limite di una opportuna successione monotona. Limiti del tipo sin(a_n) e cos(a_n) con a_n successione convergente.
  • Gio, 19-10: Limite di a_ n sin(1:a_n) con a_n che converge a 0. Criterio per la convergenza a zero di successioni a termini positivi e applicazioni.
  • Ven, 20-10: Successioni definite per ricorrenza, sottosuccessioni, Teorema di Bolzano Weierstrass (senza dimostrazione).
  • Mar, 24-10: Intorno di un punto. Punto di accumulazione. Definizione di limite per una funzione di variabile reale. Varie tipologie di limite. Limiti destro e limite sinistro. Teorema ponte (senza dimostrazione).
  • Gio, 26-10: Limite della somma, del rapporto e del prodotto. Forme indeterminate. Limite di funzioni composte. Cambio di variabile per il calcolo del limite.
  • Ven, 27-10: Punto di continuita'. Funzioni continue. Varie tipologie di discontinuita'. Esempi di funzioni definite a tratti.
  • Mar, 31-10: Teorema di esistenza degli zeri (dimostrazione con il metodo di bisezione). Esempi e controesempi. Teorema di esistenza dei valori intermedi.
  • Gio, 2-11: Teorema di Weierstrass (dimostrazione assumendo il teorema di Bolzano-Weierstrass). Esempi e controesempi. Immagine di una funzione continua definita su un intervallo [a,b].
  • Ven, 3-11: Esistenza di limiti destri e sinistri per funzioni monotone definite su un intervallo. Le funzioni invertibili e continue definite su un intervallo sono strettamente monotone. Funzione monotona definita su un intervallo:continua se e solo se l'immagine e' un intervallo. Funzione continua e invertibile definita su un intervallo: continuita' della funzione inversa.
  • Mar, 7-11: Funzioni derivabili. La derivabilita' implica continuita'. Derivate di ordine n. Formule di derivazione per la somma, il prodotto e il quoziente di funzioni derivabili. Interpretazione geometrica della derivata. Derivate di polinomi.
  • Gio, 9-11: Equazione della retta tangente. Derivate della funzione logaritmo, esponenziale, seno e coseno. Derivazione delle funzioni composte (dimostrazione nel caso in cui g'(x) e' diversa da zero).
  • Ven, 10-11: Soluzioni degli esercizi del tutoraggio
  • Mar, 21-11: Derivazione delle funzioni inverse. Derivate delle funzioni arccos x, arcsin x, arctan x. Funzioni sinh x, cosh x, tanh x. Soluzioni degli esercizi dell'esonero.
  • Gio, 23-11: Teorema di Fermat. Applicazione per la ricerca di max e min assoluti. Teorema di Rolle. Teorema di Lagrange. Applicazioni del Teorema di Lagrange. Condizioni necessarie e sufficienti affinche' una funzione derivabile sia strettamente monotona (dim facoltativa)
  • Ven, 24-11: Teorema di Cauchy. Teorema di de L'Hopital (dimostrazione solo in un caso particolare). Applicazioni del Teorema di de l'Hopital. Funzioni convesse, definizione nel caso in cui f sia derivabile.
  • Mar, 28-11: Funzioni convesse derivabili hanno derivata crescente. Caratterizzazione tramite la derivata seconda. Definizione di funzioni convesse nel caso generale. Le funzioni convesse sono continue (senza dimostrazione). Esistenza di un unico punto di min per funzioni strettamente convesse. Punti di flesso. Uso della derivata seconda per cercare max e min relativi.
  • Gio, 30-11: Asintoti verticali, orizzontali e obliqui. Studio del grafico di una funzione. Ordine di infinitesimo.
  • Ven, 1-12: Polinomio di Taylor. Sviluppo di Taylor con resto in forma di Peano. Sviluppi di funzioni sen(x), cos(x), exp(x). Uso degli sviluppi per il calcolo di limiti. Metodo del primo ordine di derivata non nullo per determinare la presenza di max o min relativi.
  • Mar, 5-12: Integrale definito. Definizione e interpretazione. Proprieta' dell'integrale:linearita', monotonia, additivita' (senza dimostrazione). Le funzioni continue sono integrabili (senza dimostrazione).
  • Gio, 7-12: Teorema della media integrale. Definizione della funzione integrale. Derivabilita' della funzione integrale. Funzioni primitive e integrale indefinito. Teorema fondamentale del calcolo. Primitive di alcune funzioni elementari. Cenno della possibile definizione della funzione log(x) a partire dall'integrale definito tra 1 e x della funzione di 1/t.
  • Mar, 12-12: Integrazione di funzioni razionali. Metodo dell' integrazione per parti per il calcolo di integrali definiti e indefiniti.
  • Gio, 14-12: Cambio di variabile per il calcolo di integrali definiti e indefiniti. Studio della funzione integrale.
  • Ven, 15-12: Serie numeriche: definizione, esempi in cui e' possibile calcolare il valore della serie. Serie a termini non negtivi. Criterio del confronto e del confronto asintotico per serie a termini non negativi.
  • Mar, 19-12: Serie numeriche: esempio di serie non regolare. Condizione necessaria affinche' una serie sia convergente. Criterio del rapporto. Esempi
  • Gio, 21-12: Criterio della radice. Esempi vari di serie convergenti e divergenti.

    Fogli di esercizi
     Foglio 1, Foglio 2, Foglio 3, Foglio 4, Foglio 5 , Foglio 6, Foglio 7, Foglio 8, Foglio 9

    Tutoraggio
    5-10-06, 19-10-06, tutoraggio Prof.ssa Vernole del 24-10-06, 02-11-06, 23-11-06, 07-12-06, 14-12-06, tutoraggio Prof.ssa Vernole del 9-1-07, simulazione esonero del 16-1-07.
    Materiale in rete
    dispense ed esercizi dell'anno 02-03 , dispense ed esercizi del corso di derivate ed integrali (corso fatto a fisica)
    Esoneri
    I esonero Compito A, Compito B,Secondo esonero
    Prove scritte
    Primo scritto A, Primo scritto B, Secondo scritto